本系列文章主要講解 MEM/MBA 數學基礎，系列文章總綱鏈接為：MEM/MBA 數學總綱

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本章節思維導圖如下所示（思維導圖會持續迭代）：

第一層：

第二層：

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1?實數的運算和性質

1.1?數的概念與性質

基本概念說明：

1.2 有理數與無理數的組合運算性質

有理數（+-*/）有理數，仍為有理數。（注意：此處要保證除法的分母有意義）

無理數（+-*/）無理數，有可能為無理數，也有可能為有理數

有理數（+-）無理數 = 無理數，非零有理數（*/）無理數=無理數。

注意：

有理數 包括 整數、有限小數、無限循環小數。有限小數 和?無限循環小數 都是?可以化為分數的。

有理數一定可寫成分數形式，無理數則不能，這是二者的本質區別。

關鍵推論：a、b是有理數，c是無理數， 如果?a+b*c=0，那么 a=b=0

1.3?整數部分與小數部分

概念：整數部分是指一個數減去一個整數后，所得的差大于等于零且小于 1，那么此減數是整數部分，差是小數部分。比如：

• 8.2的 整數部分是8，小數部分是0.2
• -8.2的 整數部分是-9，小數部分是0.8

1.4?整數的分類：奇偶數的的概念和運算性質

奇數±奇數=偶數	奇數*奇數=奇數	偶數±奇數=奇數
偶數±偶數=偶數	偶數*偶數=偶數	偶數±奇數=奇數

1.5?正整數的分類：質數和合數

正整數：包括1 、質數(也稱素數，只有1和自身兩個約數)、合數(有除1和自身以外的約數)

• 質數：只有 1 和它本身兩個約數(因數)的正整數叫質數(或素數)。最小的質數為 2(唯一的偶質數，常見的30 以內的質數共 10 個:2、3、5、7、11、13、17、19、23、29)
• 合數：除了 1 和本身外還有其他約數(因數)的正整數，最小的合數是 4（注意:1 既不是質數也不是合數）

特別注意：最小的質數是2，最小的合數是4。

1.6?整除與帶余除法(商數和余數的表示)

設整數n被整數m整除，即存在整數s ，使得?n=m*s?，稱n能被m整除。留意以下一些規律：

• 能被 2 整除的數:個位為 0，2，4，6，8。
• 能被 3 整除的數:各位數字之和必能被 3 整除。
• 能被 4 整除的數:末兩位(個位和十位在一起)數字必能被 4 整除。（補充說明：對于3位數及以上100能被4整除）?
• 能被 5 整除的數:個位為0或5。
• 能被 6 整除的數:同時滿足能被 2 和 3 整除的條件。
• 能被 7 整除的數:將整數c個位數字截去得到a，個位數為b，判斷a-2*b的差是否是7的倍數，如果該數能被7整除，則c能被7整除???????（注意該規律可以持續遞歸，舉例：判斷6139是否7的倍數的過程如下：613－9×2＝595?，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數，以此類推）。
• 能被 8 整除的數:末三位(個位、十位和百位)數字必能被 8 整除。
• 能被 9 整除的數:各位數字之和必能被 9 整除。
• 能被?10 整除的數:個位必為 0。

1.7 公約數、公倍數、互質

@1 基本概念

• 約數/因數：設a為一個正整數，m為a的一個約數是指:a能被正整數m除盡，比如：a=15, 則 a=3*5，所以 a 有約數1?3?5?15 共4個。
• 公約數/公因數：若正整數 m 同時是幾個正整數?a1,a2...a[r]的約數，就稱 m 是?a1,a2...a[r]的公約數，并把a1,a2...a[r]的公約數中的最大的稱為最大公約數。比如：6和8能被2 整除，2是6和8 的公約數。公約數是有限的。
• 倍數：設a為一個正整數，m為a的一個倍數是指:m能被正整數a除盡，如m=15, 則 m=3*5，所以15是3的倍數也是5的倍數，3和5 的倍數有無數個。
• 公倍數：若正整數 n 同時是幾個正整數?a1,a2...a[r]的倍數，就稱 n 是?a1,a2...a[r]的公倍數，并把?a1,a2...a[r]的公倍數中最小的稱為最小公倍數。比如：3和5 是15 30 45 60的 公倍數。公倍數是無限的。
• 互質：若正整數m與正整數n的公約數只有1，就稱這兩個正整數 m 與 n 互質，并稱?n/m 為既約分數(最簡分數)

