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微幅波的解析解求解及弥散方程的推导

發布時間：2023/12/14 编程问答 44 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了微幅波的解析解求解及弥散方程的推导小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

文章目錄

前言
一、微幅波控制方程和邊界條件
二、通過G.D.E求 $Φ\Phi$ 表達式形式
三、通過B.B.C求待定系數A、B的關系
四、通過D.F.S.B.C確定系數A
五、通過K.F.S.B.C求解彌散關系(dispersion relationship)
六、通過彌散方程討論波浪運動特點

前言

坐標系定義：原點在靜水面(SWL)，Z軸向上為正，海底為-h，X軸取波浪傳播方向為正。
波浪自由表面： $η=H2cos(kx?σt)\eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)$

一、微幅波控制方程和邊界條件

${G.D.E:?2Φ=?2Φ?x2+?2Φ?z2=0,(?h≤z≤η,?∞≤x≤+∞)B.B.C:?Φ?z=0,(z=?h)D.F.S.B.C:η=?1g?Φ?t,(z=0)K.F.S.B.C:?η?t=?Φ?z,(z=0)L.B.C:Φ(x,z,t)=Φ(x?ct,z)\begin{cases} G.D.E: &\nabla^2\Phi=\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0, \ \ (-h\le z\le\eta,\ -\infty\le x\le+\infty)\\\\ B.B.C: &\frac {\partial\Phi} {\partial z}=0,\ (z=-h)\\\\ D.F.S.B.C:&{\eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0)}\\\\ K.F.S.B.C:&\frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (z=0)\\\\ L.B.C:&\Phi(x,z,t)=\Phi(x-ct,z) \end{cases}$
由D.F.S.B.C可知 $η\eta$ 和速度勢函數 $Φ\Phi$ 在時間上的導數呈線性關系，不妨設 $Φ=f(z)sin(kx?σt)\Phi=f(z)sin(kx-\sigma t)$ ，只要根據控制方程和邊界條件求解 $f (z)$ ，即可知道波浪的運動特性。

二、通過G.D.E求 $Φ\Phi$ 表達式形式

根據微幅波控制方程(G.D.E): $?2Φ?x2+?2Φ?z2=0\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0$
有：
${?Φ?x=f(z)kcos(kx?σt)?Φ?z=f′(z)sin(kx?σt)\begin{cases} \frac {\partial \Phi} {\partial x} = f(z)kcos(kx-\sigma t)\\\\ \frac {\partial \Phi} {\partial z} = f'(z)sin(kx-\sigma t) \end{cases}$
${?2Φ?x2=?f(z)k2sin(kx?σt)?2Φ?z2=f′′(z)sin(kx?σt)\begin{cases} \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2}= -f(z)k^2sin(kx-\sigma t)\\\\ \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2} = f''(z)sin(kx-\sigma t) \end{cases}$
式（12）則化為：
$?2Φ?x2+?2Φ?z2=0\frac {\partial ^2 \Phi} {\partial x^2} + \frac {\partial ^2 \Phi} {\partial z^2}=0$
$f′′(z)sin(kx?σt)?f(z)k2sin(kx?σt)=0f''(z)sin(kx-\sigma t)-f(z)k^2sin(kx-\sigma t)=0$
化簡：
$[f′′(z)?k2f(z)]sin(kx?σt)=0[f''(z)-k^2f(z)]sin(kx-\sigma t)=0$ 其中 $sin(kx?σt)sin(kx-\sigma t)$ 不恒為0，則要求 $f''(z)-k^2f(z)]$ 恒為0。
$[f′′(z)?k2f(z)]=0(1)[f''(z)-k^2f(z)]=0\tag{1}$
這里涉及到求解常系數齊次線性微分方程，方法見我的另一篇帖子。
方程（1）的特征方程為 $r^2-k^2=0$ ，因此通解的結構為 $f(z)=Aekz+Be?kz(2)f(z)=Ae^{kz}+Be^{-kz}\tag{2}$
速度勢函數則為 $Φ=(Aekz+Be?kz)sin(kx?σt)(3)\Phi=(Ae^{kz}+Be^{-kz})sin(kx-\sigma t)\tag{3}$
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三、通過B.B.C求待定系數A、B的關系

根據底部邊界條件(B.B.C)：
$?Φ?z=0,(z=?h)\frac {\partial\Phi} {\partial z}=0,\ (z=-h)$
有 $?Φ?z=(Akekz?Bke?kz)sin(kx?σt)=0,(whenz=?h)\frac {\partial\Phi} {\partial z}=(Ake^{kz}-Bke^{-kz})sin(kx-\sigma t)=0,\ (when\ z=-h)$
其中 $sin(kx?σt)sin(kx-\sigma t)$ 不恒為0，所以 $Ake^{kz}-Bke^{-kz})=0$ ，代入 $z = ? h$ ：
$Ake^{-kh}-Bke^{kh}=0$ $Ake?kh=Bkekh(4)Ake^{-kh}=Bke^{kh} \tag{4}$

對方程（2）作變形，等式右邊同乘 $e^{kh}e^{-kh}$ ：

$f(z)=Aekz+Be?kz=ekhe?kh(Aekz+Be?kz)=Ae?khekzekh+Bekhe?khe?kz\begin{aligned} \ f(z)=&Ae^{kz}+Be^{-kz}\\\\ \ =&e^{kh}e^{-kh}(Ae^{kz}+Be^{-kz})\\\\ \ =&Ae^{-kh}e^{kz}e^{kh}+Be^{kh}e^{-kh}e^{-kz} \end{aligned}$ 代入（4）有：
$=2Ae?kh?ek(h+z)+e?k(h+z)2\begin{aligned} \ =&2Ae^{-kh}\cdot\frac {e^{k(h+z)}+e^{-k(h+z)}} {2}\\ \end{aligned}$ $f(z)=2Ae?khcosh[k(h+z)](5)f(z)=2Ae^{-kh}cosh[k(h+z)]\tag{5}$
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四、通過D.F.S.B.C確定系數A

