12.1 根據下面的數據用excel進行回歸，并對回歸結果進行討論，計算$x_1=200,x_2=7$時y的預測值。

y$x_1$$x_2$

12	174	3
18	281	9
31	189	4
28	202	8
52	149	9
47	188	12
38	215	5
22	150	11
36	167	8
17	135	5

解：

回歸統計
Multiple R	0.459234179
R Square	0.210896032
Adjusted R Square	-0.014562245
標準誤差	13.34121571
觀測值	10

方差分析

	df	SS	MS	F	Significance F
回歸分析	2	332.9837443	166.4918721	0.935410466	0.436485475
殘差	7	1245.916256	177.9880365
總計	9	1578.9

	Coefficients	標準誤差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	25.02870068	22.27862726	1.123439985	0.298297649	-27.65188163	77.70928299	-27.65188163	77.70928299
x1?	-0.049714341	0.105992426	-0.469036735	0.653300625	-0.300346602	0.200917919	-0.300346602	0.200917919
x2?	1.928169254	1.472160474	1.309754805	0.231623881	-1.552937105	5.409275613	-1.552937105	5.409275613

回歸方程：
$\hat{y}=25.02870068?0.049714341x_1+1.928169254x_2$
${\hat{\beta }}_1=?0.049714341$表示在$x_2$不變的條件下，$x_1$每變化1個單位，y平均下降0.049714341個單位；${\hat{\beta }}_2=1.928169254$表示在$x_1$不變的條件下，$x_2$每變化1個單位，y平均增加1.928169254個單位。
當$x_1$=200，$x_2=7$時，y的預測值為：$\hat{y}=25.02870068?0.049714341\times 200+1.928169254\times 7=28.58$
12.2 一家電器銷售公司的管理人員認為，月銷售收入是廣告費用的函數，并想通過廣告費用對月銷售收入作出估計。下面是近8個月的月銷售收入與廣告費用數據:

月銷售收入y（萬元）電視廣告費用$x_1$（萬元）報紙廣告費用$x_2$（萬元)

96	5.0	1.5
90	2.0	2.0
95	4.0	1.5
92	2.5	2.5
95	3.0	3.3
94	3.5	2.3
94	2.5	4.2
94	3.0	2.5

要求:
(1）用電視廣告費用作自變量，月銷售收入作因變量，建立估計的回歸方程
(2)用電視廣告費用和報紙廣告費用作自變量，月銷售收入作因變量，建立估計的回歸方程。
(3）上述（1)和（2）所建立的估計的回歸方程中，電視廣告費用的系數是否相同?對其回歸系數分別進行解釋。
(4）在根據問題（2）所建立的估計的回歸方程中，月銷售收入的總變差中被估計的回歸方程所解釋的比例是多少?
(5）針對根據問題（2）所建立的估計的回歸方程，檢驗回歸系數是否顯著〈α=0.05)。
解：
1)$\hat{y}=88.63768+1.60386x_1$
2)

回歸統計
Multiple R	0.958663444
R Square	0.9190356
Adjusted R Square	0.88664984
標準誤差	0.642587303
觀測值	8

方差分析

	df	SS	MS	F	Significance F
回歸分析	2	23.43540779	11.7177039	28.37776839	0.001865242
殘差	5	2.064592208	0.412918442
總計	7	25.5

	Coefficients	標準誤差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	83.23009	1.573868952	52.88247894	4.57175E-08	79.18433275	87.27585063	79.18433275	87.27585063
電視廣告費用x_1x1?（萬元）	2.29018	0.304064556	7.531899313	0.000653232	1.508560796	3.071806446	1.508560796	3.071806446
報紙廣告費用x_2x2?（萬元)	1.30099	0.320701597	4.056696662	0.009760798	0.476599398	2.125378798	0.476599398	2.125378798

$\hat{y}=83.23009+2.29018x_1+1.30099x_2$
3)不相同，在1）中，${\hat{\beta }}_1=1.60386$表示電視廣告費用每增加1萬元，月銷售收入平均增加1.60386萬元；在2）中表示，在報紙廣告費用不變的情況下，電視廣告費用每增加1萬元，月銷售收入平均增加2.29018萬元。
4）$R^2=91.90\%,R_a^2=88.66\%$,月銷售收入的總變差中被估計的回歸方程所解釋的比例是$88.66\%$
5)${\beta }_1$的P-value=0.000653232，${\beta }_2$的P-value=0.009760798，均小于0.05，兩個回歸系數均顯著。
12.3 某農場通過試驗取得早稻收獲量與春季降雨量和春季溫度的數據如下：

收獲量$y(kg/h{m}^2)$降雨量$x_1（mm)$溫度$x_2(℃)$

2250	25	6
3450	33	8
4 500	45	10
6 750	105	13
7 200	110	14
7500	115	16
8 250	120	17

要求:
(1) 確定早稻收獲量對春季降雨量和春季溫度的二元線性回歸方程。
(2) 解釋回歸系數的實際意義。
(3) 根據你的判斷,模型中是否存在多重共線性?
解：
1)$\hat{y}=?0.5910+22.3865x_1+327.6717x_2$
2)回歸系數${\hat{\beta }}_1$=22.3865表示，降雨量每增加1mm，小麥收獲量平均增加$22.3865(kg/h{m}^2)$;回歸系數${\hat{\beta }}_2$=327.6717表示，溫度每增加1℃，小麥收獲量平均增加$327.6717(kg/h{m}^2)$。
(3) 從降雨量和溫度與收獲量的關系看，兩個變量與收獲量之間都存在較強的關系，而且溫度與降雨量之間也存在較強的關系，因此，模型中可能存在多重共線性。
12.4 一家房地產評估公司想對某城市的房地產銷售價格(y)與地產估價($x_1$)、房產估價（$x_2$）和使用面積($x_3$）建立一個模型，以便對銷售價格作出合理預測。為此，它收集了20棟住宅的房地產評估數據。

