前言：前面12節(jié)課是有關(guān)概率的知識(shí)，這節(jié)課是開始需要研究隨時(shí)間變化的現(xiàn)象，也就是隨機(jī)過程，random processes ，stochastic processes。random processes are supposed to be models that capture the evolution of random phenomena over time，這節(jié)課講伯努利過程。


先從簡單的隨機(jī)過程開始講起，伯努利過程是離散時(shí)間的隨機(jī)過程。

兩種解讀方式：
第一種是每個(gè)時(shí)間對(duì)應(yīng)一個(gè)單獨(dú)的獨(dú)立隨機(jī)變量，隨時(shí)間進(jìn)行構(gòu)成一個(gè)序列。
第二種是把所有時(shí)間放在一起看，當(dāng)成一個(gè)隨機(jī)變量。
經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)0 < p < 1時(shí)候, sample space 中的每個(gè)outcome的概率都是0， 這有點(diǎn)像連續(xù)狀態(tài)空間里的outcome

對(duì)于伯努利過程，成功次數(shù)為k次的結(jié)果的集合作為事件的概率為上圖中的$P(S=k)$
由于每次實(shí)驗(yàn)同分布, 且有$S={\sum }_{i=1}^n{X}_i$，則$E[S]={\sum }_{i=1}^{n}E[X_i]=n?p$, 因?yàn)閷?shí)驗(yàn)是獨(dú)立的, 所以$Var(S)=n?p?(1?p)$

我們?cè)贀Q一種隨機(jī)變量，$T_1$定義為第一次出現(xiàn)成功的試驗(yàn)次數(shù)。
$E[T_1]$怎么求的可以看這篇cite
$$\begin{gathered} Var(X)=E[X^2]?(E[X]{)}^2 \\ 上面E[X]求完了，只需要求E[X^2],求法和求E[X]差不多 \\ E[X^2|X=1]=1 \\ E[X^2|X>1]=E[(X+1{)}^2]=E[X^2]+2?E[X]+1 \\ E[X^2]=p?E[X^2|X=1]+(1?p)?E[X^2|X>1] \\ =p?1+(1?p)?(E[X^2]+2?E[X]+1) \\ 這樣E[X^2]就能算出來了，Var(X)也就能算出來了。 \end{gathered}$$
上圖中藍(lán)色的區(qū)間不是geometric§，因?yàn)? 的起始位置應(yīng)該是未知的，綠的的區(qū)間才符合geometric§， 因?yàn)檫@時(shí)已經(jīng)有了一個(gè)0，已經(jīng)知道了起始位置，那么多久之后才有1 呢，這和從開始實(shí)驗(yàn)到第一個(gè)1 出現(xiàn)完全相同的。0連續(xù)出現(xiàn)的長度和綠色區(qū)間的長度正好相等。

第k次到達(dá)的時(shí)間是多個(gè)第一次到達(dá)時(shí)間的加和。每次到達(dá)所需時(shí)間互相之間都是獨(dú)立的且都是幾何分布。

第k次到達(dá)的時(shí)間是t的概率：這個(gè)概率是【1，t-1】時(shí)間內(nèi)到達(dá)了k-1次，并且t 時(shí)刻到了1次，這兩個(gè)事件的joint probability。

伯努利過程可以分解,也可以合并。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的Lecture 13: Bernoulli Process的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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