機(jī)器之心報(bào)道，機(jī)器之心編輯部。

就是它↓↓↓

9 月 20 日，一張 Twitter 截圖引爆數(shù)學(xué)圈：菲爾茲獎、阿貝爾獎得主邁克爾 · 阿蒂亞（Michael Atiyah）爵士將證明數(shù)學(xué)王冠上的明珠——黎曼猜想。今日，在德國舉辦的 2018 年度海德堡獲獎?wù)哒搲?#xff08;Heidelberg Laureate Forum）上，阿蒂亞爵士用 45 分鐘的時間向全世界展示這個有著一百五十多年歷史的數(shù)學(xué)猜想的證明，不過前三十分鐘都在介紹歷史，證明只有一頁 PPT……其實(shí)大會開幕前不久，有消息稱網(wǎng)上已有阿蒂亞爵士的預(yù)印版論文，但機(jī)器之心只查證到最早是 Reddit 上一篇討論給出的谷歌文檔鏈接，未能確認(rèn)其出處與權(quán)威性，因此放在文后供大家研究。

引爆朋友圈的 Twitter 截圖，邁克爾 · 阿蒂亞爵士在今日于德國舉辦的海德堡獲獎?wù)哒搲闲v其證明。圖中表明，阿蒂亞宣布「我將展示一個簡單的證明，用一種全新的方法」，這個證明基于馮諾伊曼（1936）、希策布魯赫（1954）和狄拉克（1928）的相關(guān)研究。

黎曼猜想

1900 年在法國巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特做了《數(shù)學(xué)難題》的演講，列舉了他認(rèn)為最重要的 23 個數(shù)學(xué)難題。100 年之后的 2000 年，美國克雷數(shù)學(xué)研究所也在巴黎發(fā)起了一個數(shù)學(xué)會議，參會數(shù)學(xué)家共同討論并列出了最重要的 7 個數(shù)學(xué)難題，還為每個難題設(shè)置了 100 萬美元的獎金。沒錯，這就是著名的「千禧問題」。

而無論是 23 個希爾伯特難題還是 7 個「千禧問題」，只有一個問題同時出現(xiàn)，那就是黎曼猜想。

國內(nèi)知名科普作家盧昌海對于黎曼猜想如此評價：

與費(fèi)馬猜想時隔三個半世紀(jì)以上才被解決，哥德巴赫猜想歷經(jīng)兩個半世紀(jì)以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一個半世紀(jì)的紀(jì)錄還差得很遠(yuǎn)，但它在數(shù)學(xué)上的重要性要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過這兩個大眾知名度更高的猜想。

所以，什么是黎曼猜想？

黎曼猜想是數(shù)學(xué)家黎曼在 1859 年向柏林科學(xué)院提交的一篇短論文（才八頁）中提出的，這篇論文討論的是素?cái)?shù)分布的問題。素?cái)?shù)分布在數(shù)論中有很重要的地位，相當(dāng)于原子概念在現(xiàn)代物理學(xué)中的地位。黎曼發(fā)現(xiàn)，素?cái)?shù)分布的規(guī)律就隱藏在某個函數(shù)的零點(diǎn)分布中。這個函數(shù)就是黎曼 ζ 函數(shù)：

黎曼 ζ 函數(shù)

黎曼將該函數(shù)解析延拓至整個復(fù)平面，并指出：黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn)（是指 s 不為-2、-4、-6???等點(diǎn)的值，這些都是平凡零點(diǎn)）的實(shí)數(shù)部分都是 1/2。也就是說，這些非平凡零點(diǎn)都分布在復(fù)平面的 Re(z)=1/2 的直線上（即下圖中的虛線）。

1901 年 Helge von Koch 指出，黎曼猜想與強(qiáng)條件的素?cái)?shù)定理等價，其中π(x) 為不大于 x 的素?cái)?shù)個數(shù)。目前已驗(yàn)證最初的 1,500,000,000 個素?cái)?shù)對這個定理都成立。但是否所有的解對該定理都成立，尚無證明。

黎曼猜想與數(shù)論中的素?cái)?shù)分布問題有著非常緊密的聯(lián)系。數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支，在數(shù)論中，素?cái)?shù)分布問題又是一個重要研究課題。也就是說，黎曼猜想的證實(shí)對數(shù)論也有很重要的影響。此外，人們還發(fā)現(xiàn)黎曼猜想與某些物理現(xiàn)象存在關(guān)聯(lián)，這也增加了黎曼猜想在物理學(xué)界的影響力。