房地產編號銷售價格y（元/平方米)地產估價$x_1$(萬元）房產估價$x_2$(萬元）使用面積$x_3$(平方米)

1	6890	596	4497	18730
2	4850	900	2780	9 280
3	5550	950	3144	11 260
4	6 200	1000	3959	12650
5	11 650	1 800	7283	22140
6	4 500	850	2732	9120
7	3 800	800	2986	8 990
8	8300	2300	4775	18030
9	5 900	810	3912	12040
10	4 750	900	2935	17250
11	4 050	730	4012	10 800
12	4 000	800	3168	15 290
13	9 700	2000	5851	24 550
14	4 550	800	2345	11 510
15	4 090	800	2089	11 730
16	8 000	1050	5625	19 600
17	5 600	400	2086	13440
18	3 700	450	2261	9 880
19	5 000	340	3595	10 760
20	2240	150	578	9620

用Excel進行回歸,并回答下面的問題:
(1)寫出估計的多元回歸方程。
(2）銷售價格的總變差中被估計的回歸方程所解釋的比例是多少?
(3)檢驗回歸方程的線性關系是否顯著（α=0.05)。
(4）檢驗各回歸系數是否顯著（α=0.05)。
解：
回歸統計

Multiple R	0.947362461
R Square	0.897495632
Adjusted R Square	0.878276063
標準誤差	791.6823283
觀測值	20

方差分析

	df	SS	MS	F	Significance F
回歸分析	3	87803505.46	29267835.15	46.69696966	3.87913E-08
殘差	16	10028174.54	626760.909
總計	19	97831680

	Coefficients	標準誤差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	148.700454	574.421324	0.25887001	0.799036421	-1069.018355	1366.419263	-1069.018355	1366.419263
地產估價	0.814738183	0.511988507	1.591321236	0.13109905	-0.270628965	1.900105332	-0.270628965	1.900105332
房產估價	0.820979542	0.211176502	3.887646272	0.001307361	0.373305355	1.268653728	0.373305355	1.268653728
使用面積	0.135041012	0.065863312	2.050322204	0.057088037	-0.004582973	0.274664997	-0.004582973	0.274664997

1）$\hat{y}=148.7005+0.8147x_1+0.8210x_2+0.1350x_3$
2)$R^2=89.75\%,R_a^2=87.83\%$
3)Significance F=3.88E-08<0.05 顯著
4)${\beta }_1的P?value=0.1311>\alpha ,不顯著；$
${\beta }_2的P?value=0.0013<\alpha ,顯著$;
${\beta }_3的P?value=0.0571>\alpha ,不顯著$
12.5 下面是隨機抽取的15家大型商場銷售的同類產品的有關數據:
單位:元

企業編號銷售價格y購進價格$x_1$銷售費用$x_2$

1	1238	966	223
2	1 266	894	257
3	1 200	440	387
4	1193	664	310
5	1106	791	339
6	1 303	852	283
7	1313	804	302
8	1144	905	214
9	1286	771	304
10	1084	511	326
11	1120	505	339
12	1 156	851	235
13	1 083	659	276
14	1 263	490	390
15	1246	696	316

要求:
(1)計算y與$x_1、y與x_2$之間的相關系數，是否有證據表明銷售價格與購進價格、銷售價格與銷售費用之間存在線性關系?
(2)根據上述結果，你認為用購進價格和銷售費用來預測銷售價格是否有效?
(3)用 Excel進行回歸，并檢驗模型的線性關系是否顯著（α=0.05）。
(4)解釋判定系數$R^2$,所得的結論與（2)是否一致?
(5)計算$x_1與x_2$之間的相關系數，所得結果意味著什么?
(6)模型中是否存在多重共線性?你對模型有何建議?
解：1）$r_{y{x}_1}=0.3090;r_{y{x}_2}=0.0012$
$t_1=|r|\sqrt{\frac{n?2}{1?r^2}}=1.1712$
$t_2=|r|\sqrt{\frac{n?2}{1?r^2}}=0.0044$
$t_{\alpha /2}(n?2)=2.1604$
$t_1<t_{\alpha /2}(n?2),t_2<t_{\alpha /2}(n?2)$
所以沒有證據表明銷售價格與購進價格、銷售價格與銷售費用之間存在線性關系
2）無效
3）

回歸統計
Multiple R	0.59368371
R Square	0.352460348
Adjusted R Square	0.244537073
標準誤差	69.75121229
觀測值	15

方差分析
	df	SS	MS	F	Significance F
回歸分析	2	31778.15394	15889.07697	3.26584184	0.073722186
殘差	12	58382.77939	4865.231616
總計	14	90160.93333

	Coefficients	標準誤差	t Stat	P-value	Lower 95%	Upper 95%	下限 95.0%	上限 95.0%
Intercept	375.6018288	339.410562	1.10662976	0.290145025	-363.9102582	1115.113916	-363.9102582	1115.113916
購進價格x_1x1?	0.537840951	0.21044674	2.55571054	0.02519961	0.079316894	0.996365008	0.079316894	0.996365008
銷售費用x_2x2?	1.457193542	0.667706586	2.182386056	0.049681066	0.002385867	2.912001217	0.002385867	2.912001217

Significance F=0.0737>0.05，不顯著

4）$R^2=35.25\%,R_a^2=24.45\%$，一致
5)$r_{x_1{x}_2}=?0.8529$，$x_1{x}_2$之間高度負相關
6)因為$x_1{x}_2$之間高度負相關，可能存在多重共線性。可剔除一個變量建立模型再驗證。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的第12章 多元线性回归-整理6的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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