阿龙的学习笔记---3.26---常用的各种树
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樹
- 樹是一種非線性的存儲結構。是一種一對多的形式。只有一個根節點，不會形成環路。
- 節點的度是節點擁有子樹的數量。
- 樹是層次結構，樹的深度是他最大的層數。
- 滿二叉樹，完全二叉樹。及其性質。
- 二叉樹的前、中、后序遍歷，用遞歸和循環；兩種方式（后面詳細補充！）
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BST樹（Binary Search Tree）二叉搜索樹
?二叉搜索樹，又稱二叉排序樹、二叉查找樹。左子樹小于根，右子樹大于根節點。且左右子樹都是二叉搜索樹。
?二叉搜索樹用于在樹中查找元素，由于是排序的，平均查找效率為O(logN)。
- 插入
?二叉排序樹的插入操作是以查找為基礎的。當樹中不存在關鍵字等于key的結點時才插入。新插入的結點一定是葉子結點，并且是查找不成功時查找路徑上訪問的最后一個結點的左孩子或右孩子結點。創建就是循環插入。
?算法以遞歸形式完成。TreeNode* InsertBinaryTree(TreeNode* root, const int& val) {if (root == NULL){ root = new TreeNode(val); //根節點為空，插入，返回。return root;}else {if (val <= root->data) //小于等于根節點，遞歸插入左子樹root->lchild = SortBinaryTree(root->lchild, val);else //大于根節點，遞歸插入右子樹root->rchild = SortBinaryTree(root->rchild, val);}return root; } - 刪除節點
- 插入
- 如果刪除的節點沒有左右節點，則直接刪除即可；
- 如果只有左孩子或右孩子，則用左右子樹代替這個節點即可；
- 如果有左右孩子，則情況復雜一些。假如要刪除78這個節點，我們在左子樹中找到最大的節點，換到78處即可。最大的則是左子樹中一直往右查找。這個最大的節點一定沒有右子樹，因為右子樹比他大，但可能會有左子樹，左子樹還需接到他的前驅節點上去。則這樣又會有兩種情況，一種是圖中這種，最大的是從70開始往右找找到的75，則75的左子樹接到70的右子樹位置；另一種假如沒有75，則是70最大，70替換78后，70的左節點接到70的左邊。
void delete_Node2(BSTree &p) {BSTree q,s; if(!p->lchild) //由于這個if在前面，所以左右子樹均為空的情況會在這里處理 { //如果左子樹為空，則只需重接其右子樹q = p;p = p->rchild ;free(q);}else if(!p->rchild){ //如果右子樹為空，則只需重接其左子樹q = p;p = p->lchild;free(q);}else{ //如果左右子樹都不為空，采取修改左子樹的方法，也可以修改右子樹，方法類似q = p;s = p->lchild; //取待刪節點的左節點while(s->rchild) { //找到中序遍歷時會得到的直接前驅 q = s;s = s->rchild;}//用s來替換待刪節點pp->data = s->data; //根據情況，將s的左子樹重接到q上if(p != q)q->rchild = s->lchild; //接到前驅節點的右子樹elseq->lchild =s->lchild; //接到被刪除節點位置的左子樹free(s);} }
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AVL樹-二叉平衡樹
?二叉平衡樹的平衡條件是樹的左右子樹的深度差不大于1。且左右子樹也是平衡的。
?優點是左右高度均衡，二叉平衡查找樹的效率高（假如二叉排序樹往一邊倒，則查找效率趨于O(n) ）。
?二叉平衡查找樹的插入較為麻煩，因為插入的元素可能會破壞樹的平衡。有LL、LR、RL、RR四種不同情況。通過旋轉，使得重新平衡。
?LL與RR類似，如下圖。
LR與RL類似，如下圖。
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紅黑樹
?紅黑樹是一種平衡二叉查找樹，查找、插入效率都較高。而紅黑樹之所以難是難在它是自平衡的二叉查找樹，在進行插入和刪除等可能會破壞樹的平衡的操作時，需要重新自處理達到平衡狀態。
?AVL樹是強平衡，插入時要做多次旋轉操作。紅黑是弱平衡的，用非嚴格的平衡來換取增刪節點時候旋轉次數的降低，其在在增加或刪除節點時，旋轉操作要比AVL樹更少；因此當搜索的次數遠遠大于插入和刪除，則選擇AVL樹，如果搜索，插入刪除次數幾乎差不多，應該選擇RB樹。
?紅黑樹雖然是復雜的，但在最壞情況運行時間也是非常良好的，并且在實踐中是高效的，其可以在O(logn)時間內做查找、插入和刪除。
?在面試的時候考的應該不多，面試官一般不會讓寫紅黑樹的代碼，最多會讓介紹下紅黑樹的原理，因此了解下在紅黑樹的插入和刪除時，樹旋轉操作是很重要的！ - 紅黑樹定義和性質