黎曼猜想及推廣形式的成立是現(xiàn)有很多數(shù)學(xué)命題的前提。如果黎曼猜想及其推廣形式被證明，這些數(shù)學(xué)命題都將變?yōu)閿?shù)學(xué)定理；反之，一旦黎曼猜想被證偽，將有 1000 多個數(shù)學(xué)命題成為黎曼猜想的「陪葬品」。要證偽黎曼猜想，只需要找到一個不在 Re(z)=1/2 這條直線上的非平凡零點(diǎn)即可，當(dāng)然目前并沒有發(fā)現(xiàn)這樣的零點(diǎn)。

如果能在 500 年后重返人間，要問的第一件事情，就是黎曼猜想被證明了還是被證偽了。——希爾伯特

邁克爾 · 阿蒂亞爵士的證明

邁克爾 · 阿蒂亞 (Michael Atiyah, 1929.4.22－) 是英國著名的數(shù)學(xué)家，也是當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一。他的主要研究領(lǐng)域?yàn)閹缀?#xff0c;1960 年代他與伊薩多·辛格合作，證明了溝通數(shù)學(xué)分析和拓?fù)鋵W(xué)兩大領(lǐng)域的阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理。1966 年，阿蒂亞爵士榮獲菲爾茲獎，2004 年與辛格共同獲得阿貝爾獎。

今年向黎曼猜想發(fā)起挑戰(zhàn)的阿蒂亞爵士已經(jīng) 89 歲了。

因年齡以及狀態(tài)問題，在 Twitter 截圖爆出后，有些人質(zhì)疑阿蒂亞爵士宣稱的內(nèi)容。援引公眾號科研圈的內(nèi)容表示，「阿蒂亞爵士近來狀態(tài)不佳，先前提出的命題未得到證明；而且他已經(jīng) 89 歲高齡，幾乎沒有數(shù)學(xué)家能在這樣的年齡作出成績。美國數(shù)學(xué)物理學(xué)家約翰 · 卡洛斯 · 貝茲（John Carlos Baez，推特 @johncarlosbaez）在推特留言：我看這個證明站不住腳。阿蒂亞最近的大發(fā)現(xiàn)都站不住腳，比如他說要證明六維球面沒有復(fù)結(jié)構(gòu)。每個熟悉他的人都不好意思公開討論原因。」

當(dāng)然，他也有一批支持者，認(rèn)為「我想如果有誰能完成這件事，那就是阿蒂亞?！?#xff08;出自英國應(yīng)用數(shù)學(xué)家馬特 · 亨特 Twitter）

阿蒂亞在晚年不乏雄心，面對外界的質(zhì)疑，他曾經(jīng)說道：「我已經(jīng)得到了我需要的所有獎項(xiàng)，我還能失去什么？這就是為什么我在冒著一個年輕學(xué)者不敢冒的風(fēng)險。」

無論是質(zhì)疑還是支持，阿蒂亞爵士口中的「一個簡單的證明，一種全新的方法」今日最終在海德堡獲獎?wù)哒搲瞎?#xff1a;

因觀看人數(shù)過載，直播崩潰，官方改為手機(jī)直播，經(jīng)機(jī)器之心留言提醒，官方終于把直播畫面對準(zhǔn)PPT，感動。

首先，Michael Atiyah 介紹了素?cái)?shù)研究的歷史以及素?cái)?shù)與黎曼猜想的關(guān)系。

他還開了個玩笑，「解決黎曼猜想你會出名，但如果你已經(jīng)是個名人，那就有聲名狼藉的風(fēng)險了。」

Atiyah 花了很多時間介紹歐拉公式，這并不是因?yàn)樗B接了虛數(shù)等各種元素的美麗，同時還因?yàn)檫B接馮諾伊曼和 Hirzebruch 關(guān)鍵思想可以得出更加一般的歐拉表達(dá)式，這對于以新的角度審視與證明黎曼猜想非常重要。Atiyah 說：「歐拉公式相當(dāng)于莎翁『生存或毀滅』的數(shù)學(xué)等價物?！?/p>

為什么黎曼猜想如此有趣卻那么難以證明？Michael Atiyah 表示主要有以下三個方面，首先素?cái)?shù)表現(xiàn)出局部不規(guī)則性，卻又漸進(jìn)地表現(xiàn)出一些規(guī)律；其次要想知道 N 以內(nèi)的素?cái)?shù)數(shù)量，這是非常困難的；最后這些困難與疑惑，很多都能通過黎曼猜想得到解釋，因此即使它還沒有被證明，實(shí)際上已經(jīng)有很多推理都建立在它之上了。

