实数系的基本定理_什么是实数(1):Dedekind分割
這兩篇文章的主要目的是通過一個問題的證明，解釋以下如何構造實數，以及實數的基本性質。
問題：如何證明
?(注意這里是集合勢的嚴格大小關系，并不能簡單通過列舉實數比有理數多的某些無理數來說明。因為比如有理數是比自然數多得多，但是它們等勢)
接下來給出的證明過程主要是為了回答另一個相關的問題，主要證明策略是使用Cantor定理,并依照
。其中 是因為， ,冪集保持等勢關系不變。因此關鍵證明是，
，以下是主要步驟：A：實數與戴德金分割(Dedekinds cuts)一一對應,而每一個戴德金分割都是有理數的子集。而有理數與自然數等勢，即一一對應，那么
。B：Cantor對實數地構造，任何一個有理數組成地柯西列對應一個實數。這種構造與Dedekind分割定義地實數是等價的。
C：任何自然數形成的連分數必然是收斂到一個實數的，因為無限連分數的有限部分形成的序列是有理數組成的柯西列，因此存在自然數子集到某個實數的映射，因此
1：有理數的缺陷
正如我們可以從空集中構造自然數那樣，從自然數構造有理數那樣，我們同樣可以從有理數中構造出實數。
正如有理數的產生是因為整數的缺陷，即兩個有理數做除法運算結果不是有理數，因此需要構建有理數的概念，方便人們自由地做有限次的四則運算。
但是當做無限次運算的時候也會出現一些問題，比如下面這個例子：
例子1：令
不是有理數假設如果e是有理數，那么必然有非零的兩個正整數使得，
,那么同時，我們也可以把級數表示的e改寫成既然如此，那么
,這就意味著， 必然是整數。但是，我們發現于是這不可能是一個整數，除非q=1,如果q=1說明e是整數，但是我們可以證明2<e<3，因此不可能。
補充說明:
如何證明e<3?如同上面的證明一樣，我們可以把無窮求和截斷部分和與余項兩個部分：
，假設余項設為 ,仿照上面的操作，我們可以估計余項的大小。對于
,據此我們可以估計得出，于是只要選取合適的N，就能估計e的一個上界，因為
如果N=10,那么
Ne<2.8<3
綜上，說明e是無理數。
像例1這樣的例子還有許多，比如
,因為2開根號本身就可以理解為無限次的四則運算: ,其中求和的每一項, ，都是有理數，但是這些有理數的和卻不是有理數。當然上面的例子都是有理數的無限次加法可以超出有理數的界限，那么乘法呢？乘法的舉例，可以遵循，可以把無限次加法轉換成乘法的技巧，比如歐拉乘積。
巴塞爾問題里面最簡單的例子，
，在假設已經知道pi非有理數的前提下，知道這個求和也并非有理數，再然后可以知道有歐拉乘積可以轉化為這個求和，即，其中,p取遍全體素數，自然的，乘積里面每一項都是有理數，但是最后的結果卻非有理數。
也即是說，實數的創造能夠保證即便是做無限次的四則運算，運算也是封閉的。從更專業的分析數的角度講，收斂的有理數列并不能保證其極限一定是有理數。
接下來的問題，如何從有理數中構造實數。
2：什么是實數？
實數的公理其實就是在有理數的公理的基礎上添加一條公理，使得有理數集合被擴展。
前三條公理分別是(有理數集都有的性質)：
也就是說如果我們定義實數集，那么肯定也是要定義在這個集合上的四則運算的，于是需要
這是一個域。這個條件有理數集合的時候就已經滿足。所謂一個域就是做有限次四則運算是封閉的，可定義的。2.裝備上
關系的這個集合是一個全序集。這個性質其實有理數集合也有，其意思就是任何兩個元素都可以用
定義之間的關系，也就是說任何兩個元素必然可以比大小。3.兩種運算
和關系 是兼容的。比如：
其中 ,則以及：
在繼承前三種性質的基礎上，添加一種有理數集沒有的性質：完備性。
4.偏序關系
是完備的，即該集合的任意有上界的非空真子集存在上確界。毫無疑問，這一條性質是建立在這個集合裝備
這個關系上的。因為上確界的定義必然與之相關。上界：對于任何有偏序關系的集合 ，其非空子集S的上界指的是，存在一個 ,使得任何 有 。上確界：如果b是S的上界，比涅對所有的S的上界z，有 。則稱b是S的上確界。實數的第四條公理是有理數集合不具備的。
(補充我們在此基礎上還可以定義關系：
