這兩篇文章的主要目的是通過(guò)一個(gè)問(wèn)題的證明，解釋以下如何構(gòu)造實(shí)數(shù)，以及實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)。

問(wèn)題：如何證明

?

(注意這里是集合勢(shì)的嚴(yán)格大小關(guān)系，并不能簡(jiǎn)單通過(guò)列舉實(shí)數(shù)比有理數(shù)多的某些無(wú)理數(shù)來(lái)說(shuō)明。因?yàn)楸热缬欣頂?shù)是比自然數(shù)多得多，但是它們等勢(shì))

接下來(lái)給出的證明過(guò)程主要是為了回答另一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題，主要證明策略是使用Cantor定理,并依照

。其中 是因?yàn)?#xff0c; ,冪集保持等勢(shì)關(guān)系不變。

因此關(guān)鍵證明是，

，以下是主要步驟：

A：實(shí)數(shù)與戴德金分割(Dedekinds cuts)一一對(duì)應(yīng),而每一個(gè)戴德金分割都是有理數(shù)的子集。而有理數(shù)與自然數(shù)等勢(shì)，即一一對(duì)應(yīng)，那么

。

B：Cantor對(duì)實(shí)數(shù)地構(gòu)造，任何一個(gè)有理數(shù)組成地柯西列對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)。這種構(gòu)造與Dedekind分割定義地實(shí)數(shù)是等價(jià)的。

C：任何自然數(shù)形成的連分?jǐn)?shù)必然是收斂到一個(gè)實(shí)數(shù)的，因?yàn)闊o(wú)限連分?jǐn)?shù)的有限部分形成的序列是有理數(shù)組成的柯西列，因此存在自然數(shù)子集到某個(gè)實(shí)數(shù)的映射，因此

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1：有理數(shù)的缺陷

正如我們可以從空集中構(gòu)造自然數(shù)那樣，從自然數(shù)構(gòu)造有理數(shù)那樣，我們同樣可以從有理數(shù)中構(gòu)造出實(shí)數(shù)。

正如有理數(shù)的產(chǎn)生是因?yàn)檎麛?shù)的缺陷，即兩個(gè)有理數(shù)做除法運(yùn)算結(jié)果不是有理數(shù)，因此需要構(gòu)建有理數(shù)的概念，方便人們自由地做有限次的四則運(yùn)算。

但是當(dāng)做無(wú)限次運(yùn)算的時(shí)候也會(huì)出現(xiàn)一些問(wèn)題，比如下面這個(gè)例子：

例子1：令

不是有理數(shù)

假設(shè)如果e是有理數(shù)，那么必然有非零的兩個(gè)正整數(shù)使得，

,那么同時(shí)，我們也可以把級(jí)數(shù)表示的e改寫成

既然如此，那么

,這就意味著， 必然是整數(shù)。但是，我們發(fā)現(xiàn)

于是這不可能是一個(gè)整數(shù)，除非q=1,如果q=1說(shuō)明e是整數(shù)，但是我們可以證明2<e<3，因此不可能。

補(bǔ)充說(shuō)明:

如何證明e<3?如同上面的證明一樣，我們可以把無(wú)窮求和截?cái)嗖糠趾团c余項(xiàng)兩個(gè)部分：

，假設(shè)余項(xiàng)設(shè)為 ,仿照上面的操作，我們可以估計(jì)余項(xiàng)的大小。

對(duì)于

,據(jù)此我們可以估計(jì)得出，

于是只要選取合適的N，就能估計(jì)e的一個(gè)上界，因?yàn)?/p>

如果N=10,那么

N

e<2.8<3

綜上，說(shuō)明e是無(wú)理數(shù)。

像例1這樣的例子還有許多，比如

,因?yàn)?開(kāi)根號(hào)本身就可以理解為無(wú)限次的四則運(yùn)算:

,其中求和的每一項(xiàng), ，都是有理數(shù)，但是這些有理數(shù)的和卻不是有理數(shù)。

當(dāng)然上面的例子都是有理數(shù)的無(wú)限次加法可以超出有理數(shù)的界限，那么乘法呢？乘法的舉例，可以遵循，可以把無(wú)限次加法轉(zhuǎn)換成乘法的技巧，比如歐拉乘積。

