線性方程

• 求解線性方程
• • • • 高斯消去法`rref()`
      • LU因子化
      • 高效`mldivide()、\`
      • 克萊默法則
• 線性系統
• • • • 特征值和特征向量`eig()`
      • 矩陣指數`expm()`
• 習題

本次內容涉及線性代數，視頻中大部分在講解線性代數的知識，只稍微提及了幾個matlab來實現的指令。
學了現代之后再來看一遍（逃~

求解線性方程

將線性方程組用矩陣 Ax=b 表示，則可通過求解矩陣來解方程：

高斯消去法rref()

R = rref(A) 使用 Gauss-Jordan 消元法和部分主元消元法返回A的簡化行階梯形。
對增廣矩陣 [A b] 使用rref()則可以求解 Ax=b 對應的線性方程組

LU因子化

[L,U,P] = lu(A) 將滿矩陣或稀疏矩陣 A 分解為一個上三角矩陣 U 和一個經過置換的下三角矩陣 L，使得 A = L*U；返回一個置換矩陣 P，并滿足 A = P’*L*U。
通過執行 LU 分解，然后使用因子來簡化問題，對線性方程組求解。

一些矩陣分解函數

• qr()：正交三角分解
• ldl()：Hermitian 不定矩陣的分塊 LDL 分解
• ilu()：不完全 LU 分解
• chol()：Cholesky 分解
• gsvd()：廣義奇異值分解
• svd()：奇異值分解

高效mldivide()、\

以上兩種方法在對于一般的線性方程組的求解其實并不友好，過于繁瑣。實際上，更加高效的方式是使用A\b（或者mldivide(A,b)）可直接求得方程組的根 向量x。

克萊默法則

求解矩陣方程 Ax=b ，x等于A的逆矩陣乘以b，即 x=A^-1b
通過inv(A)對矩陣A求逆，然后直接計算即可：x = inv(A)*b

需要注意，矩陣A的逆矩陣可能不存在

線性系統

特征值和特征向量eig()

e = eig(A) 返回一個列向量，其中包含方陣 A 的特征值；
[V,D] = eig(A) 返回特征值的對角矩陣 D 和矩陣 V，其列是對應的右特征向量，使得 AV = VD。

模糊綜合評價中利用eig()求解最大特征根和權向量：

矩陣指數expm()

Y = expm(X) 計算 X 的矩陣指數。如果 X 有一組完整的特征向量 V 和對應特征值 D，[V,D] = eig(X)，則expm(X) = V*diag(exp(diag(D)))/V；
對于逐個元素的指數運算，使用 exp()

習題

syms R1 R2 R3 R4 R5 V1 V2; A=[R1 0 0 R4 0;0 R2 0 -R4 R5;0 0 -R3 0 R5;1 -1 0 -1 0;0 1 -1 0 -1]; b=[V1;0;V2;0;0]; x=A\b

以上內容為個人筆記，部分圖片來源于郭老師課件或課程截圖。
筆記匯總：MATLAB基礎教程
課程視頻：https://www.bilibili.com/video/BV1DA411Y7bN

總結

以上是生活随笔為你收集整理的MATLAB数学建模 线性方程式与线性系统的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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