一、動態(tài)規(guī)劃基本思想

? ? 一般來說，只要問題可以劃分成規(guī)模更小的子問題，并且原問題的最優(yōu)解中包含了子問題的最優(yōu)解，則可以考慮用動態(tài)規(guī)劃解決。動態(tài)規(guī)劃的實質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此，動態(tài)規(guī)劃是一種將問題實例分解為更小的、相似的子問題，并存儲子問題的解而避免計算重復(fù)的子問題，以解決最優(yōu)化問題的算法策略。由此可知，動態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似，它們都是將問題實例歸納為更小的、相似的子問題，并通過求解子問題產(chǎn)生一個全局最優(yōu)解。其中貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問題。因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選擇；而分治法中的各個子問題是獨立的 (即不包含公共的子子問題)，因此一旦遞歸地求出各子問題的解后，便可自下而上地將子問題的解合并成問題的解。但不足的是，如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問題的解時，則難以通過局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu)解；如果各子問題是不獨立的，則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題。解決上述問題的辦法是利用動態(tài)規(guī)劃。該方法主要應(yīng)用于最優(yōu)化問題，這類問題會有多種可能的解，每個解都有一個值，而動態(tài)規(guī)劃找出其中最優(yōu)(最大或最小)值的解。若存在若干個取最優(yōu)值的解的話，它只取其中的一個。在求解過程中，該方法也是通過求解局部子問題的解達(dá)到全局最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是，動態(tài)規(guī)劃允許這些子問題不獨立，也允許其通過自身子問題的解作出選擇，該方法對每一個子問題只解一次，并將結(jié)果保存起來，避免每次碰到時都要重復(fù)計算。因此，動態(tài)規(guī)劃法所針對的問題有一個顯著的特征，即它所對應(yīng)的子問題樹中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。動態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，只在第一次遇到時加以求解，并把答案保存起來，讓以后再遇到時直接引用，不必重新求解。

中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。

動態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，

對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，

只在第一次遇到時加以求解，

并把答案保存起來，

讓以后再遇到時直接引用，

不

必重新求解。

中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。

動態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，

對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，

只在第一次遇到時加以求解，

并把答案保存起來，

讓以后再遇到時直接引用，

不

必重新求解。

中的子問題呈現(xiàn)大量的重復(fù)。

動態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，

對于重復(fù)出現(xiàn)的子問題，

只在第一次遇到時加以求解，

并把答案保存起來，

讓以后再遇到時直接引用，

不

必重新求解。

二、動態(tài)規(guī)劃實例

1、0-1背包問題

問題描述

? ? 假設(shè)我們有n件物品，分別編號為1,2,…n。其中編號為i的物品價值Vi,它的重量為Wi。為了簡化問題，假設(shè)價值和重量都是整數(shù)。現(xiàn)在假設(shè)我們有一個背包，它能夠承載的重量是W。現(xiàn)在，我們希望王背包里裝這些物品，使得包里裝的物品價值最大化，那么我們該如何選擇裝的物品？問題結(jié)構(gòu)如下圖所示：

初步分析

? ? 對于這個問題，一開始確實有點不太好入手。一堆的物品，每一個都有一定的質(zhì)量和價值，我們能夠裝入的總重量有限制，該怎么來裝使得價值最大呢？對于這n個物品，每個物品我們可能會選，也可能不選，那么我們總共就可能有2^n種組合選擇方式。如果我們采用這種辦法來硬算的話，則整體的時間復(fù)雜度就達(dá)到指數(shù)級別的，肯定不可行。
現(xiàn)在我們換一種思路。既然每一種物品都有價格和重量，我們優(yōu)先挑選那些單位價格最高的是否可行呢？比如在下圖中，我們有3種物品，他們的重量和價格分別是10, 20, 30 kg和60, 100, 120

? ? 那么按照單位價格來算的話，我們最先應(yīng)該挑選的是價格為60的元素，選擇它之后，背包還剩下50 - 10 = 40kg。再繼續(xù)前面的選擇，我們應(yīng)該挑選價格為100的元素，這樣背包里的總價值為60 + 100 = 160。所占用的重量為30, 剩下20kg。因為后面需要挑選的物品為30kg已經(jīng)超出背包的容量了。我們按照這種思路能選擇到的最多就是前面兩個物品。如下圖：

? ? 按照我們前面的期望，這樣選擇得到的價值應(yīng)該是最大的。可是由于有一個背包重量的限制，這里只用了30kg，還有剩下20kg浪費了。這會是最優(yōu)的選擇嗎？我們看看所有的選擇情況：

? ? 很遺憾，在這幾種選擇情況中，我們前面的選擇反而是帶來價值最低的。而選擇重量分別為20kg和30kg的物品帶來了最大的價值。看來，我們剛才這種選擇最佳單位價格的方式也行不通。

