实数系的基本定理_七大实数理论与互推
七大實(shí)數(shù)理論簡(jiǎn)介
（一）確界原理
定義1.1：
是一個(gè)非空數(shù)集， 是一個(gè)常數(shù)，若 ，有 ，則稱(chēng) 是數(shù)集 的一個(gè)上界。同理，若 ，有 ，則稱(chēng) 是數(shù)集 的一個(gè)下界。定義1.2：若 是數(shù)集 的一個(gè)上界，并且有 ， ，滿足 ，則稱(chēng) 是數(shù)集 的上確界。類(lèi)似的，若 是數(shù)集 的一個(gè)下界，并且有 ， ，滿足 ，則稱(chēng) 是數(shù)集 的下確界。
定理1.1：若數(shù)集
有上確界，則上確界是唯一的。證明：使用反證法，若
是數(shù)集 的上確界，假設(shè)還有 也是上確界。若
，根據(jù)定義1.2的否定，取 ，此時(shí) ，有 ，有 ，因此 不是數(shù)集 的上確界。若
，根據(jù)定義1.2，取 ，那么 ，使得 ，因此 不是數(shù)集 的上確界。綜上所述，
，上確界唯一。類(lèi)似的，我們有：
定理1.2：若數(shù)集
有下確界，則下確界是唯一的。定理1.3：若數(shù)集
的下確界為 ，定義數(shù)集 ， 那么數(shù)集 的上確界是 。證明：由于
是數(shù)集 的下界，根據(jù)定義1.1，有 ， ， 是數(shù)集 的上界。根據(jù)定義1.2有 ， ，滿足 ，也就 ，滿足 。因此 是數(shù)集 的上確界。類(lèi)似的，我們有：
定理1.4：若數(shù)集
的上確界為 ，定義集合 ， 那么數(shù)集 的下確界是 。在定理1.3的證明過(guò)程中我們可以得到如下結(jié)論：
定理1.5：若
是數(shù)集 的下界，定義數(shù)集 ， 那么 是數(shù)集 的上界。定理1.6：若
是數(shù)集 的上界，定義數(shù)集 ， 那么 是數(shù)集 的下界。定理1.7（確界原理）：有上界的非空數(shù)集必有上確界。
推論：有下界的非空數(shù)集必有下確界。
證明：設(shè)
是數(shù)集 的一個(gè)下界，定義數(shù)集 ， 根據(jù)定理1.5， 是數(shù)集 的上界。再根據(jù)定理1.7（確界原理），數(shù)集 必有上確界 ，再根據(jù)定理1.4，數(shù)集B的下確界為 。注：確界原理可以被看做公理，它是實(shí)數(shù)的連續(xù)性或完備性的體現(xiàn)，即實(shí)數(shù)包含了數(shù)軸上所有的點(diǎn)，沒(méi)有空隙。數(shù)集
的上確界常被記作 ，下確界記作 。（二）區(qū)間套定理
定理2.1（區(qū)間套定理）：數(shù)列
和 構(gòu)成閉區(qū)間列 ，滿足（1）
有（2）
則區(qū)間列
，存在唯一公共點(diǎn) ，且 。注：該定理閉區(qū)間條件必不可少，例如區(qū)間列
和 都不存在公共點(diǎn) 。（三）單調(diào)有界原理
定義3.1：若一個(gè)數(shù)集既有上界，又有下界，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)集有界。
定理3.1（單調(diào)有界原理）：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。
注：后面我們會(huì)證明，若數(shù)列單調(diào)遞增，則極限為上確界，若單調(diào)遞減，則極限為下確界。
（四）柯西收斂原理
定理4.1（柯西收斂準(zhǔn)則）：若對(duì)于數(shù)列
， ， ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切自然數(shù) ，有 。則數(shù)列 收斂。定理4.2（柯西收斂準(zhǔn)則逆命題）若數(shù)列
收斂，則， ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切自然數(shù) ，有 。證明：設(shè)
，根據(jù)極限定義， ，， ，當(dāng) 時(shí)， ，同時(shí)因?yàn)? ，也有。因此。得證。注：多數(shù)教科書(shū)上把以上兩個(gè)命題稱(chēng)為柯西收斂準(zhǔn)則，筆者認(rèn)為這是不妥的。定理4.2的證明完全來(lái)自于極限的定義，不依賴(lài)與其他六個(gè)實(shí)數(shù)理論中的任何一個(gè)，與他們不能互推。因此，柯西收斂準(zhǔn)則在本文中指的就是定理4.1。
