目錄

• 前言
• 計(jì)算公式
• 程序說明
• 程序源文件
• 參考文獻(xiàn)

前言

多邊形面積的計(jì)算一般是將其剖分為三角形，利用海倫公式計(jì)算每個(gè)三角形的面積，然后將所有三角形的面積加起來。但是，這種方法程序?qū)崿F(xiàn)起來比較復(fù)雜，因?yàn)闊o法預(yù)知多邊形的形狀，需要判斷多邊形的“凸凹”，才能避免重復(fù)計(jì)算。另外，計(jì)算邊長的計(jì)算量也比較大。本文采用“鞋帶公式” (Shoelace formula) 計(jì)算
，不管坐標(biāo)原點(diǎn)怎樣選取，只要順序輸入多邊形每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，按同樣的順序（順時(shí)針或反時(shí)針）兩兩叉乘。這些叉乘的和的絕對值的一半就是該多邊形面積。這個(gè)方法編程簡單，計(jì)算量也比較小，優(yōu)勢明顯。

計(jì)算公式

設(shè)O為原點(diǎn)，多邊形由點(diǎn)$P_0,P_1,...,P_{n?1}$連線圍成，則面積S為：
$$S=\frac{1}{2}|\sum _{i=0}^{n?1}(\overline{O{P}_i}\times \overline{O{P}_{i+1}})|,(P_n=P_0)$$
舉一個(gè)最簡單的例子，n=3。也就是三角形的面積。
$$S=\frac{1}{2}|\overline{O{P}_0}\times \overline{O{P}_1}+\overline{O{P}_1}\times \overline{O{P}_2}+\overline{O{P}_2}\times \overline{O{P}_0}|$$

如圖，三角形$P_0{P}_1{P}_2$的面積（即粉紅色部分）等于三角形$O{P}_1{P}_2$減去三角形$O{P}_0{P}_1$和三角形$O{P}_2{P}_1$而得。粗粗看上去好像問題搞復(fù)雜了，其實(shí)不然，因?yàn)槿切?span id="ozvdkddzhkzd" class="katex--inline">$O{P}_1{P}_2$、$O{P}_0{P}_1$和$O{P}_2{P}_1$的面積（帶符號）都通過叉乘而得，編程非常簡單。這幾個(gè)帶符號面積相加，自動(dòng)消除了重復(fù)計(jì)算的部分。可以說非常巧妙。當(dāng)推廣到一般n的時(shí)候，這種算法的優(yōu)勢就很明顯了。

程序說明

本文用C++實(shí)現(xiàn)多邊形面積計(jì)算。由于程序比較小，所有定義都放在一個(gè)文件中。程序中將多邊形定義為一個(gè)類：Polygon。頂點(diǎn)存儲(chǔ)在一個(gè)屬性ps（數(shù)組）中。定義了頂點(diǎn)數(shù)據(jù)的輸入輸出函數(shù)。為了簡便起見，不考慮頂點(diǎn)數(shù)據(jù)的修改或刪除。屬性函數(shù)getArea()運(yùn)用以上公式計(jì)算多邊形面積。

程序源文件

#include<iostream> #include<vector> #include<stdio.h> using namespace std;struct Point {double x, y; };double operator*(const Point &p1,const Point &p2) { return (p1.x*p2.y-p1.y*p2.x); }class Polygon { private:vector<Point> ps; protected:public:double getArea();void pushPoint(double _x, double _y);void printPoints(); };double Polygon::getArea() {double area=0.0;for(size_t i=0;i!=ps.size();++i){area+=ps[i] * ps[(i + 1) % ps.size()];}return 0.5 * (area >=0 ? area : -area); }void Polygon::pushPoint(double _x, double _y) {Point pt;pt.x=_x;pt.y=_y;ps.push_back(pt); }void Polygon::printPoints() {for (size_t i=0;i!=ps.size();++i) {cout<<"P["<<i<<"]"<<"=("<<ps[i].x<<","<<ps[i].y<<")"<<endl;} }void inputData(Polygon &plygn) //input data from console {double vx,vy;size_t i=0;cout<<"\nInput points coordinates, separated by space key. ^Z to end."<<endl;cout<<"P["<<i<<"]=";while (cin>>vx>>vy) {plygn.pushPoint(vx,vy);cout<<"P["<<++i<<"]=";}return; }int readData(string &dataFileName, Polygon &plygn) //read data from file {int itemsRead=0;FILE *sf;double vx,vy;if (sf=fopen(dataFileName.c_str(),"r")) {cout<<"Read data from "+dataFileName+" ... ... ";while (!feof(sf)) {fscanf(sf,"%lf %lf",&vx,&vy);plygn.pushPoint(vx,vy);itemsRead++;}cout<<itemsRead<<" points read."<<endl;fclose(sf);sf=NULL;}else itemsRead=-1;return itemsRead;}// main int main() {Polygon pn;string sn="data.txt";if (readData(sn,pn)!=-1) {pn.printPoints();cout<<"Area="<<pn.getArea()<<endl;}else cout<<"404 File not found."<<endl;return 0; }

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)文件：data.txt

3 4 5 11 12 8 9 5 5 6 6 5 5 9 8 12 11 5 4 3

參考文獻(xiàn)

計(jì)算公式參考：
https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的多边形面积的计算的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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