現在 $Φ\Phi$ 可以寫成 $Φ=2Ae?khcosh[k(h+z)]sin(kx?σt)(6)\Phi=2Ae^{-kh}cosh[k(h+z)]sin(kx-\sigma t)\tag{6}$
根據自由表面動力邊界條件(D.F.S.B.C)：
$η=?1g?Φ?t,(z=0)\eta=-\frac 1 g \frac {\partial\Phi} {\partial t}, (z=0)$
解得： $η=σg2Ae?khcoshkh?cos(kx?σt)(7)\eta=\frac {\sigma} {g} 2Ae^{-kh}coshkh\cdot cos(kx-\sigma t)\tag{7}$
又有設 $η=H2cos(kx?σt)\eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)$ ，消去同項得： $H2=σg2Ae?khcoshkh\frac H 2 = \frac \sigma g2Ae^{-kh}coshkh$
得 $2Ae?kh=gH2σ?1coshkh(8)2Ae^{-kh}=\frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac 1 {coshkh}\tag{8}$
將式（8）代入式（6）有：
$Φ=gH2σ?cosh[k(h+z)]cosh(kh)?sin(kx?σt)(9)\Phi = \frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac {cosh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t) \tag{9}$
至此求得微幅波速度勢函數，即式（9）
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五、通過K.F.S.B.C求解彌散關系(dispersion relationship)

根據自由表面運動邊界條件(K.F.S.B.C)：
$?η?t=?Φ?z,(whenz=0)(10)\frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {\partial\Phi} {\partial z}, (when\ z=0)\tag{10}$
等式左邊：
${η=H2cos(kx?σt)?η?t=Hσ2sin(kx?σt)\begin{cases} \ \eta=\frac {H} {2} cos(kx-\sigma t)\\\\ \ \frac {\partial\eta} {\partial t}=\frac {H \sigma} 2 sin(kx-\sigma t)\\ \end{cases}$
等式右邊：
${Φ=gH2σ?cosh[k(h+z)]cosh(kh)?sin(kx?σt)?Φ?z=gHk2σ?sinh[k(h+z)]cosh(kh)?sin(kx?σt)=gHk2σ?sinh(kh)cosh(kh)?sin(kx?σt),(whenz=0)\begin{cases} \ \Phi = \frac {gH} {2 \sigma}\cdot \frac {cosh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t)\\\\ \ \frac {\partial\Phi} {\partial z}=\frac {gHk} {2 \sigma}\cdot \frac {sinh[k(h+z)]} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t)\\\\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {gHk} {2 \sigma}\cdot \frac {sinh(kh)} {cosh(kh)} \cdot sin(kx-\sigma t), (when\ z=0) \end{cases}$
此時式（10）可改寫成： $Hσ2sin(kx?σt)=gHk2σ?sinh(kh)cosh(kh)?sin(kx?σt)\frac {\cancel{H} \sigma} {\cancel 2} \cancel {sin(kx-\sigma t)}=\frac {g\cancel{H}k} {\cancel{2} \sigma}\cdot \frac {sinh(kh)} {cosh(kh)} \cdot \cancel {sin(kx-\sigma t)}$
整理可得波浪運動的重要方程彌散方程
$σ2=gktanh(kh)(11)\sigma^2=gktanh(kh)\tag{11}$
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六、通過彌散方程討論波浪運動特點

根據上述的推導，我們得到彌散方程的一般形式，其中 $σ=2πT\sigma = \frac {2\pi} T$ ， $k=2πLk=\frac {2\pi} L$ ，代入（11）得：
$L=gT22πtanh2πLh(12)L=\frac {gT^2} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L} h\tag{12}$
又有 $c=LTc=\frac {L} {T}$ ，有：
$c=gT2πtanh2πLh(13)c=\frac {gT} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L} h\tag{13}$
說明：式（11）、（12）、（13）為彌散方程的三種不同形式。
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由彌散方程可知微幅波運動具有以下特點：
（1）、波浪要素L、T、h并不相互獨立。對于給定水深h，每一個周期T對應一個波長為L的波；又因為 $c=LTc=\frac {L} {T}$ ，所以每個周期T（或說每個波長L）對應一個確定的波速c，表現在物理現象上就是波浪的彌散現象，即不同周期的波擁有不同的波速而分離開來。
（2）、雖然彌散方程是一個隱式方程，涉及到迭代求解，但有結論：
當T一定時，波浪從深h到淺h傳播時，L變小， $c=LTc=\frac {L} {T}$ 也變慢；
當h一定時，波周期T越長，波長L越長，波速c越快。
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求解彌散方程時，需要查表或迭代試算，一般先假設為深水波，即 $t a n h k h = 1$ ，算得 $L0=gT22πL_0=\frac {gT^2} {2\pi}$ ，再回代求 $L1=gT22πtanh2πL0hL_1=\frac {gT^2} {2\pi}tanh\frac{2\pi} {L_0} h$ ，判斷 $L_0-L_1|$ 是否小于一個規定的小數，若小于則說明收斂，若不小于則繼續迭代直至滿足要求。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的微幅波的解析解求解及弥散方程的推导的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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