（五）致密性定理
定義5.1：在一個(gè)數(shù)列中，按原順序任意選出無(wú)窮多項(xiàng)，構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列。這個(gè)新的數(shù)列稱(chēng)為原數(shù)列的子列。
定理5.1（致密性定理）：有界數(shù)列必有收斂子列。
（六）聚點(diǎn)定理
定義6.1：
，開(kāi)區(qū)間 稱(chēng)為 的 鄰域，記作 , 稱(chēng)作該鄰域的半徑。定義6.2：
， 稱(chēng)為 的去心 鄰域，記作。定義6.3：設(shè)
是數(shù)集，實(shí)數(shù)滿足， ，滿足，則稱(chēng) 為 的聚點(diǎn)。定理6.1（聚點(diǎn)定理）：有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。
定理6.2：若
為 的聚點(diǎn)，則 的任何 鄰域均包含無(wú)限個(gè) 中的點(diǎn)。證明：假設(shè)
的任何 鄰域僅僅包含 個(gè) 中的點(diǎn)，記作 ，令 ，則有， 不是聚點(diǎn)。（七）有限覆蓋定理
定理7.1（有限覆蓋定理）：若開(kāi)區(qū)間所成的區(qū)間集
覆蓋閉區(qū)間 ，則可以從 中選出有限個(gè)區(qū)間覆蓋 。注：區(qū)間集
必須為開(kāi)區(qū)間集，否則集合不能成立。七大實(shí)數(shù)理論互推
（一）確界原理
（三）單調(diào)有界定理定理3.1（單調(diào)有界原理）：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。不妨設(shè)數(shù)列
單調(diào)遞增。顯然它有上界，根據(jù)確界原理，記上確界為 。根據(jù)上確界的定義，
， ，由于單調(diào)遞增， 時(shí)有 。同時(shí)顯然有 。故 成立，故的極限就是上確界 。同理可證，當(dāng)
單調(diào)遞減時(shí)，極限為下確界。（三）單調(diào)有界定理
（二）區(qū)間套定理定理2.1（區(qū)間套定理）：數(shù)列 和 構(gòu)成閉區(qū)間列 ，滿足（1） 有
（2）
則區(qū)間列 ，存在唯一公共點(diǎn) ，且 。
由于
單調(diào)遞減， 單調(diào)遞增，且 ，根據(jù)單調(diào)有界原理，兩個(gè)數(shù)列的極限均存在。 。顯然兩者極限相等，記為 ，并且 為 的下確界， 的上確界。故有 。若
不唯一，假設(shè)有 ，由夾逼定理得，，故 ，因此 唯一。（二）區(qū)間套定理
（一）確界原理定理1.7（確界原理）：有上界的非空數(shù)集必有上確界。設(shè)
為任一非空有上界數(shù)集，若實(shí)數(shù) 是 的最大值，可以驗(yàn)證 就是上確界。若
沒(méi)有最大值，則隨意取 ， 為 的任一上界。若 為上界，則令 ， ，反之，則令 ， 這樣依次取得數(shù)列 和 ，構(gòu)成區(qū)間套，且。根據(jù)區(qū)間套定理，存在唯一 ，使 。由于
是上界， 有 ，兩側(cè)取極限有。故 是 的上界。由于
， ，有 ，使得 時(shí)有 ，又因?yàn)? 不是上界，故 ,有。因此 是上確界。（二）區(qū)間套定理
（五）致密性定理定理5.1（致密性定理）：有界數(shù)列必有收斂子列。設(shè)
為一有界數(shù)列，有 ，將區(qū)間 分成 和 兩部分，顯然至少一個(gè)區(qū)間包含無(wú)窮多項(xiàng)，取那個(gè)區(qū)間的下界記作 ，上界記作 。在該區(qū)間任取一項(xiàng)記作 。依次取下去得到數(shù)列 和 和閉區(qū)間列 ，且。根據(jù)區(qū)間套定理，，由于每一個(gè)區(qū)間包含無(wú)窮多項(xiàng)，因而可以取到完整的子列 ，并且有 ，根據(jù)夾逼定理有。（二）區(qū)間套定理
（六）聚點(diǎn)定理定理6.1（聚點(diǎn)定理）：有界無(wú)窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。證明方法與上面一個(gè)類(lèi)似。
（二）區(qū)間套定理
（七）有限覆蓋定理定理7.1（有限覆蓋定理）：若開(kāi)區(qū)間所成的區(qū)間集 覆蓋閉區(qū)間 ，則可以從 中選出有限個(gè)區(qū)間覆蓋 。假設(shè)區(qū)間
