本系列文章主要講解 MEM/MBA 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，系列文章總綱鏈接為：MEM/MBA 數(shù)學(xué)總綱

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本章節(jié)思維導(dǎo)圖如下所示（思維導(dǎo)圖會(huì)持續(xù)迭代）：

第一層：

第二層：

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1?實(shí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

1.1?數(shù)的概念與性質(zhì)

基本概念說(shuō)明：

1.2 有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的組合運(yùn)算性質(zhì)

有理數(shù)（+-*/）有理數(shù)，仍為有理數(shù)。（注意：此處要保證除法的分母有意義）

無(wú)理數(shù)（+-*/）無(wú)理數(shù)，有可能為無(wú)理數(shù)，也有可能為有理數(shù)

有理數(shù)（+-）無(wú)理數(shù) = 無(wú)理數(shù)，非零有理數(shù)（*/）無(wú)理數(shù)=無(wú)理數(shù)。

注意：

有理數(shù) 包括 整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)。有限小數(shù) 和?無(wú)限循環(huán)小數(shù) 都是?可以化為分?jǐn)?shù)的。

有理數(shù)一定可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，無(wú)理數(shù)則不能，這是二者的本質(zhì)區(qū)別。

關(guān)鍵推論：a、b是有理數(shù)，c是無(wú)理數(shù)， 如果?a+b*c=0，那么 a=b=0

1.3?整數(shù)部分與小數(shù)部分

概念：整數(shù)部分是指一個(gè)數(shù)減去一個(gè)整數(shù)后，所得的差大于等于零且小于 1，那么此減數(shù)是整數(shù)部分，差是小數(shù)部分。比如：

• 8.2的 整數(shù)部分是8，小數(shù)部分是0.2
• -8.2的 整數(shù)部分是-9，小數(shù)部分是0.8

1.4?整數(shù)的分類(lèi)：奇偶數(shù)的的概念和運(yùn)算性質(zhì)

奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)	奇數(shù)*奇數(shù)=奇數(shù)	偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)
偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)	偶數(shù)*偶數(shù)=偶數(shù)	偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)

1.5?正整數(shù)的分類(lèi)：質(zhì)數(shù)和合數(shù)

正整數(shù)：包括1 、質(zhì)數(shù)(也稱(chēng)素?cái)?shù)，只有1和自身兩個(gè)約數(shù))、合數(shù)(有除1和自身以外的約數(shù))

• 質(zhì)數(shù)：只有 1 和它本身兩個(gè)約數(shù)(因數(shù))的正整數(shù)叫質(zhì)數(shù)(或素?cái)?shù))。最小的質(zhì)數(shù)為 2(唯一的偶質(zhì)數(shù)，常見(jiàn)的30 以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)共 10 個(gè):2、3、5、7、11、13、17、19、23、29)
• 合數(shù)：除了 1 和本身外還有其他約數(shù)(因數(shù))的正整數(shù)，最小的合數(shù)是 4（注意:1 既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)）

特別注意：最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。

1.6?整除與帶余除法(商數(shù)和余數(shù)的表示)

設(shè)整數(shù)n被整數(shù)m整除，即存在整數(shù)s ，使得?n=m*s?，稱(chēng)n能被m整除。留意以下一些規(guī)律：

• 能被 2 整除的數(shù):個(gè)位為 0，2，4，6，8。
• 能被 3 整除的數(shù):各位數(shù)字之和必能被 3 整除。
• 能被 4 整除的數(shù):末兩位(個(gè)位和十位在一起)數(shù)字必能被 4 整除。（補(bǔ)充說(shuō)明：對(duì)于3位數(shù)及以上100能被4整除）?
• 能被 5 整除的數(shù):個(gè)位為0或5。
• 能被 6 整除的數(shù):同時(shí)滿(mǎn)足能被 2 和 3 整除的條件。
• 能被 7 整除的數(shù):將整數(shù)c個(gè)位數(shù)字截去得到a，個(gè)位數(shù)為b，判斷a-2*b的差是否是7的倍數(shù)，如果該數(shù)能被7整除，則c能被7整除???????（注意該規(guī)律可以持續(xù)遞歸，舉例：判斷6139是否7的倍數(shù)的過(guò)程如下：613－9×2＝595?，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，以此類(lèi)推）。
• 能被 8 整除的數(shù):末三位(個(gè)位、十位和百位)數(shù)字必能被 8 整除。
• 能被 9 整除的數(shù):各位數(shù)字之和必能被 9 整除。
• 能被?10 整除的數(shù):個(gè)位必為 0。

1.7 公約數(shù)、公倍數(shù)、互質(zhì)

@1 基本概念

• 約數(shù)/因數(shù)：設(shè)a為一個(gè)正整數(shù)，m為a的一個(gè)約數(shù)是指:a能被正整數(shù)m除盡，比如：a=15, 則 a=3*5，所以 a 有約數(shù)1?3?5?15 共4個(gè)。
• 公約數(shù)/公因數(shù)：若正整數(shù) m 同時(shí)是幾個(gè)正整數(shù)?a1,a2...a[r]的約數(shù)，就稱(chēng) m 是?a1,a2...a[r]的公約數(shù)，并把a(bǔ)1,a2...a[r]的公約數(shù)中的最大的稱(chēng)為最大公約數(shù)。比如：6和8能被2 整除，2是6和8 的公約數(shù)。公約數(shù)是有限的。
• 倍數(shù)：設(shè)a為一個(gè)正整數(shù)，m為a的一個(gè)倍數(shù)是指:m能被正整數(shù)a除盡，如m=15, 則 m=3*5，所以15是3的倍數(shù)也是5的倍數(shù)，3和5 的倍數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)。
• 公倍數(shù)：若正整數(shù) n 同時(shí)是幾個(gè)正整數(shù)?a1,a2...a[r]的倍數(shù)，就稱(chēng) n 是?a1,a2...a[r]的公倍數(shù)，并把?a1,a2...a[r]的公倍數(shù)中最小的稱(chēng)為最小公倍數(shù)。比如：3和5 是15 30 45 60的 公倍數(shù)。公倍數(shù)是無(wú)限的。
• 互質(zhì)：若正整數(shù)m與正整數(shù)n的公約數(shù)只有1，就稱(chēng)這兩個(gè)正整數(shù) m 與 n 互質(zhì)，并稱(chēng)?n/m 為既約分?jǐn)?shù)(最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù))

