一、定義：

差分，又名差分函數(shù)或差分運(yùn)算，差分的結(jié)果反映了離散量之間的一種變化。

例如，我們有一段離散化序列：a[1],a[2],a[3]......a[n-1],a[n], 我們可以建立數(shù)列的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值數(shù)組 c，

則有 c [1] = a[1] - a[0]，當(dāng) i>=2 時(shí)有 c[i]=a[i]-a[i-1]。這樣我們就可以將一段序列的差值序列記錄下來。

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二、性質(zhì)：

先來看這樣的例子：

我們可以發(fā)現(xiàn)：

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a[1] = c[1]

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?a[2]=c[1]+c[2]=a[1]+a[2]-a[1]=a[2]

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?.......

我們可以發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的第 i 項(xiàng)可以由差分?jǐn)?shù)組前 i 項(xiàng)和得到，也就是 差分?jǐn)?shù)組的前綴和。

如果我們求原數(shù)列的前i項(xiàng)和，就是差分?jǐn)?shù)組的前綴和的前綴和。

列出公式有：

?

三、應(yīng)用：

1、快速的區(qū)間加減操作：

對(duì)一段區(qū)間 [ L ,R] 進(jìn)行加 x 的操作該怎樣進(jìn)行呢，我們知道 c 數(shù)組存儲(chǔ)的是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差值，一段區(qū)間全部加x，那么區(qū)間內(nèi)的差值應(yīng)該保持不變，需要改變的只是兩個(gè)端點(diǎn)， 也就是 c[ L?] 和 c[ R+1]項(xiàng)。c[ L]比前一項(xiàng)多 x，所以有c[L ] += x，c[R]也增加x，其后一項(xiàng) c[ R+1] 減少 x，則 c [R+1] -= x 。

因此我們?cè)谔幚硪欢螀^(qū)間時(shí)可以直接對(duì)受影響的兩個(gè)值進(jìn)行操作即可，簡(jiǎn)單快速。

2、區(qū)間求和、求單點(diǎn)值：

如上面的公式：單點(diǎn)和為差分?jǐn)?shù)組的前綴和，區(qū)間和為差分?jǐn)?shù)組前綴和的前綴和。

3、樹狀數(shù)組中的差分應(yīng)用：

這個(gè)大佬寫的很好，這里不再過多贅述。

https://www.cnblogs.com/kickit/p/9172189.html

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四、例題：

1、HDU1556--Color the ball ??https://vjudge.net/problem/HDU-1556

2、POJ--3263--????Tallest Cow ??https://vjudge.net/problem/POJ-3263

3、[ NOIP2012提高 & 洛谷P1083] ?借教室 ? ?https://www.luogu.org/problem/P1083

4、二維差分：HDU-6514 ?Monitor???https://vjudge.net/problem/HDU-6514

關(guān)于這個(gè)題，有大佬寫的賊棒：https://blog.csdn.net/D5__J9/article/details/89428614

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青山遮不住，畢竟東流去。 江晚正愁余，山深問鷓鴣。

刀刃飛，誰可為我敵。衣袂舞，一笑常門寂，而幸相遇，風(fēng)清月明。

致QDU美好的夜景。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的差分数组分析详解+例题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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