不能被 中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，則將區(qū)間 分成 和 兩部分，至少有一個(gè)不能被有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，記為 ，這樣依次等分，得到一區(qū)間列，不難驗(yàn)證該區(qū)間列滿足區(qū)間套定理的使用條件，因而有。由于 能覆蓋閉區(qū)間 ，因此存在開(kāi)區(qū)間 ，有 ，由數(shù)列極限的定義， ，當(dāng) 時(shí)有 。即 。與假設(shè)矛盾。（五）致密性定理
（四）柯西收斂原理定理4.1（柯西收斂準(zhǔn)則）：若對(duì)于數(shù)列 ， ， ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切自然數(shù) ，有 。則數(shù)列 收斂。取
， ，當(dāng) 時(shí)，對(duì)一切自然數(shù) ，有 。取 。則有 時(shí)有 ，因此有界。由致密性定理，存在收斂子列 ，不妨設(shè) 。根據(jù)極限定義， ， ，當(dāng) 時(shí)有 ，再考慮柯西列的定義，，當(dāng) 時(shí)有 ，從而當(dāng)上述兩條件均滿足時(shí)有 ，故數(shù)列 收斂。（四）柯西收斂原理
（二）區(qū)間套定理設(shè)閉區(qū)間列
，滿足（1）
有（2）
由條件（2），
， ，當(dāng) 時(shí)有， 。對(duì)一切自然數(shù) ，有 ，因而有 ，。由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列 和 都收斂。再根據(jù)。有。由于極限的唯一性， 唯一。（五）致密性定理
（六）聚點(diǎn)定理設(shè)點(diǎn)集
為一有界無(wú)窮點(diǎn)集，依次任取 中不重復(fù)的點(diǎn)構(gòu)成數(shù)列 ，根據(jù)致密性定理，必存在收斂子列滿足 ，由極限定義， ， ，使 時(shí)有 ，因而 是聚點(diǎn)。（六）聚點(diǎn)定理
（五）致密性定理設(shè)數(shù)列
有界，顯然可以看做一無(wú)窮點(diǎn)集，根據(jù)聚點(diǎn)定理，至少存在一個(gè)聚點(diǎn) 。依次從 的 鄰域中取一項(xiàng)，記作 ，根據(jù)定理6.2，可以無(wú)限取下去構(gòu)成子列 ，且有 ，易證 S 。（七）有限覆蓋定理
（六）聚點(diǎn)定理設(shè)
為一有界無(wú)限點(diǎn)集， ， 。假設(shè) 沒(méi)有聚點(diǎn)，即 ，在 的 去心領(lǐng)域內(nèi)只包含有限多項(xiàng)，這些領(lǐng)域可以構(gòu)成開(kāi)區(qū)間集 ，根據(jù)有限覆蓋定理，該開(kāi)覆蓋必有有限子覆蓋 能夠覆蓋區(qū)間 。然而中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間必然只包含有限個(gè) 中的點(diǎn)，與已知矛盾。（七）有限覆蓋定理
（五）致密性定理將數(shù)列看作無(wú)窮點(diǎn)集，證明與上類(lèi)似。
至此，我們完成了七大實(shí)數(shù)理論的連接，即從任何一個(gè)實(shí)數(shù)理論出發(fā)可以推出其它六個(gè)定理（如文章開(kāi)始的圖所示）。
該圖所展示的邏輯架構(gòu)為多數(shù)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)分析教材的論證過(guò)程，事實(shí)上，任何兩個(gè)實(shí)數(shù)理論之間均可以互推，具體內(nèi)容如下：
烏蘭巴托海軍：七大實(shí)數(shù)理論互推完整版?zhuanlan.zhihu.com一下這篇文章講述了實(shí)數(shù)理論在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用：
烏蘭巴托海軍：實(shí)數(shù)理論的基本應(yīng)用?zhuanlan.zhihu.com總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的实数系的基本定理_七大实数理论与互推的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。
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