????????通過上兩回的學習，通過兩個簡單的程序已經對C++/OpenGL程序有了基本的了解，本次要學習了解一些與OpenGL相關的數學基礎。

一、3D坐標系統

????????3D空間通常用3個坐標軸X、Y、Z來表示，這三個軸可以用兩種方式來布置：左手系和右手系。（大拇指指向X軸，食指指向Y軸，中指指向Z軸）。在OpenGL中，大體使用右手系。

（圖源自《計算機圖形學編程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 約翰.克萊維吉 （人民郵電出版社）168頁）

二、點

????????3D空間中點可用（x, y, z)來表示，不過，用齊次坐標會使圖形學計算得更加高效。每個點的齊次坐標有四個值，前三個值表示x, y, z，第四個值w總是非零值，通常為1。

用來存儲齊次3D坐標的GLSL數據類型使vec4("vec"代表向量，同時也可以用來表示點）。GLM庫包含適合在C++/OpenGL應用中創建和存儲3元和4元（齊次）點的類，分別叫做vec3和vec4。

三、矩陣

? ? ? ? 矩陣是矩形的值陣列，它的元素通常使用下標訪問。第一個下標表示行號，第二個下標表示列號，下標從0開始。在3D圖形計算中要用到的矩陣大多數為4階矩陣。

? ? ? ? GLSL語言中的mat4數據類型用來存儲4階矩陣。同樣，GLM中有mat4類用以實例化并存儲4階矩陣。

? ? ? ? 矩陣的相關運算：

• 單位矩陣：單位矩陣對角線上的值全為1，其余值為0。任何矩陣乘以單位矩陣都不會發生變化。在GLSL中，調用構造函數glm::mate4 m(1.0f)以在變量m中生成單位矩陣。
• 矩陣的轉置是通過交換矩陣的行和列完成的。GLM庫和GLSL庫都有轉置函數，分別是glm::transpose(mate4)和transpose(mate4)。
• 矩陣加法是多個矩陣對應位置的元素相加即可。在GLSL中，+運算符在mate4上進行了重載，支持矩陣加法。
• 矩陣乘法：注意矩陣乘法不滿足交換律。矩陣乘法一般可以從左向右或從右向左處理。在3D圖形學中，點與矩陣相乘（從右往左）得到點。點用齊次坐標表示為列數為1的矩陣。GLSL和GLM都支持點（vec4）與矩陣相乘用*運算符。兩個4階矩陣相乘如下：?矩陣相乘也 經常叫做合并，它可以用于將一系列矩陣變換合并為一個矩陣（源自矩陣的結合律）。GLSL和GLM都支持使用重載的*運算符進行矩陣乘法。?（上圖源自《計算機圖形學編程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 約翰.克萊維吉 （人民郵電出版社）173頁）
• 矩陣的逆：一個4階矩陣的逆矩陣依然是4階矩陣，且矩陣×矩陣的逆為單位矩陣。GLSL和GLM都提供了計算矩陣的逆的函數mate4.inverse()。

四、變換矩陣

? ? ? ? 在圖形學中，矩陣通常用來進行物體的變換。如矩陣可以用來將物體從一點移動到另一點。接下來接受五個常用的變換矩陣。變換矩陣都是4階矩陣

• ? ? 平移矩陣：用于將物體從一個位置移動到另一個位置。它包含一個單位矩陣，同時X、Y、Z的移動量在矩陣的最后一列，即A03、A13、A23? 。 下圖表示點（X，Y，Z，1）與平移矩陣相乘后平移到（X+Tx，Y+Ty，Z+Tz，1）。（從右往左）。GLM中有用于構建與點相乘的平移矩陣。glm::translate(x,y,z)構建平移矩陣（x,y,z)的矩陣。

?（上圖源自《計算機圖形學編程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 約翰.克萊維吉 （人民郵電出版社）177頁）

• 縮放矩陣：縮放矩陣用于改變物體的大小或者將點向原點相反的方向移動。縮放矩陣是由單位矩陣和位于A00,A11,A22的X，Y，Z縮放因子組成的。如下圖。此外縮放還可以用來切換坐標系。從上面兩個坐標系中可以看出，左手系和右手系的區別就是Z軸的方向相反。故只需要Sx =1,Sy = 1,Sz = -1即可以實現左手系和右手系的轉化。GLM 有用于構建與點相乘的縮放矩陣的函數。glm::scale(x,y,z)構建縮放(x,y,z)的縮放矩陣。

?（上圖源自《計算機圖形學編程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 約翰.克萊維吉 （人民郵電出版社）179頁）

• ? ? 旋轉矩陣：旋轉會比較復雜，因為3D空間中旋轉物體需要指定旋轉軸和旋轉的角度或弧度。旋轉變化有3種，分別繞X，Y，Z軸旋轉。矩陣形式如下圖：? ?反向旋轉的矩陣恰好等于其轉置矩陣。 ? GLM中構建旋轉矩陣用glm::rotate(mate4,α,x,y,z)構建繞X，Y，Z軸旋轉α度的旋轉矩陣。

?（上圖源自《計算機圖形學編程（使用OpenGL和C++)》作者：V.斯科特.戈登 約翰.克萊維吉 （人民郵電出版社）179頁）

• 投影矩陣
• LookAt矩陣

?這兩個矩陣還需要其他的一些內容，將在下篇中進行介紹。

五、向量

? ? ? ? 向量表示大小和方向。向量沒有特定的位置。移動向量并不改變它所代表的意義。在3D圖形學中，向量一般用空間中的單個點表示，向量的大小是原點到該點的距離，方向則是原點到該點的方向。在我們的應用中，我們簡單的將向量V表示為（x,y,z)，即向量的起點是原點，終點是點（x,y,z)。在GLSL和GLM中并不區分點和向量，它們所提供了vec3/vec4既能表示點又能表示向量。在GLM和GLSL中的向量操作如下：

? ? ? ? 假設向量A(u,v,w)和B(x,y,z)

• 加減法: A+B = (u+x,v+y,w+z)。glm: vec3+vec3。GLSL: vec3+vec3。減法同理
• 歸一化（變為長度為1）：glm: normalize(vec3/vec4)。GLSL:normalize(vec3/vec4)
• 點積：A·B = ux+vy+wz。glm:dot(vec3/vec4,vec3/vec4)。GLSL:dot(vec3/vec4,vec3/vec4)
• 叉積：A×B = (vz-wy,wx-uz,uy-vx)。glm:cross(vec3,vec3)。GLSL:cross(vec3,vec3)
• 求模：glm:magnitude(vec3)。?GLSL:magnitude(vec3)

總結

以上是生活随笔為你收集整理的OpenGL学习随笔（三）——2022.1.24的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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