， 即 。)簡單總結上面的幾條公理，上面的關系實際上定義了一個具有全序關系的域，稱之為有序域。不過按照定義，有理數集也是有序域，所以還要添加上最后一條完備公理，使得這個域成為一個完備的有序域。
例子2：
在有理數集的范圍內是沒有上確界的。前面已經證明
不是有理數，因此S的上界只能是大于 的有理數。對于 ,我們發現總是可以找到從上面不斷接近于它的有理數，比如 。如果我們可以證明，對于任意
,總是存在有理數 則自然S并不存在什么上確界，因為任意上界總是找得到更小的上界。令
,則 ，則必然存在 ，其中n是整數。因為必然存在一個整數使得 ，否則 就是 的上界了，而 是沒有上界的。上述關系等價于，
,離 還差一點。于是我們這樣想，如果 是有理數，或者我們可以找到 ,問題應該就解決了，即 ,如果開始那一步我們選定了n,滿足不等式，那么我們只需要找 最接近于na的整數就好了。考慮
,換言之 。首先A不會是空集，因為整數集是沒有上界的。其次A存在一個最小下界，即一個最小的m使得
。道理很簡單，整數集也沒有下界，如果A在整數集合里面沒有下確界，那么任意一個下界總是可以找到比它更小的下界比如m-1。如此不斷重復，那么A顯然是無下界的，這與x>na矛盾。因為m是最小的整數滿足
,那么 ,于是 ，于是 ，所以 。這樣便證明了集合
在有理數范圍內是沒有上確界的。這啟發我們這樣定義實數，雖然每一個無理數沒辦法像有理數這樣具體的寫出來，但是可以通過對有理數進行分割得到一種實數的表示。
3.Dedekind分割
這一節主要的目的就是定義Dedekind分割，以及證明實數和有理數的戴德金分割一一對應
。如果證明了這一點，就可以證明 ,完成問題的前半部分的證明。例子2中的集合
是有理數集合的真子集，并且滿足以下兩個條件：1):任何
,以及任何 ,如果y<x,那么 。2):任何
,存在 ,使得x<y。如果一個有理數的真子集滿足以上兩條性質，那么稱其為有理數集合的一個Dedekind分割。(之所以稱之為分割，是因為S以及S在
的補集構成有 的一個劃分。)Dedekind分割如何構造實數？
如果我們假設
為全體有理數 的Dedekind分割，要證明 確實能夠構成之實數定義中所要求的四條公理所呈現的完備有序域，那么我們首先要定義其中的運算，以及偏序關系，最后表明其具備完備性。首先是Dedekind分割的表示，對于一般的D cut我們不能像例子2中那樣去表示，因為我們正是要從有理數中構造出實數，直接 ， 顯然不妥，我們正是要構造出滿足四條公理的完備有序域，即實數域，但是又在定義中使用實數域的概念，邏輯上是混亂的。例子2在當前目標(從有理數中構造實數、 )的語境下是不妥的，實際上應該表示為：
當然一部分的Dedekind分割是可以即不違背當前構造實數的基本邏輯，又非常具體的表示出來。也就是
中的子集， 。 可以定義為， ,可以很快的驗證 的定義符合例子2中提到的兩個條件。假設現在要在
的基礎上，定義 的兩種域運算( )，那么既然我們定義的是和實數域等價的東西，作為子域 必然要與有理數域 同構才行。在這個想法的基礎上，可以嘗試在 上定義 。 ,直接復制有理數中的運算和偏序，不難發現
實際上就是兩個集合中的任意有理數s,t,兩兩復制有理數的計算得到新的集合，并且要滿足一個封閉性，也就是作為結果的集合必須也是Dedekind分割。很容易想到定義這樣一個自然的映射：
,也就是說要做到三件事：
如果我們用上文中約定的
中元素的具體的集合表示，根據上面的需求可以自然地定義 中的運算，并在之后把這些運算推廣到 中。 ，因為是一個域所以還要考慮逆元的問題，加法逆元和乘法的逆元，這樣才可以非常自然的定義減法(加法逆運算)，除法(乘法逆運算)。
首先是加法的單位元，
。現在定義
關于加法的逆元 , 需要滿足： 。很顯然 可以表示為， 。但是在
中這樣的定義是有問題的，因為 按照邏輯，我們要從 中產生實數，從無到有。所以定義 中的加法就不能像它的有理數子集那樣具體表示出來，不過形式雖然不一樣但是本質要一樣，于是可以定義：定義1.加法
:定義2.