@2 常用技巧

• 一般是使用?短除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。
• 定理：最大公約數(shù)*最小公倍數(shù) = 倆數(shù)乘積。
• 最小公倍數(shù) 包含最大公約數(shù)的所有零件。

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2?實(shí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算

2.1 實(shí)數(shù)的基本性質(zhì)

實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

若 a,b 是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則在 a<b，a=b，a>b 中有且只有一個(gè)關(guān)系成立。

若a是任意實(shí)數(shù)，則a^2≧0。

2.2?實(shí)數(shù)的運(yùn)算分類(lèi)

實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算滿(mǎn)足加法和乘法運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。還可以定義實(shí)數(shù)的乘方和開(kāi)方運(yùn)算。冪的運(yùn)算性質(zhì)如下：

開(kāi)方運(yùn)算：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，負(fù)實(shí)數(shù)無(wú)偶次方根;0 的偶次方根是 0;正實(shí)數(shù)的偶次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，其中正的偶次方根稱(chēng)為算術(shù)根。如:當(dāng) a>0 時(shí)，a的平方根是√a，其中√a是正實(shí)數(shù) a 的算術(shù)平方根。在運(yùn)算有意義的前提下：

2.3?實(shí)數(shù)運(yùn)算技巧總結(jié)

@1?分母有理化

有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式(一個(gè)二次根式的有理化因式不唯一)。如2的有理化因式為√2， √2+√3的有理化因式為?√2-√3，

分母有理化:去掉分母中的根號(hào)，將分子分母同時(shí)乘以分母的有理化因式。比如：

@2?裂項(xiàng)相消法

常用于當(dāng)題干中出現(xiàn)多個(gè)分?jǐn)?shù)求和的情況。

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3?比、比例

3.1 比、比例的定義

@1 比：兩個(gè)數(shù)相除稱(chēng)為這兩個(gè)數(shù)的比，即 a:b=a/b。相除所得商叫做比值。記作a?:?b?=?a/b =?k，在實(shí)際應(yīng)用中常將比值用百分?jǐn)?shù)表示，稱(chēng)為百分比，如：

@2 比例：相等的比稱(chēng)為比例，記作a:b=c:d或a/b=c/d。其中a和d稱(chēng)為比例外項(xiàng)，b和c稱(chēng)為比例內(nèi)項(xiàng)。當(dāng)?a?:?b=b?:?c?時(shí)，稱(chēng)b為a和c的比例中項(xiàng)，顯然當(dāng)a,b,c均為正數(shù)時(shí)，?b是a和c的 幾何平均值。

3.2?比與比例的性質(zhì)

3.3?比例的基本定理

特別注意：不要忘記等比定理使用條件

3.4?正比例與反比例

• 正比 若y=kx(k不為零)，則稱(chēng)y與x成正比，k稱(chēng)為比例系數(shù)。
• 反比 若y=k/x(k不為零)，則稱(chēng)y與x成反比，k稱(chēng)為比例系數(shù)。

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4 絕對(duì)值及其性質(zhì)

4.1 實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的定義?和幾何意義

4.2?絕對(duì)值的性質(zhì)

4.3?絕對(duì)值不等式性質(zhì)與運(yùn)算法則

注意：要掌握等號(hào)成立條件的判斷

4.4?絕對(duì)值最值問(wèn)題

• 常規(guī)方法：分段討論法去絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)圖像判斷最值。
• 終極方法：描點(diǎn)看邊取拐點(diǎn)法（拐點(diǎn)即絕對(duì)值等于0時(shí)x的取值）。
• 最值說(shuō)明：|x-a|-|x-b|的最大值是|a-b|，最小值是－|a-b|；|x-a|+|x-b|的最小值是|a-b|

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5?平均值及運(yùn)算

5.1 定義

注意：幾何平均值只對(duì)正實(shí)數(shù)有定義，而算術(shù)平均值對(duì)任何實(shí)數(shù)都有定義。

5.2?定理及性質(zhì)

@1 基本定理：當(dāng)?x1?,?x2?,...，x[n]為n個(gè)正實(shí)數(shù)時(shí)，它們的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，即

當(dāng)且僅當(dāng)x1 =?x2 = ...?= x[n]時(shí)，等號(hào)成立。

@2 常用的基本不等式：

• a^2+b^2 ≧2*a*b（a b 均為實(shí)數(shù)）
• (a+b)/2≧√(a*b)（a b 均為正實(shí)數(shù)）
• (a+b+c)/3?≧ 3√(a*b*c)（a b c均為正實(shí)數(shù)，3√表示為3次方根）
• a/b+b/a ≧2（a b 均為實(shí)數(shù) 且?a*b>0）
• a+1/a≧2（a為實(shí)數(shù) 且?a>0）
• a+1/a≦2（a為實(shí)數(shù) 且a<0）

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的MEM/MBA数学基础（02）实数运算和性质的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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