今天我們討論的問(wèn)題是如何有效地求自然數(shù)的冪和。接下來(lái)以3個(gè)經(jīng)典題目為例來(lái)講解。

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題目：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=1864

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分析：其實(shí)求自然數(shù)的冪和方法有很多種，先來(lái)看看普通的遞推求法，由于

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?????

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???? 那么對(duì)于所有的累加得到

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?????

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???? 進(jìn)一步得到

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?????

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???? 可以看出這是一個(gè)遞推式，如果我們記

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??? ??

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?????那么得到如下遞歸式

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?????遞歸出口是

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??????

題目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1228

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分析：本題題意就是求自然數(shù)的冪和，但是它的case比較多。對(duì)于求冪和本身就需要的時(shí)間復(fù)雜度，如果繼

???? 續(xù)用上述方法來(lái)求自然數(shù)的冪和，5000個(gè)case會(huì)TLE，接下來(lái)介紹另一個(gè)求自然數(shù)冪和的方法，它是基于伯

?????努利數(shù)的，公式描述如下

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?????

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?????可以看出只要我們預(yù)處理出每一項(xiàng)，就可以在線性時(shí)間內(nèi)求得自然數(shù)的冪和。前面的倒數(shù)可以用遞推法求逆元

???? 預(yù)處理，組合數(shù)也可以預(yù)處理，也可以先預(yù)處理，現(xiàn)在關(guān)鍵是如何預(yù)處理伯努利數(shù)。

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?????伯努利數(shù)滿足條件，且有

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?????那么繼續(xù)得到

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?????

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?????這就是伯努利數(shù)的遞推式，逆元部分同樣可以預(yù)處理。

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代碼：

#include <iostream> #include <string.h> #include <stdio.h>using namespace std; typedef long long LL; const LL MOD = 1000000007; const int N = 2005;LL C[N][N]; LL B[N],Inv[N]; LL Tmp[N]; LL n;void Init() {//預(yù)處理組合數(shù)for(int i=0; i<N; i++){C[i][0] = C[i][i] = 1;if(i == 0) continue;for(int j=1; j<i; j++)C[i][j] = (C[i-1][j] % MOD + C[i-1][j-1] % MOD) % MOD;}//預(yù)處理逆元Inv[1] = 1;for(int i=2; i<N; i++)Inv[i] = (MOD - MOD / i) * Inv[MOD % i] % MOD;//預(yù)處理伯努利數(shù)B[0] = 1;for(int i=1; i<N; i++){LL ans = 0;if(i == N - 1) break;for(int j=0; j<i; j++){ans += C[i+1][j] * B[j];ans %= MOD;}ans *= -Inv[i+1];ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;B[i] = ans;} }LL Work(int k) {LL ans = Inv[k+1];LL sum = 0;for(int i=1; i<=k+1; i++){sum += C[k+1][i] * Tmp[i] % MOD * B[k+1-i] % MOD;sum %= MOD;}ans *= sum;ans %= MOD;return ans; }int main() {int T;Init();scanf("%d", &T);while(T--){int k;scanf("%I64d %d", &n, &k);n %= MOD;Tmp[0] = 1;for(int i=1; i<N; i++)Tmp[i] = Tmp[i-1] * (n + 1) % MOD;printf("%I64d\n", Work(k));}return 0; }

題目：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1258

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分析：本題與上題不同的是值比較大，達(dá)到50000，如果采用同樣的方法，會(huì)TLE的。那么必定要進(jìn)行優(yōu)化。

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???? 參考Pick大神的方法，如下

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???? 鏈接：http://picks.logdown.com/posts/189620-the-inverse-element-of-polynomial

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Bernoulli Number的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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