嚴格遞增

最長遞增子序列，給定一個無序整數數組nums（字符串也可以，不重要），給出最長嚴格遞增子序列的長度。比如輸入[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0]，輸出3，最長遞增子序列[1, 2, 4]，當然可能不唯一，[-1, 1, 4]也是一個，但是并不影響長度。
強行遍歷就不說了，時間復雜度O(2^n)，簡直爆炸。
思路1：動態規劃，建立一個數組dp，dp[i]記錄nums[0:i]的最長遞增子序列的長度。
$$dp[i]=max(dp[j]+1)，j\in \{j|nums[j]<nums[i],0<=j<i\}$$
輸出max(dp)即可，時間復雜度O(n^2)，空間復雜度O(n)。

public int maxLengthCSub(int[] nums) {if(nums == null) {return 0;}int len = nums.length;if(len == 0 || len == 1) {return len;}int maxLen = 1;int[] dp = new int[len];for(int i = 0; i < len; i++) {dp[i] = 1;for(int j = 0; j < i; j++) {if(nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1); // 更新dp[i]maxLen = Math.max(maxLen, dp[i]); // 更新最大值}}}return maxLen; }

思路2：動態規劃+二分查找
同樣建立一個數組dp，但是這里dp記錄的是上升子序列，遍歷nums室，用nums的元素填充dp，填充規則是什么呢？首先利用二分查找找到nums[i]在dp中應該插入的位置j，若j==當前dp的長度，則在dp末尾插入nums[i]，maxLen加一，否則dp[j]=nums[i]。這里可能有個疑問，比如說nums[i0]=1放入dp[1]，在后面的遍歷中有一個nums[i1]=-1也需要放入dp[1]，此時不會影響長度的計算嗎？答案是不會，用一個例子比較容易理解。

input:[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0] dp:[1], maxLen = 1 dp:[1, 2], maxLen = 2 dp:[1, 2], maxLen = 2 dp:[-1, 2], maxLen = 2 dp:[-1, 1], maxLen = 2 dp:[-1, 1, 4], maxLen = 3 dp:[-1, 0, 4], maxLen = 3

這里[-1, 0, 4]雖然不是一個最長遞增子序列，但是并不會影響maxLen的值。
時間復雜度O(nlgn)，空間復雜度O(n)。

public int maxLengthCSub(int[] nums) {if(nums == null) {return 0;}if(nums.length == 0 || nums.length == 1){return nums.length;}int[] dp = new int[nums.length];int maxLen = 0;for(int i = 0; i < nums.length; i++){int index = findIndex(dp, maxLen, nums[i]);dp[index] = nums[i];if(index == maxLen)maxLen++;}return maxLen; } // 二分查找，找到target在nums[0:len-1]的插入位置 public int findIndex(int[] nums, int len, int target){if(len == 0)return 0;int low = 0;int high = len;if(target <= nums[low])return 0;if(target > nums[len-1])return len;while(low < high){int middle = low + (high-low)/2;if(target > nums[middle]) // 右邊low = middle + 1;else high = middle;}return low; }

非嚴格遞增

思路1：同嚴格遞增的思路1，只需要在比較的時候加個等號：
$$dp[i]=max(dp[j]+1)，j\in \{j|nums[j]<=nums[i],0<=j<i\}$$
思路2：基本類似嚴格遞增的思路1，但是這里插入的規則是要變的，不再是用二分查找插入dp，其插入位置要保證
$$dp[i?1]<=dp[i]<dp[i+1]$$
邊界情況這里就不分析了，程序里也不需要進行分析，只需要求出i即可，同樣求出i==maxLen，maxLen加一。還是通過一個例子來看。

input:[1, 2 , 1, -1, 1, 4, 0] dp:[1], maxLen = 1 dp:[1, 2], maxLen = 2 dp:[1, 1], maxLen = 2 dp:[-1, 1], maxLen = 2 dp:[-1, 1, 1], maxLen = 3 dp:[-1, 1, 1, 4], maxLen = 4 dp:[-1, 0, 1, 4], maxLen = 4

看出不一樣來了吧，主要是1的插入位置，不在是替換掉前面的1，而是在前面的1的后面放入新的1。

public int maxLengthCSub(int[] nums) {if(nums == null) {return 0;}int len = nums.length;if(len == 0 || len == 1) {return len;}int[] dp = new int[len];int maxLen = 0;for(int i = 0; i < len; i++) {int tmp = findIndex(dp, maxLen, nums[i]); // 無重復數字時的插入位置int tmp2 = findRIndex(dp, tmp, nums[i]); // 有重復數字時的插入位置tmp = tmp2 == -1 ? tmp:tmp2;dp[tmp] = nums[i];if(tmp == maxLen)maxLen++;}return maxLen;} // 同嚴格遞增 // 二分查找，找到target在nums[0:len-1]的插入位置 public int findIndex(int[] nums, int len, int target){if(len == 0)return 0;int low = 0;int high = len;if(target <= nums[low])return 0;if(target > nums[len-1])return len;while(low < high){int middle = low + (high-low)/2;if(target > nums[middle]) // 右邊low = middle + 1;else high = middle;}return low; } // 返回-1時，正常使用二分查找即可 public int findRIndex(int[] nums, int low, int tar) {if(low >= nums.length || low < 0)return -1;if(nums[low] != tar) { // 說明沒有重復值return -1;}int high = low + 1;while(high < nums.length && nums[high] == nums[low]) {high++;}return high; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的严格递增和非严格递增最长递增子序列长度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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