巴塞爾問(wèn)題里面最簡(jiǎn)單的例子，

，在假設(shè)已經(jīng)知道pi非有理數(shù)的前提下，知道這個(gè)求和也并非有理數(shù)，再然后可以知道有歐拉乘積可以轉(zhuǎn)化為這個(gè)求和，即，

其中,p取遍全體素?cái)?shù)，自然的，乘積里面每一項(xiàng)都是有理數(shù)，但是最后的結(jié)果卻非有理數(shù)。

也即是說(shuō)，實(shí)數(shù)的創(chuàng)造能夠保證即便是做無(wú)限次的四則運(yùn)算，運(yùn)算也是封閉的。從更專業(yè)的分析數(shù)的角度講，收斂的有理數(shù)列并不能保證其極限一定是有理數(shù)。

接下來(lái)的問(wèn)題，如何從有理數(shù)中構(gòu)造實(shí)數(shù)。

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2：什么是實(shí)數(shù)？

實(shí)數(shù)的公理其實(shí)就是在有理數(shù)的公理的基礎(chǔ)上添加一條公理，使得有理數(shù)集合被擴(kuò)展。

前三條公理分別是(有理數(shù)集都有的性質(zhì))：

裝備上兩種運(yùn)算+, 的這個(gè)集合是一個(gè)域。

也就是說(shuō)如果我們定義實(shí)數(shù)集，那么肯定也是要定義在這個(gè)集合上的四則運(yùn)算的，于是需要

這是一個(gè)域。這個(gè)條件有理數(shù)集合的時(shí)候就已經(jīng)滿足。所謂一個(gè)域就是做有限次四則運(yùn)算是封閉的，可定義的。

2.裝備上

關(guān)系的這個(gè)集合是一個(gè)全序集。

這個(gè)性質(zhì)其實(shí)有理數(shù)集合也有，其意思就是任何兩個(gè)元素都可以用

定義之間的關(guān)系，也就是說(shuō)任何兩個(gè)元素必然可以比大小。

3.兩種運(yùn)算

和關(guān)系 是兼容的。

比如：

其中 ,則

以及：

在繼承前三種性質(zhì)的基礎(chǔ)上，添加一種有理數(shù)集沒(méi)有的性質(zhì)：完備性。

4.偏序關(guān)系

是完備的，即該集合的任意有上界的非空真子集存在上確界。

毫無(wú)疑問(wèn)，這一條性質(zhì)是建立在這個(gè)集合裝備

這個(gè)關(guān)系上的。因?yàn)樯洗_界的定義必然與之相關(guān)。上界：對(duì)于任何有偏序關(guān)系的集合 ，其非空子集S的上界指的是，存在一個(gè) ,使得任何 有 。上確界：如果b是S的上界，比涅對(duì)所有的S的上界z，有 。則稱b是S的上確界。

實(shí)數(shù)的第四條公理是有理數(shù)集合不具備的。

(補(bǔ)充我們?cè)诖嘶A(chǔ)上還可以定義關(guān)系：

， 即 。)

簡(jiǎn)單總結(jié)上面的幾條公理，上面的關(guān)系實(shí)際上定義了一個(gè)具有全序關(guān)系的域，稱之為有序域。不過(guò)按照定義，有理數(shù)集也是有序域，所以還要添加上最后一條完備公理，使得這個(gè)域成為一個(gè)完備的有序域。

例子2：

在有理數(shù)集的范圍內(nèi)是沒(méi)有上確界的。

前面已經(jīng)證明

不是有理數(shù)，因此S的上界只能是大于 的有理數(shù)。對(duì)于 ,我們發(fā)現(xiàn)總是可以找到從上面不斷接近于它的有理數(shù)，比如 。

如果我們可以證明，對(duì)于任意

,總是存在有理數(shù) 則自然S并不存在什么上確界，因?yàn)槿我馍辖缈偸钦业玫礁〉纳辖纭?p>令

,則 ，則必然存在 ，其中n是整數(shù)。因?yàn)楸厝淮嬖谝粋€(gè)整數(shù)使得 ，否則 就是 的上界了，而 是沒(méi)有上界的。

上述關(guān)系等價(jià)于，

,離 還差一點(diǎn)。于是我們這樣想，如果 是有理數(shù)，或者我們可以找到 ,問(wèn)題應(yīng)該就解決了，即 ,如果開(kāi)始那一步我們選定了n,滿足不等式，那么我們只需要找 最接近于na的整數(shù)就好了。