1：每個節點要么是黑色，要么是紅色。
2：根節點是黑色。
3：每個葉子節點是黑色（NIL，葉節點不含值，只有顏色）。
4：每個紅色結點的兩個子結點一定都是黑色。
??推論：紅色節點的父節點是黑色
5：任意一結點到每個葉子結點的路徑都包含數量相同的黑結點。
??推論：如果一個結點存在黑子結點，那么該結點肯定有兩個子結點
? 上圖是一顆紅黑樹。紅黑樹并不是一個完美平衡二叉查找樹，從圖可以看到，根結點P的左子樹顯然比右子樹高，但左子樹和右子樹的黑結點的層數是相等的。所以我們叫紅黑樹這種平衡為黑色完美平衡。
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B樹、B+樹、B*樹
?B樹，英文是B-tree，是一種平衡多路樹，不叫B減樹，就是B樹。
?B樹是一種多路樹。因為他的子節點不止2個，可以是多個。
?B樹是一種平衡樹。不僅平衡，B樹的要求更高，要求左右子樹高度相同，也就是說，根節點到每個葉子節點的距離都相同。-
基本概念：
- ceil(x)，這是一個向上取整的函數，比如ceil(1.1)=2。注意這不是四舍五入，而且是得到比參數大的那個整數。
- B樹可以用階數來定義，階數代表了B樹的節點最多可以擁有的子節點數，后面用m來代表B樹的階數。
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M階B樹的特性：
- 每個結點至多擁有m棵子樹；
- 根結點至少擁有兩顆子樹（存在子樹的情況下）；
- 除了根結點以外，其余每個分支結點至少擁有 m/2 棵子樹；
- 所有的葉結點都在同一層上（所以左右子樹高度一樣）；
- 有 k 棵子樹的分支結點則存在 k-1 個關鍵碼，關鍵碼按照遞增次序進行排列；
關鍵字數量需要滿足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1；關鍵碼大小在兩個分支節點之間，且要大于左邊子樹的關鍵碼，小于右邊子樹的關鍵碼。
下圖是一個3階的B樹：
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B樹的查找
?B樹的是一個M階查找樹，根二階查找樹類似，只不過每個節點中可能不止一個數字。 -
B樹的節點添加
參考這個blog：B樹的添加- 新結點一般插在最下面一層，通過搜索找到對應的結點進行插入，那么根據即將插入的結點的數量又分為下面幾種情況。
- 如果該結點的關鍵字個數沒有到達m-1個，那么直接插入即可；
- 如果該結點的關鍵字個數已經到達了m-1個，那么根據B樹的性質顯然無法滿足，需要將其進行分裂。分裂的規則是該結點分成兩半，將中間的關鍵字進行提升，加入到父親結點中，但是這又可能存在父親結點也滿員的情況，則不得不向上進行回溯，甚至是要對根結點進行分裂，那么整棵樹都加了一層。
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B+樹
B+樹的非葉子節點不記錄數據本身，只記錄引用的連接。基于此特點，B+樹在非葉子節點的文件會非常小。葉子節點會包含所有的關鍵字。
B+樹每個葉子節點都有指向相鄰的下一個兄弟葉子節點的指針?；诖颂攸c，B+樹在范圍查詢上的效率比B樹高了很多。
這條區別是有爭議的，有人說B+樹的節點中關鍵字和子節點個數相同，也有人說B+樹和B樹一樣關鍵字比子節點少一個。
如果我們認為上述第三條中關鍵字和子節點個數是相同的，那B+樹就是這樣的：
?向B+樹中添加關鍵字時，也存在節點分裂的情況，在節點分裂時，會生成一個新的節點，把原節點中一半的元素復制到新節點，在父節點中添加指向新節點的關鍵字和指針。
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哈夫曼樹
?簡單說帶權路徑長度WPL(Weighted Path Length of Tree)最小的二叉樹
?樹的路徑長度是從樹根到樹中每一結點的路徑長度之和。在結點數目相同的二叉樹中，完全二叉樹的路徑長度最短。
?結點的權：在一些應用中，賦予樹中結點的一個有某種意義的實數。
?結點的帶權路徑長度：結點到樹根之間的路徑長度與該結點上權的乘積。
?樹的帶權路徑長度 (Weighted Path Length of Tree)：定義為樹中所有葉結點的帶權路徑長度之和。樹的帶權路徑長度亦稱為樹的代價。
哈夫曼樹定義：假設有 n 個權值[W1,W2,….WN]，構造有 n 個葉子的二叉樹，每個葉子的權值是 n 個權值之一，這樣的二叉樹可以構造很多個，其中必有一個是帶權路徑長度最小的，這棵二叉樹就稱為最優二叉樹或哈夫曼樹。
用途：哈夫曼編碼是最優前綴碼， 因此可用于加密解密。還可以文件壓縮解壓。
構造：參考https://blog.csdn.net/qq_33990383/article/details/53073825。
總結
以上是生活随笔為你收集整理的阿龙的学习笔记---3.26---常用的各种树的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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