@2 常用技巧

• 一般是使用?短除法求兩個數的最大公約數和最小公倍數。
• 定理：最大公約數*最小公倍數 = 倆數乘積。
• 最小公倍數 包含最大公約數的所有零件。

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2?實數的性質和運算

2.1 實數的基本性質

實數與數軸上的點一一對應。

若 a,b 是任意兩個實數，則在 a<b，a=b，a>b 中有且只有一個關系成立。

若a是任意實數，則a^2≧0。

2.2?實數的運算分類

實數的四則運算滿足加法和乘法運算的交換律、結合律和分配律。還可以定義實數的乘方和開方運算。冪的運算性質如下：

開方運算：在實數范圍內，負實數無偶次方根;0 的偶次方根是 0;正實數的偶次方根有兩個，且互為相反數，其中正的偶次方根稱為算術根。如:當 a>0 時，a的平方根是√a，其中√a是正實數 a 的算術平方根。在運算有意義的前提下：

2.3?實數運算技巧總結

@1?分母有理化

有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個代數式互為有理化因式(一個二次根式的有理化因式不唯一)。如2的有理化因式為√2， √2+√3的有理化因式為?√2-√3，

分母有理化:去掉分母中的根號，將分子分母同時乘以分母的有理化因式。比如：

@2?裂項相消法

常用于當題干中出現多個分數求和的情況。

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3?比、比例

3.1 比、比例的定義

@1 比：兩個數相除稱為這兩個數的比，即 a:b=a/b。相除所得商叫做比值。記作a?:?b?=?a/b =?k，在實際應用中常將比值用百分數表示，稱為百分比，如：

@2 比例：相等的比稱為比例，記作a:b=c:d或a/b=c/d。其中a和d稱為比例外項，b和c稱為比例內項。當?a?:?b=b?:?c?時，稱b為a和c的比例中項，顯然當a,b,c均為正數時，?b是a和c的 幾何平均值。

3.2?比與比例的性質

3.3?比例的基本定理

特別注意：不要忘記等比定理使用條件

3.4?正比例與反比例

• 正比 若y=kx(k不為零)，則稱y與x成正比，k稱為比例系數。
• 反比 若y=k/x(k不為零)，則稱y與x成反比，k稱為比例系數。

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4 絕對值及其性質

4.1 實數的絕對值的定義?和幾何意義

4.2?絕對值的性質

4.3?絕對值不等式性質與運算法則

注意：要掌握等號成立條件的判斷

4.4?絕對值最值問題

• 常規方法：分段討論法去絕對值符號，根據圖像判斷最值。
• 終極方法：描點看邊取拐點法（拐點即絕對值等于0時x的取值）。
• 最值說明：|x-a|-|x-b|的最大值是|a-b|，最小值是－|a-b|；|x-a|+|x-b|的最小值是|a-b|

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5?平均值及運算

5.1 定義

注意：幾何平均值只對正實數有定義，而算術平均值對任何實數都有定義。

5.2?定理及性質

@1 基本定理：當?x1?,?x2?,...，x[n]為n個正實數時，它們的算術平均值不小于它們的幾何平均值，即

當且僅當x1 =?x2 = ...?= x[n]時，等號成立。

@2 常用的基本不等式：

• a^2+b^2 ≧2*a*b（a b 均為實數）
• (a+b)/2≧√(a*b)（a b 均為正實數）
• (a+b+c)/3?≧ 3√(a*b*c)（a b c均為正實數，3√表示為3次方根）
• a/b+b/a ≧2（a b 均為實數 且?a*b>0）
• a+1/a≧2（a為實數 且?a>0）
• a+1/a≦2（a為實數 且a<0）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MEM/MBA数学基础（02）实数运算和性质的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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