動態(tài)規(guī)劃解決問題

? 既然前面兩種辦法都不可行，我們再來看看有沒有別的方法。我們再來看這個問題。我們需要選擇n個元素中的若干個來形成最優(yōu)解，假定為k個。那么對于這k個元素a1, a2, …ak來說，它們組成的物品組合必然滿足總重量<=背包重量限制，而且它們的價值必然是最大的。因為它們是我們假定的最優(yōu)選擇嘛，肯定價值應(yīng)該是最大的。假定ak是我們按照前面順序放入的最后一個物品。它的重量為wk，它的價值為vk。既然我們前面選擇的這k個元素構(gòu)成了最優(yōu)選擇，如果我們把這個ak物品拿走，對應(yīng)于k-1個物品來說，它們所涵蓋的重量范圍為0-(W-wk)。假定W為背包允許承重的量。假定最終的價值是V，剩下的物品所構(gòu)成的價值為V-vk。這剩下的k-1個元素是不是構(gòu)成了一個這種W-wk的最優(yōu)解呢？

? ? 我們可以用反證法來推導(dǎo)。假定拿走ak這個物品后，剩下的這些物品沒有構(gòu)成W-wk重量范圍的最佳價值選擇。那么我們肯定有另外k-1個元素，他們在W-wk重量范圍內(nèi)構(gòu)成的價值更大。如果這樣的話，我們用這k-1個物品再加上第k個，他們構(gòu)成的最終W重量范圍內(nèi)的價值就是最優(yōu)的。這豈不是和我們前面假設(shè)的k個元素構(gòu)成最佳矛盾了嗎？所以我們可以肯定，在這k個元素里拿掉最后那個元素，前面剩下的元素依然構(gòu)成一個最佳解。

? ? 現(xiàn)在我們經(jīng)過前面的推理已經(jīng)得到了一個基本的遞推關(guān)系，就是一個最優(yōu)解的子解集也是最優(yōu)的。可是，我們該怎么來求得這個最優(yōu)解呢？我們這樣來看。假定我們定義一個函數(shù)c[i, w]表示到第i個元素為止，在限制總重量為w的情況下我們所能選擇到的最優(yōu)解。那么這個最優(yōu)解要么包含有i這個物品，要么不包含，肯定是這兩種情況中的一種。如果我們選擇了第i個物品，那么實際上這個最優(yōu)解是c[i - 1, w-wi] + vi。而如果我們沒有選擇第i個物品，這個最優(yōu)解是c[i-1, w]。這樣，實際上對于到底要不要取第i個物品，我們只要比較這兩種情況，哪個的結(jié)果值更大不就是最優(yōu)的么？

? ? 在前面討論的關(guān)系里，還有一個情況我們需要考慮的就是，我們這個最優(yōu)解是基于選擇物品i時總重量還是在w范圍內(nèi)的，如果超出了呢？我們肯定不能選擇它，這就和c[i-1, w]一樣。

? ? 另外，對于初始的情況呢？很明顯c[0, w]里不管w是多少，肯定為0。因為它表示我們一個物品都不選擇的情況。c[i, 0]也一樣，當(dāng)我們總重量限制為0時，肯定價值為0。

? ? 這樣，基于我們前面討論的這3個部分，我們可以得到一個如下的遞推公式：

? ? 有了這個關(guān)系，我們可以更進(jìn)一步的來考慮代碼實現(xiàn)了。我們有這么一個遞歸的關(guān)系，其中，后面的函數(shù)結(jié)果其實是依賴于前面的結(jié)果的。我們只要按照前面求出來最基礎(chǔ)的最優(yōu)條件，然后往后面一步步遞推，就可以找到結(jié)果了。

? ? 我們再來考慮一下具體實現(xiàn)的細(xì)節(jié)。這一組物品分別有價值和重量，我們可以定義兩個數(shù)組int[] v, int[] w。v[i]表示第i個物品的價值，w[i]表示第i個物品的重量。為了表示c[i, w]，我們可以使用一個int[i][w]的矩陣。其中i的最大值為物品的數(shù)量，而W表示最大的重量限制。按照前面的遞推關(guān)系，c[i][0]和c[0][w]都是0。而我們所要求的最終結(jié)果是c[n][w]。所以我們實際中創(chuàng)建的矩陣是(n + 1) x (W + 1)的規(guī)格。

具體數(shù)據(jù)：物品個數(shù)n = 5,物品重量w[n] = {0,2,2,6,5,4}，物品價值v[n] = {0,6,3,5,4,6}，W = 10。

代碼實現(xiàn)

[cpp] view plaincopyprint?

#include?<iostream>??

#define??max(a,b)((a)>(b)?a:b)??

using?namespace?std;??

??

int?Weight[]?=?{0,2,2,6,5,4};??//物品的重量??

int?Value[]?=?{0,6,3,5,4,6};??//物品的價值??

int?table[6][11];?????//存放表示到第i個元素為止，在限制總重量為w的情況下我們所能選擇到的最優(yōu)解??

bool?Frist_Flag?=?true;??//主要是初始化table[][]?=?Value[1]??

int?main(void)??

