七大實數理論簡介

（一）確界原理

定義1.1：

是一個非空數集， 是一個常數，若 ，有 ，則稱 是數集 的一個上界。同理，若 ，有 ，則稱 是數集 的一個下界。
定義1.2：若 是數集 的一個上界，并且有 ， ，滿足 ，則稱 是數集 的上確界。類似的，若 是數集 的一個下界，并且有 ， ，滿足 ，則稱 是數集 的下確界。

定理1.1：若數集

有上確界，則上確界是唯一的。

證明：使用反證法，若

是數集 的上確界，假設還有 也是上確界。

若

，根據定義1.2的否定，取 ，此時 ，有 ，有 ，因此 不是數集 的上確界。

若

，根據定義1.2，取 ，那么 ，使得 ，因此 不是數集 的上確界。

綜上所述，

，上確界唯一。

類似的，我們有：

定理1.2：若數集

有下確界，則下確界是唯一的。

定理1.3：若數集

的下確界為 ，定義數集 ， 那么數集 的上確界是 。

證明：由于

是數集 的下界，根據定義1.1，有 ， ， 是數集 的上界。根據定義1.2有 ， ，滿足 ，也就 ，滿足 。因此 是數集 的上確界。

類似的，我們有：

定理1.4：若數集

的上確界為 ，定義集合 ， 那么數集 的下確界是 。

在定理1.3的證明過程中我們可以得到如下結論：

定理1.5：若

是數集 的下界，定義數集 ， 那么 是數集 的上界。

定理1.6：若

是數集 的上界，定義數集 ， 那么 是數集 的下界。
定理1.7（確界原理）：有上界的非空數集必有上確界。

推論：有下界的非空數集必有下確界。

證明：設

是數集 的一個下界，定義數集 ， 根據定理1.5， 是數集 的上界。再根據定理1.7（確界原理），數集 必有上確界 ，再根據定理1.4，數集B的下確界為 。

注：確界原理可以被看做公理，它是實數的連續性或完備性的體現，即實數包含了數軸上所有的點，沒有空隙。數集

的上確界常被記作 ，下確界記作 。

（二）區間套定理

定理2.1（區間套定理）：數列

和 構成閉區間列 ，滿足

（1）

有

（2）

則區間列

，存在唯一公共點 ，且 。

注：該定理閉區間條件必不可少，例如區間列

和 都不存在公共點 。

（三）單調有界原理

定義3.1：若一個數集既有上界，又有下界，則稱這個數集有界。

定理3.1（單調有界原理）：單調有界的數列必有極限。

注：后面我們會證明，若數列單調遞增，則極限為上確界，若單調遞減，則極限為下確界。

（四）柯西收斂原理

定理4.1（柯西收斂準則）：若對于數列

， ， ，當 時，對一切自然數 ，有 。則數列 收斂。

定理4.2（柯西收斂準則逆命題）若數列

收斂，則， ，當 時，對一切自然數 ，有 。

證明：設

，根據極限定義， ，， ，當 時， ，同時因為 ，也有。因此。得證。

注：多數教科書上把以上兩個命題稱為柯西收斂準則，筆者認為這是不妥的。定理4.2的證明完全來自于極限的定義，不依賴與其他六個實數理論中的任何一個，與他們不能互推。因此，柯西收斂準則在本文中指的就是定理4.1。