關于加法逆元 ：并且不難證明這樣定義下的
也是一個Dedekind分割，只要證明按照這樣的定義能夠滿足之前的兩條定義。仿照上面的思考方式，現在來定義乘法和乘法的逆元。首先，
（r3的定義見上文，分類討論）,換一種說法，在 中不用 的具體表述，同樣可以實現相同的效果。這里由于是構造性的不能用實數來表達，但是在數軸上非常方便解釋。不嚴格地說(用來形象地理解定義)，其實數軸上 ,而 中地每一個元素都是 的一個上界。按照定義，始終存在 ,而-p又一直是 的上界，這樣的定義其實就相當于定義 。雖然我們現在還沒有定義出一個完備的有序域， 未必是有理數。首先需要定義類似于有理數中相當于絕對值的東西，此處
符號是作用在集合上的。定義3.
中元素的絕對值：注意這里絕對值的定義和通常有理數
中某個有理數的絕對值的定義是完全不一樣的，也不是把一個集合里面所有有理數全部加上絕對值。比如 , ,那么加上新定義的這個絕對值以后還是 ，但是這個集合里面的元素并不都是非負的。經過定義絕對值，我們就可以對于任何
中的兩個元素實現 中元素乘法一樣的效果。定義4.
中元素的乘法:最后還必須要定義乘法的逆元，這樣
作為一個有序域的基本條件才具備。首先參考
中具有具體形式的元素的乘法逆，也就是說，
。那很自然，按照之前定義的乘法，隨意取一個非零的元素 , 。所以 是乘法的單位元。那么按照乘法的定義有理數范圍內一個分割的乘法逆還是很顯然的，
的逆元 就是 。不過因為之前一樣的邏輯，我們在沒有得到實數以前并不能像有理數那樣建立起 的一個自然的映射，而是采用集合中邏輯的方式定義一個等價的東西，類似于我們之前定義加法逆元那樣(見定義2中地注釋)。仿照有理數部分，不嚴格地說我們要是定義了實數，其實想要表達的意思是, 關于乘法的逆元 其實就是 。為了實現這個效果又避免循環定義，同時我們也沒有證明每個元素都有在 中的上確界，我們可以采用邏輯來規避 的出現,于是有如下定義：定義5：乘法的逆元
當
,當
這里注意絕對值以及加法逆元的定義，參考定義2，定義3。
可以證明以上五個定義定義的
中的元素的運算滿足，結合律，交換律，分配律，有加法單位元，乘法單位元，以及是偏序關系是全序。(篇幅原因，證明略)因此
是一個有序域。既然
是一個有序域，這就意味著我們可以像 那樣隨意的對 中的元素進行四則運算。但是想要稱之為實數，還必須滿足最后一個完備性的條件。回憶實數需要滿足的完備性條件：
的任何有上界的非空真子集存在上確界。假設一個被比如
具有上確界，其實也就是要證明 上的任意Dedekind分割存在上確界。這是一個構造性的證明。假設
是 上的Dedekind分割，那么它其中的任意元素 也就是 中的元素，同時自然也都是 上的Dedekind分割。很容易證明
上Dedekind分割的任意并都是 上的Dedekind分割。那么， 也是 上的Dedekind分割，于是也是一個 中元素。接下來我們要證明，其實a就是A的上確界。
首先任意
中的元素 ,那么按照定義 ,所以 確實是 的一個上界。如果假設存在一個 是更小的上界，即 ，即 ，那么也就存在一個有理數 ,于是 必然 ,于是 ,這與 大于 中任意一個元素矛盾。因此 是它的上確界，進而任何 上的分割存在上確界。最后也就是說，
存在上確界性質。所以 是一個完備的有序域。以上就是用Dedekind分割從有理數構造實數的全部過程。以下在不做特殊區分的時候直接用
代替 ,用 替代 。4.
這里注意這里的集合勢之間也有一個偏序關系，這里的偏序關系的定義是如果從集合A到集合B之間存在一個滿射那么，
。回到問題，在已經清楚實數的Dedekin分割構造以后，實際上每一個實數對應一個有理數的分割，而每一個有理數的分割自然也是有理數的一個子集，于是
,于是 。而由于 ，可以證明勢在冪集上是不變量，所以 。補充：
如果兩個集合等勢，那么其冪集也等勢。即如果集合S,T之間建立起了一個雙射，那么P(S)與P(T)之間也能建立雙射。假設 是一個雙射，那么我們可以定義一種稱之為Direct image mapping 的映射:構造想法很簡單，f既然從S到T那么，f同樣能帶著S的子集飛向T的子集，因為Im(f)就是T的某子集。但是這個構造又好的性質，如果f本身是單射或者滿射，那么 同樣保持性質，也就是說 是雙射，可以得到 也是雙射。
于是建立起了冪集之間的雙射關系，也就是冪集也等勢。
接下里只需要證明
即可，因為集合勢的偏序關系已經被伯恩斯坦證明是全序，也就是說，結合前面的關系，必然 ，最后用Cantor定理可以得到 。這部分證明可以結合實數的另一種構造方式，Cantor的柯西列構造法。總結
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