矩陣求逆引理，或者稱Sherman-Woodbury-Morrison公式

(A+BC)?1=A?1?A?1B(I+CA?1B)?1CA?1
其中 A∈Rn×n是非奇異矩陣， B∈Rn×p， C∈Rp×n。

證明：
考慮線性等式

(A+BC)x=b
其中 A∈Rn×n是非奇異矩陣， B∈Rn×p， C∈Rp×n。定義 y=Cx，則有
{Ax+By=by=Cx
該方程組可以寫成塊矩陣的形式
[ACB?I][xy]=[b0]
根據方程組（1）式，有 x=A?1(b?By)，代入方程組（2）式中有
y=CA?1(b?By)
合并同類項，有
y=(I+CA?1B)?1A?1b
代入 x=A?1(b?By)中，得到
x=(A?1?A?1B(I+CA?1B)?1CA?1)b
因此，結合 (A+BC)x=b，得到
(A+BC)?1=A?1?A?1B(I+CA?1B)?1CA?1
特別地， B,C為矢量時，有
(A+uvT)?1=A?1?A?1uvTA?11+vTA?1u

說明：該證明過程是翻譯body的書 《Convex Optimization》 p-678的內容。

Remake：單純的應用矩陣求逆引理并不能降低計算量，當一個矩陣D可以分解成A+BC，并且已知A?1已知，利用矩陣求逆引理，可以得到D的逆。

總結

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