考慮

,換言之 。首先A不會(huì)是空集，因?yàn)檎麛?shù)集是沒(méi)有上界的。

其次A存在一個(gè)最小下界，即一個(gè)最小的m使得

。道理很簡(jiǎn)單，整數(shù)集也沒(méi)有下界，如果A在整數(shù)集合里面沒(méi)有下確界，那么任意一個(gè)下界總是可以找到比它更小的下界比如m-1。如此不斷重復(fù)，那么A顯然是無(wú)下界的，這與x>na矛盾。

因?yàn)閙是最小的整數(shù)滿足

,那么 ,于是 ，于是 ，所以 。

這樣便證明了集合

在有理數(shù)范圍內(nèi)是沒(méi)有上確界的。

這啟發(fā)我們這樣定義實(shí)數(shù)，雖然每一個(gè)無(wú)理數(shù)沒(méi)辦法像有理數(shù)這樣具體的寫出來(lái)，但是可以通過(guò)對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分割得到一種實(shí)數(shù)的表示。

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3.Dedekind分割

這一節(jié)主要的目的就是定義Dedekind分割，以及證明實(shí)數(shù)和有理數(shù)的戴德金分割一一對(duì)應(yīng)

。如果證明了這一點(diǎn)，就可以證明 ,完成問(wèn)題的前半部分的證明。

例子2中的集合

是有理數(shù)集合的真子集，并且滿足以下兩個(gè)條件：

1):任何

,以及任何 ,如果y<x,那么 。

2):任何

,存在 ,使得x<y。

如果一個(gè)有理數(shù)的真子集滿足以上兩條性質(zhì)，那么稱其為有理數(shù)集合的一個(gè)Dedekind分割。(之所以稱之為分割，是因?yàn)镾以及S在

的補(bǔ)集構(gòu)成有 的一個(gè)劃分。)

Dedekind分割如何構(gòu)造實(shí)數(shù)？

如果我們假設(shè)

為全體有理數(shù) 的Dedekind分割，要證明 確實(shí)能夠構(gòu)成之實(shí)數(shù)定義中所要求的四條公理所呈現(xiàn)的完備有序域，那么我們首先要定義其中的運(yùn)算，以及偏序關(guān)系，最后表明其具備完備性。首先是Dedekind分割的表示，對(duì)于一般的D cut我們不能像例子2中那樣去表示，因?yàn)槲覀冋且獜挠欣頂?shù)中構(gòu)造出實(shí)數(shù)，直接 ， 顯然不妥，我們正是要構(gòu)造出滿足四條公理的完備有序域，即實(shí)數(shù)域，但是又在定義中使用實(shí)數(shù)域的概念，邏輯上是混亂的。
例子2在當(dāng)前目標(biāo)(從有理數(shù)中構(gòu)造實(shí)數(shù)、 )的語(yǔ)境下是不妥的，實(shí)際上應(yīng)該表示為：

當(dāng)然一部分的Dedekind分割是可以即不違背當(dāng)前構(gòu)造實(shí)數(shù)的基本邏輯，又非常具體的表示出來(lái)。也就是

中的子集， 。 可以定義為， ,可以很快的驗(yàn)證 的定義符合例子2中提到的兩個(gè)條件。

假設(shè)現(xiàn)在要在

的基礎(chǔ)上，定義 的兩種域運(yùn)算( )，那么既然我們定義的是和實(shí)數(shù)域等價(jià)的東西，作為子域 必然要與有理數(shù)域 同構(gòu)才行。在這個(gè)想法的基礎(chǔ)上，可以嘗試在 上定義 。

,

直接復(fù)制有理數(shù)中的運(yùn)算和偏序，不難發(fā)現(xiàn)