（五）致密性定理

定義5.1：在一個數列中，按原順序任意選出無窮多項，構成一個新的數列。這個新的數列稱為原數列的子列。

定理5.1（致密性定理）：有界數列必有收斂子列。

（六）聚點定理

定義6.1：

，開區間 稱為 的 鄰域，記作 , 稱作該鄰域的半徑。

定義6.2：

， 稱為 的去心 鄰域，記作。

定義6.3：設

是數集，實數滿足， ，滿足，則稱 為 的聚點。

定理6.1（聚點定理）：有界無窮點集至少有一個聚點。

定理6.2：若

為 的聚點，則 的任何 鄰域均包含無限個 中的點。

證明：假設

的任何 鄰域僅僅包含 個 中的點，記作 ，令 ，則有， 不是聚點。

（七）有限覆蓋定理

定理7.1（有限覆蓋定理）：若開區間所成的區間集

覆蓋閉區間 ，則可以從 中選出有限個區間覆蓋 。

注：區間集

必須為開區間集，否則集合不能成立。

七大實數理論互推

（一）確界原理

（三）單調有界定理定理3.1（單調有界原理）：單調有界的數列必有極限。

不妨設數列

單調遞增。顯然它有上界，根據確界原理，記上確界為 。

根據上確界的定義，

， ，由于單調遞增， 時有 。同時顯然有 。故 成立，故的極限就是上確界 。

同理可證，當

單調遞減時，極限為下確界。

（三）單調有界定理

（二）區間套定理定理2.1（區間套定理）：數列 和 構成閉區間列 ，滿足
（1） 有
（2）
則區間列 ，存在唯一公共點 ，且 。

由于

單調遞減， 單調遞增，且 ，根據單調有界原理，兩個數列的極限均存在。 。顯然兩者極限相等，記為 ，并且 為 的下確界， 的上確界。故有 。

若

不唯一，假設有 ，由夾逼定理得，，故 ，因此 唯一。

（二）區間套定理

（一）確界原理定理1.7（確界原理）：有上界的非空數集必有上確界。

設

為任一非空有上界數集，若實數 是 的最大值，可以驗證 就是上確界。

若

沒有最大值，則隨意取 ， 為 的任一上界。若 為上界，則令 ， ，反之，則令 ， 這樣依次取得數列 和 ，構成區間套，且。根據區間套定理，存在唯一 ，使 。

由于

是上界， 有 ，兩側取極限有。故 是 的上界。

由于

， ，有 ，使得 時有 ，又因為 不是上界，故 ,有。因此 是上確界。

（二）區間套定理

（五）致密性定理定理5.1（致密性定理）：有界數列必有收斂子列。

設

為一有界數列，有 ，將區間 分成 和 兩部分，顯然至少一個區間包含無窮多項，取那個區間的下界記作 ，上界記作 。在該區間任取一項記作 。依次取下去得到數列 和 和閉區間列 ，且。根據區間套定理，，由于每一個區間包含無窮多項，因而可以取到完整的子列 ，并且有 ，根據夾逼定理有。

（二）區間套定理

（六）聚點定理定理6.1（聚點定理）：有界無窮點集至少有一個聚點。

證明方法與上面一個類似。

（二）區間套定理

（七）有限覆蓋定理定理7.1（有限覆蓋定理）：若開區間所成的區間集 覆蓋閉區間 ，則可以從 中選出有限個區間覆蓋 。

假設區間

不能被 中有限個開區間覆蓋，則將區間 分成 和 兩部分，至少有一個不能被有限個開區間覆蓋，記為 ，這樣依次等分，得到一區間列，不難驗證該區間列滿足區間套定理的使用條件，因而有。由于 能覆蓋閉區間 ，因此存在開區間 ，有 ，由數列極限的定義， ，當 時有 。即 。與假設矛盾。

（五）致密性定理

（四）柯西收斂原理定理4.1（柯西收斂準則）：若對于數列 ， ， ，當 時，對一切自然數 ，有 。則數列 收斂。

取

， ，當 時，對一切自然數 ，有 。取 。則有 時有 ，因此有界。由致密性定理，存在收斂子列 ，不妨設 。根據極限定義， ， ，當 時有 ，再考慮柯西列的定義，，當 時有 ，從而當上述兩條件均滿足時有 ，故數列 收斂。

（四）柯西收斂原理

（二）區間套定理

設閉區間列

，滿足

（1）

有

（2）

由條件（2），

， ，當 時有， 。對一切自然數 ，有 ，因而有 ，。由柯西收斂準則，數列 和 都收斂。再根據。有。由于極限的唯一性， 唯一。

（五）致密性定理

（六）聚點定理

設點集

為一有界無窮點集，依次任取 中不重復的點構成數列 ，根據致密性定理，必存在收斂子列滿足 ，由極限定義， ， ，使 時有 ，因而 是聚點。

（六）聚點定理

（五）致密性定理

設數列

有界，顯然可以看做一無窮點集，根據聚點定理，至少存在一個聚點 。依次從 的 鄰域中取一項，記作 ，根據定理6.2，可以無限取下去構成子列 ，且有 ，易證 S 。

（七）有限覆蓋定理

（六）聚點定理

設

為一有界無限點集， ， 。假設 沒有聚點，即 ，在 的 去心領域內只包含有限多項，這些領域可以構成開區間集 ，根據有限覆蓋定理，該開覆蓋必有有限子覆蓋 能夠覆蓋區間 。然而中的有限個開區間必然只包含有限個 中的點，與已知矛盾。

（七）有限覆蓋定理

（五）致密性定理

將數列看作無窮點集，證明與上類似。

至此，我們完成了七大實數理論的連接，即從任何一個實數理論出發可以推出其它六個定理（如文章開始的圖所示）。

該圖所展示的邏輯架構為多數國內數學分析教材的論證過程，事實上，任何兩個實數理論之間均可以互推，具體內容如下：

烏蘭巴托海軍：七大實數理論互推完整版?zhuanlan.zhihu.com

一下這篇文章講述了實數理論在數學分析中的應用：

烏蘭巴托海軍：實數理論的基本應用?zhuanlan.zhihu.com

總結

以上是生活随笔為你收集整理的实数系的基本定理_七大实数理论与互推的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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