2019年第十六屆中國研究生數(shù)學(xué)建模競賽B題
天文導(dǎo)航中的星圖識(shí)別
天文導(dǎo)航（Celestial Navigation）是基于天體已知的坐標(biāo)位置和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，應(yīng)用觀測天體的天文坐標(biāo)值來確定航行體的空間位置等導(dǎo)航參數(shù)。與其他導(dǎo)航技術(shù)相比，天文導(dǎo)航是一種自主式導(dǎo)航，不需要地面設(shè)備，不受人工或自然形成的電磁場的干擾，不向外界輻射能量，隱蔽性好，而且定姿、定向、定位精度高，定位誤差與時(shí)間無關(guān)，已被廣泛用于衛(wèi)星、航天飛機(jī)、遠(yuǎn)程彈道導(dǎo)彈等航天器。天文導(dǎo)航的若干背景知識(shí)可參閱附件1。
星敏感器是實(shí)現(xiàn)航行體自主姿態(tài)測量的核心部件，是通過觀測太空中的恒星來實(shí)現(xiàn)高精度姿態(tài)測量。恒星是用于天文導(dǎo)航最重要的一類天體。對(duì)天文導(dǎo)航而言，恒星可以看成是位于無窮遠(yuǎn)處的，近似靜止不動(dòng)的，具有一定光譜特性的理想點(diǎn)光源。
借助天球坐標(biāo)系，可用赤經(jīng)與赤緯來描述恒星在某一時(shí)刻位置信息（相關(guān)定義和概念可參考附件1）。恒星在天球球面上的投影點(diǎn)稱為恒星的位置。將星空中恒星的相關(guān)數(shù)據(jù)，按不同的需求編制而成的表冊(cè)，稱為星表。星表是星圖識(shí)別的主要依據(jù)，也是姿態(tài)確定的基準(zhǔn)。常用的星表中通常列有恒星的位置、自行、星等（亮度）、顏色和距離等豐富的信息。對(duì)于天文導(dǎo)航而言，感興趣的信息主要是恒星的位置和星等。附件2提供了一個(gè)簡易的星表，提供了部分恒星在天球坐標(biāo)系下的位置（以赤經(jīng)、赤緯來標(biāo)記，單位：角度）和星等信息。
全天自主的星圖識(shí)別是星敏感器技術(shù)中的一項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)。星圖識(shí)別是將星敏感器當(dāng)前視場中的恒星（星圖）與導(dǎo)航星庫中的參考星進(jìn)行對(duì)應(yīng)匹配，以完成視場中恒星的識(shí)別。星圖識(shí)別一般包括圖像采集及預(yù)處理、特征提取、匹配識(shí)別等過程。
圖像預(yù)處理包括去除噪聲和星點(diǎn)質(zhì)心提取。為簡化，本賽題暫不考慮具體的去除噪聲和質(zhì)心提取等問題，認(rèn)為所討論的星圖圖像已經(jīng)完成了圖像預(yù)處理。
導(dǎo)航數(shù)據(jù)庫一般包括兩部分：導(dǎo)航星表和導(dǎo)航星特征數(shù)據(jù)庫。導(dǎo)航星表是從基本星表中挑選一定亮度范圍的導(dǎo)航星，利用其位置（赤經(jīng)、赤緯）和亮度信息編制而成的簡易星表。星敏感器除了需要構(gòu)建導(dǎo)航星表外，還需要按照特征提取算法，構(gòu)造導(dǎo)航星的特征向量，存儲(chǔ)由特征向量構(gòu)成的導(dǎo)航星特征數(shù)據(jù)庫。
提取出觀測星的特征后，就可以尋找特征類似的導(dǎo)航星。如果找到特征惟一接近的導(dǎo)航星，即可認(rèn)為二者匹配。匹配識(shí)別過程和提取特征的方法緊密相關(guān)。本賽題暫不考慮后續(xù)的航行體定姿定位問題。
在星圖識(shí)別的相關(guān)工作中需要用到天球坐標(biāo)系、星敏感器坐標(biāo)系、星敏感器圖像坐標(biāo)系等。其簡單定義為：
（1）天球坐標(biāo)系。以天赤道為基圈，過春分點(diǎn)的時(shí)圈為主圈，春分點(diǎn)為主點(diǎn)。天球坐標(biāo)系采用赤經(jīng)、赤緯作為坐標(biāo)量。參見附件1相關(guān)敘述。
圖1 星敏感器坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系及前視投影成像示意圖
（2）星敏感器坐標(biāo)系。以投影中心 （光軸上與感光面距離為 的點(diǎn)，即光心，參見圖1）為坐標(biāo)原點(diǎn)，以光軸為 軸（后面的討論中，光軸 與天球面的交點(diǎn)記為 點(diǎn)），過 點(diǎn)平行于感光面兩邊的直線作為 軸和 軸。圖1為星敏感器坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系及前視投影成像示意圖。
（3）圖像坐標(biāo)系。以感光面的中心 （ 點(diǎn)在該平面上的投影點(diǎn)）為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于感光面兩邊的直線為 軸和 軸的平面坐標(biāo)系，參見圖1。
請(qǐng)你們團(tuán)隊(duì)利用附件提供的相關(guān)背景材料和數(shù)據(jù)，建模分析下面問題：
問題1 、 、 是3顆已知位置的恒星，即它們?cè)谔烨蜃鴺?biāo)系下的赤經(jīng)和赤緯 已知； 、 、 是來自恒星 、 、 的平行光經(jīng)過星敏感器光學(xué)系統(tǒng)成像在感光面上的星像點(diǎn)質(zhì)心中心位置（參見圖1）； 記 ， ， ， 。
（1）建立由 ， ， 等參數(shù)解算 點(diǎn)在天球坐標(biāo)系的位置信息的數(shù)學(xué)模型，并給出具體的求解算法；
（2）若不利用 值的信息，試建立由 ， 等參數(shù)求解 點(diǎn)在天球坐標(biāo)系中的位置信息的數(shù)學(xué)模型，并給出具體的求解算法；
（3）一般來說，星敏感器視場內(nèi)的恒星數(shù)量多于3顆，請(qǐng)討論如何選擇不同幾何位置的三顆星，提高解算 點(diǎn)在天球坐標(biāo)系中的位置信息的精度，并分析相應(yīng)的誤差。
問題2 傳統(tǒng)的星圖識(shí)別方法主要是以角距（即星與星之間的球心角，可直觀理解為兩顆恒星分別與地心連線之間的夾角）或其衍生的形式為特征，這類方法比較簡單，但一般需要較大的存儲(chǔ)空間，識(shí)別算法實(shí)時(shí)性不好，且識(shí)別率普遍不高。通過對(duì)星圖中的星點(diǎn)信息進(jìn)行更為精細(xì)的特征提取，構(gòu)建更高層次的特征，可能會(huì)提高星圖識(shí)別算法的實(shí)時(shí)性和降低誤匹配率。基于附件2提供的簡易星表信息，請(qǐng)構(gòu)建相應(yīng)的特征提取模型，設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的星圖識(shí)別算法，確定出附件3給出的8幅星圖中每一個(gè)星像點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的恒星編號(hào)（對(duì)應(yīng)附件2簡易星表的恒星編號(hào)），并對(duì)算法的性能進(jìn)行評(píng)估。

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附件1 相關(guān)背景知識(shí)（含對(duì)附件2、附件3的說明，請(qǐng)注意！）
附件2 簡易星表
附件3 8幅星圖相關(guān)數(shù)據(jù)

總結(jié)

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