實(shí)際上就是兩個(gè)集合中的任意有理數(shù)s,t,兩兩復(fù)制有理數(shù)的計(jì)算得到新的集合，并且要滿足一個(gè)封閉性，也就是作為結(jié)果的集合必須也是Dedekind分割。

很容易想到定義這樣一個(gè)自然的映射：

,

也就是說(shuō)要做到三件事：

如果我們用上文中約定的

中元素的具體的集合表示，根據(jù)上面的需求可以自然地定義 中的運(yùn)算，并在之后把這些運(yùn)算推廣到 中。

，

因?yàn)槭且粋€(gè)域所以還要考慮逆元的問(wèn)題，加法逆元和乘法的逆元，這樣才可以非常自然的定義減法(加法逆運(yùn)算)，除法(乘法逆運(yùn)算)。

首先是加法的單位元，

。

現(xiàn)在定義

關(guān)于加法的逆元 , 需要滿足： 。很顯然 可以表示為，

。

但是在

中這樣的定義是有問(wèn)題的，因?yàn)?按照邏輯，我們要從 中產(chǎn)生實(shí)數(shù)，從無(wú)到有。所以定義 中的加法就不能像它的有理數(shù)子集那樣具體表示出來(lái)，不過(guò)形式雖然不一樣但是本質(zhì)要一樣，于是可以定義：

定義1.加法

:

定義2.

關(guān)于加法逆元 ：

并且不難證明這樣定義下的

也是一個(gè)Dedekind分割，只要證明按照這樣的定義能夠滿足之前的兩條定義。

仿照上面的思考方式，現(xiàn)在來(lái)定義乘法和乘法的逆元。首先，

（r3的定義見(jiàn)上文，分類討論）,換一種說(shuō)法，在 中不用 的具體表述，同樣可以實(shí)現(xiàn)相同的效果。這里由于是構(gòu)造性的不能用實(shí)數(shù)來(lái)表達(dá)，但是在數(shù)軸上非常方便解釋。不嚴(yán)格地說(shuō)(用來(lái)形象地理解定義)，其實(shí)數(shù)軸上 ,而 中地每一個(gè)元素都是 的一個(gè)上界。按照定義，始終存在 ,而-p又一直是 的上界，這樣的定義其實(shí)就相當(dāng)于定義 。雖然我們現(xiàn)在還沒(méi)有定義出一個(gè)完備的有序域， 未必是有理數(shù)。

首先需要定義類似于有理數(shù)中相當(dāng)于絕對(duì)值的東西，此處

符號(hào)是作用在集合上的。

定義3.

中元素的絕對(duì)值：

注意這里絕對(duì)值的定義和通常有理數(shù)

中某個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值的定義是完全不一樣的，也不是把一個(gè)集合里面所有有理數(shù)全部加上絕對(duì)值。比如 , ,那么加上新定義的這個(gè)絕對(duì)值以后還是 ，但是這個(gè)集合里面的元素并不都是非負(fù)的。

經(jīng)過(guò)定義絕對(duì)值，我們就可以對(duì)于任何

中的兩個(gè)元素實(shí)現(xiàn) 中元素乘法一樣的效果。

定義4.

中元素的乘法:

最后還必須要定義乘法的逆元，這樣

作為一個(gè)有序域的基本條件才具備。

首先參考

中具有具體形式的元素的乘法逆，

也就是說(shuō)，

。那很自然，按照之前定義的乘法，隨意取一個(gè)非零的元素 , 。所以 是乘法的單位元。

那么按照乘法的定義有理數(shù)范圍內(nèi)一個(gè)分割的乘法逆還是很顯然的，

的逆元 就是 。不過(guò)因?yàn)橹耙粯拥倪壿?#xff0c;我們?cè)跊](méi)有得到實(shí)數(shù)以前并不能像有理數(shù)那樣建立起 的一個(gè)自然的映射，而是采用集合中邏輯的方式定義一個(gè)等價(jià)的東西，類似于我們之前定義加法逆元那樣(見(jiàn)定義2中地注釋)。仿照有理數(shù)部分，不嚴(yán)格地說(shuō)我們要是定義了實(shí)數(shù)，其實(shí)想要表達(dá)的意思是, 關(guān)于乘法的逆元 其實(shí)就是 。為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)效果又避免循環(huán)定義，同時(shí)我們也沒(méi)有證明每個(gè)元素都有在 中的上確界，我們可以采用邏輯來(lái)規(guī)避 的出現(xiàn),于是有如下定義：

