1.多項式的定義：

形如 f（x）= an*x^n+.......ai*x^i+...a0 ，叫做多項式，其中ai 是系數(shù)，x 是未知數(shù)，i 叫做 指數(shù)。

若an 不為0稱f（x）位 n 次多項式，記作 deg f（x）

如果 a0 ！=0，且 ai ==0 （i=1.2....n）則稱f（x）為零次多項式，f（x）=b；等同于K 中非零元

規(guī)定 0 多項式 的次數(shù)，deg0 = -INF ；

deg(f(x)+g(x))=max(degf(x),deg g(x));

deg(f(x)*g(x)) =degf(x)+deg g(x);

多項式加法滿足結合律、交換律，多項式乘法滿足交換律與結合律。

2.環(huán)的定義。

定義一個非空集合R，如果有兩個代數(shù)運算，加法與乘法。

那么 a, b 是集合中的兩個元。

且 滿足加法與乘法，結合律，交換律，分配率，那么稱這個集合R是一個環(huán)

3.線性空間的定義：

設有一個多項式k[x]可以由

集合 s={1，x, x^2,........x^n}重的有限多個多項式線性表示，任意取s中的一個子集s1={x^i.....x^j};

設 k1x^i+............km*x^j=0;

顯然k1...km=0,因此s1是線性無關的，從而 s 線性無關 所以s 是 k【x】的一個基。

從而 k【x】是無限維度的線性空間。

4.一元多項式環(huán)

設R是一個環(huán)，R對加法封閉，R對乘法封閉。

1>若R 的乘法滿足交換律，稱 R 是交換環(huán)

2>若R中有一個元素e,a是一個元

s.t a*e=e*a =a ，則稱 e是 單位元，如果還有單位元，單位元只有一個。

3>如果a 屬于 R 如果存在 b 屬于R 且 b 不為0 使得 a*b=0；

則稱a 是一個左零因子或右乘因子。

特別的 0 成為特別0因子

子環(huán)的定義：

如果 對于R的加法和乘法運算也成為一個環(huán)，則稱環(huán)R 的一個非空子集合 R1是R的一個子環(huán)，?

定義 如果 R1中 任意 元 a 屬于 R1，且 -a 屬于R1則稱R 1是R的一個子環(huán)。

同構映射的應用：

這里直接簡化來理解：

因為（x+3)^2 =（x^2+6*x+9）

設矩陣A ，單位矩陣 I；

顯然 有子環(huán)定義 矩陣 矩陣 I是矩陣 A 的一個子環(huán)。

那么 （A+3*I）^2= A^2+6*A+9*I(把A 看作x ，I看作常數(shù) 1)；

同構映射，一個雙映射中元素是一 一對應的，且對加法運算和乘法運算保持封閉

?例如：f（x）+g（x）=h（x），f（x）*g（x）=p（x）

定理1

設K是一個 數(shù)域，R 是一個由單位環(huán) I 的交換環(huán)，且K到R1 有一個同構映射 t

?

上圖表示的是任意給 t 屬于 R ，令k【x】------>R? 的映射

設t 是 f【x】的同構映射，由于 f（x）的表示方法唯一。

通用性質： 設 f（x）+g（x）=h（x），f（x）*g（x）=p（x）；

則? ?f（t）+g（t）=h（t），f（t）*g（t）=p（t）用t 帶入。

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等代数--多项式与线性空间的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。