龍貝格方法計算橢圓周長

橢圓周長定積分公式

由于橢圓的周長可以看作是很多$\Delta x$與$\Delta y$直角邊構成的斜邊的和。因此就是$\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}$，此處為了簡化直接用參數方程替換，就是$4\times {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{a^{2}sin\theta +b^{2}cos\theta }d\theta$。

龍貝格積分法Matlab代碼

function Romberg(fun,a,b,tol) M = 1; %每次的步數 k = 0; %積分表的行 h = b - a; %最大步長 tol1 = 1; R = zeros(10,10); %分配矩陣大小 R(1,1) = h*(feval(fun,a) + feval(fun,b))/2; %第一個值 while tol1 >= tolk = k + 1;h = h/2;tmp = 0;%一列中上下行的關系for i = 1:Mtmp = tmp + fun(a + h*(2*i - 1));endR(k+1,1) = R(k,1)/2 + h*tmp;%更新步數M = 2*M;%構造在同一行中，左右列元素的關系for m = 1:min(k,3)R(k + 1,m + 1) = R(k+1,m)+(R(k+1,m)-R(k,m))/(4^m-1);end%計算第四列的龍貝格的誤差tol1=abs(R(k,min(k,4))-R(k+1,min(k,4))); end q = R(k+1, 4) R

命令

此處針對a = 20，b = 10的橢圓方程而言。

>> a = 0; >> b = pi/2; >> f = @(x)4*sqrt(400.*sin(x).*sin(x)+100.*cos(x).*cos(x)); >> tol = 1e-4; >> Romberg(f,a,b,tol);

總結

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