定義5：乘法的逆元

當(dāng)

,

當(dāng)

這里注意絕對(duì)值以及加法逆元的定義，參考定義2，定義3。

可以證明以上五個(gè)定義定義的

中的元素的運(yùn)算滿足，結(jié)合律，交換律，分配律，有加法單位元，乘法單位元，以及是偏序關(guān)系是全序。(篇幅原因，證明略)

因此

是一個(gè)有序域。

既然

是一個(gè)有序域，這就意味著我們可以像 那樣隨意的對(duì) 中的元素進(jìn)行四則運(yùn)算。但是想要稱之為實(shí)數(shù)，還必須滿足最后一個(gè)完備性的條件。

回憶實(shí)數(shù)需要滿足的完備性條件：

的任何有上界的非空真子集存在上確界。

假設(shè)一個(gè)被比如

具有上確界，其實(shí)也就是要證明 上的任意Dedekind分割存在上確界。

這是一個(gè)構(gòu)造性的證明。假設(shè)

是 上的Dedekind分割，那么它其中的任意元素 也就是 中的元素，同時(shí)自然也都是 上的Dedekind分割。

很容易證明

上Dedekind分割的任意并都是 上的Dedekind分割。那么， 也是 上的Dedekind分割，于是也是一個(gè) 中元素。

接下來(lái)我們要證明，其實(shí)a就是A的上確界。

首先任意

中的元素 ,那么按照定義 ,所以 確實(shí)是 的一個(gè)上界。如果假設(shè)存在一個(gè) 是更小的上界，即 ，即 ，那么也就存在一個(gè)有理數(shù) ,于是 必然 ,于是 ,這與 大于 中任意一個(gè)元素矛盾。因此 是它的上確界，進(jìn)而任何 上的分割存在上確界。

最后也就是說(shuō)，

存在上確界性質(zhì)。所以 是一個(gè)完備的有序域。

以上就是用Dedekind分割從有理數(shù)構(gòu)造實(shí)數(shù)的全部過(guò)程。以下在不做特殊區(qū)分的時(shí)候直接用

代替 ,用 替代 。

---

4.

這里注意這里的集合勢(shì)之間也有一個(gè)偏序關(guān)系，這里的偏序關(guān)系的定義是如果從集合A到集合B之間存在一個(gè)滿射那么，

。

回到問(wèn)題，在已經(jīng)清楚實(shí)數(shù)的Dedekin分割構(gòu)造以后，實(shí)際上每一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)有理數(shù)的分割，而每一個(gè)有理數(shù)的分割自然也是有理數(shù)的一個(gè)子集，于是

,于是 。而由于 ，可以證明勢(shì)在冪集上是不變量，所以 。

補(bǔ)充：

如果兩個(gè)集合等勢(shì)，那么其冪集也等勢(shì)。即如果集合S,T之間建立起了一個(gè)雙射，那么P(S)與P(T)之間也能建立雙射。假設(shè) 是一個(gè)雙射，那么我們可以定義一種稱之為Direct image mapping 的映射:
構(gòu)造想法很簡(jiǎn)單，f既然從S到T那么，f同樣能帶著S的子集飛向T的子集，因?yàn)镮m(f)就是T的某子集。但是這個(gè)構(gòu)造又好的性質(zhì)，如果f本身是單射或者滿射，那么 同樣保持性質(zhì)，也就是說(shuō) 是雙射，可以得到 也是雙射。
于是建立起了冪集之間的雙射關(guān)系，也就是冪集也等勢(shì)。

---

接下里只需要證明

即可，因?yàn)榧蟿?shì)的偏序關(guān)系已經(jīng)被伯恩斯坦證明是全序，也就是說(shuō)，結(jié)合前面的關(guān)系，必然 ，最后用Cantor定理可以得到 。這部分證明可以結(jié)合實(shí)數(shù)的另一種構(gòu)造方式，Cantor的柯西列構(gòu)造法。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的实数系的基本定理_什么是实数(1):Dedekind分割的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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