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????for?(int?i?=?1;i?<=?5;i++)??

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????????for?(int?j?=?1;j?<=10;j++)??

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????????????????else??

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????????????????????table[i][j]?=?max(table[i-1][j-Weight[i]]+Value[i],table[i-1][j]);??

????????????????}??

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????cout?<<?”MaxValue?=?”<<?table[5][10]?<<?endl;??

????return?0;??

??

}??

#include <iostream> #define max(a,b)((a)>(b)?a:b) using namespace std; int Weight[] = {0,2,2,6,5,4}; //物品的重量 int Value[] = {0,6,3,5,4,6}; //物品的價值 int table[6][11]; //存放表示到第i個元素為止，在限制總重量為w的情況下我們所能選擇到的最優(yōu)解 bool Frist_Flag = true; //主要是初始化table[][] = Value[1] int main(void) { for (int i = 1;i <= 5;i++) { for (int j = 1;j <=10;j++) { if (Frist_Flag == true) { if (Weight[1] <= j) { table[i][j] = Value[1]; Frist_Flag = false; } } else { if (Weight[i] > j) { table[i][j] = table[i-1][j]; } else { table[i][j] = max(table[i-1][j-Weight[i]]+Value[i],table[i-1][j]); } } } } cout << "MaxValue = "<< table[5][10] << endl; return 0; }

2、最大子數(shù)組和問題

問題

一個有N個整數(shù)元素的一維數(shù)組（A[0],A[1],…A[N-1]），這個數(shù)組有很多子數(shù)組，求子數(shù)組和的最大值？注意：子數(shù)組必須是連續(xù)的、不需要返回子數(shù)組的具體位置、數(shù)組中包含：正、負(fù)、零整數(shù)、子數(shù)組不能空。

例如：

int A[5] = {-1,2,3,-4,2};

符合條件的子數(shù)組為2，3，即答案為5；

窮舉法：

[cpp] view plaincopyprint?

int?MaxSubStringSum(int?*A,int?n)??

{??

????int?MaxSum?=?A[0];??

????int?sum?=?0;??

????for?(int?i?=?0;i?<?n;i++)??

????{??

????????sum?=?0;??

????????for?(int?j?=?i;j?<?n;j++)??

????????{??

????????????sum?+=?A[j];??

????????????MaxSum?=?max(MaxSum,sum);??

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????????}??

????}??

????return?MaxSum;??

}??

int MaxSubStringSum(int *A,int n) {int MaxSum = A[0];int sum = 0;for (int i = 0;i < n;i++){sum = 0;for (int j = i;j < n;j++){sum += A[j];MaxSum = max(MaxSum,sum);}}return MaxSum; }

窮取法最為直接，當(dāng)然耗時也較多，時間復(fù)雜度為O(n^2);

進(jìn)一步分析

我們利用窮舉法雖然簡單易懂，但是其時間復(fù)雜度很大，我們試著優(yōu)化。現(xiàn)在考慮數(shù)組的第一個元素A[0]，與和最大的子數(shù)組(A[i],……A[j])之間的關(guān)系，有以下三種關(guān)系：

?1) i = j = 0;A[0]本身構(gòu)成和最大的子數(shù)組

?2) j > i = 0;和最大的子數(shù)組以A[0]開頭

?3) i > 0;A[0]與和最大子數(shù)組沒有關(guān)系

從上面3中情況可以看出，可以將一個大問題（N個元素的數(shù)組）轉(zhuǎn)化為一個較小的問題（N - 1個元素的數(shù)組）。假設(shè)已經(jīng)知道(A[1],……A[N-1])中和最大的子數(shù)組和為MaxSum[1]，并且知道，(A[1],……A[N-1])中包含A[1]的和最大的子數(shù)組為TempMaxSum[1]。我們就可以把(A[0],……A[N-1])求和最大子數(shù)組問題轉(zhuǎn)換為，MaxSum[0] = max{A[0],A[0]+TempMaxSum[1],MaxSum[1]}。

代碼實現(xiàn)：

[cpp] view plaincopyprint?

int?MaxSubStringSum(int?*A,int?n)??

{??

????int?MaxSum?=?A[0];????

????int?TempMaxSum?=?A[0];??

????for(int?i?=?1;i?<?n;i++)??

????{??

????????TempMaxSum?=?max(A[i],TempMaxSum?+?A[i]);??

????????MaxSum?=?max(MaxSum,TempMaxSum);??

????}??

????return?MaxSum;??

}??

int MaxSubStringSum(int *A,int n) {int MaxSum = A[0]; int TempMaxSum = A[0];for(int i = 1;i < n;i++){TempMaxSum = max(A[i],TempMaxSum + A[i]);MaxSum = max(MaxSum,TempMaxSum);}return MaxSum; }未完待續(xù)……

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的几个经典的动态规划算法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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