此前有很多人猜測，Michael Atiyah 會使用量子力學(xué)來證明黎曼猜想，但 Atiyah 在演講中表示證明黎曼猜想的是 Todd 函數(shù)：

Atiyah 介紹了 TODD 函數(shù)與黎曼猜想之間的關(guān)系，以前我們無法證明黎曼猜想，但有了新工具后就有可能解決這個問題。TODD 函數(shù)最重要的屬性是能發(fā)展一種對精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α 的解釋。

然后，重點(diǎn)來了，30 分鐘介紹了黎曼猜想歷史，終于到了證明的時刻。阿蒂亞爵士表示，所有的證明都在以下一頁 PPT 上。

那么證明黎曼猜想后我們又能干什么呢？Michael Atiyah 表示 RH 能推廣到多種情況，并且一步步得到證明。同時我們需要對素?cái)?shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算的結(jié)果，它的證明對年輕的數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、邏輯學(xué)和物理學(xué)研究者非常重要，但期待 RH 的無限擴(kuò)展卻又是不可判定的。

最后，阿蒂亞爵士總結(jié)了未來預(yù)期可以做的任務(wù)：使用已有的最強(qiáng)大的工具；驗(yàn)證所有著名的猜想（已證明的、未證明的）；確定那個可有效計(jì)算（在需要的時間尺度上）；確定決定我們有時間完成。

以上就是阿蒂亞爵士在 HLF18 上的所有演講內(nèi)容了，之后官方會有完整視頻放出。演講結(jié)束后，Twitter上大家進(jìn)行了激烈討論，對這一頁證明能否解開黎曼猜想抱有不同態(tài)度。

其實(shí)，在大會開幕之前，網(wǎng)上已經(jīng)傳播稱阿蒂亞爵士放出了預(yù)印版論文，機(jī)器之心只查到該論文出自數(shù)小時前 Reddit 上的一篇討論，未能確認(rèn)其出處與權(quán)威性，但 Reddit 討論中有用戶表示這篇預(yù)印文章的來源似乎是一個 email list，但是最原始的發(fā)件人并不是 Atiyah，而是一個人自己說收到了 Atiyah 的 email。

直播結(jié)束后，仍未有消息確定此論文的準(zhǔn)確來源。

機(jī)器之心將其預(yù)印論文附在下面，讀者可自行研究。這篇預(yù)印本論文非常短，機(jī)器之心僅簡要介紹了前言部分，其它更多的內(nèi)容與證明需要查看原文檔。

在 2018 年里約熱內(nèi)盧的 ICM Abel 講座 [1] 中，我解釋了如何解決從物理中出現(xiàn)的長期數(shù)學(xué)問題。這些問題的關(guān)鍵在于理解精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù) α。

整個講座的細(xì)節(jié)記載于 [2]，且已提交到了皇家學(xué)會的議程 A。[2] 中發(fā)展的求解技術(shù)是馮諾伊曼和 Hirzebruch 關(guān)鍵思想的新穎融合，這種基于指數(shù)的無限迭代是非常復(fù)雜與強(qiáng)大的技術(shù)，且同時具有內(nèi)在的簡潔性。

本來弄懂 α 之謎是動力，但是這些方法的強(qiáng)大與一般性表明它們還應(yīng)該能解決其它問題，或至少為那些難以解決的問題提供新的認(rèn)識。在擴(kuò)展 ICM 議程我所做的 Abel 講座中，我推測 [2] 中的技術(shù)能引領(lǐng) Arithmetic Physics 的新課題。

黎曼猜想（RH）斷言 ζ(s) 在臨界帶 0 < Re(s) < 1，離臨界線 Re(s) = 1/2 中無零點(diǎn)。它是數(shù)學(xué)中最著名的未解問題之一，也是 [1] 中設(shè)想的艱巨挑戰(zhàn)。我相信這種新工具將不會辜負(fù)這種挑戰(zhàn)，本論文將提供證明。

證明依靠一個新的函數(shù) T(s)，也就是 Todd 函數(shù)，由 Hirzebruch 以我的老師 J.A.Todd 名字命名。其定義和性質(zhì)都在參考文獻(xiàn) [2] 中。但在章節(jié) 2 中，我會進(jìn)行回顧與解釋。在章節(jié) 3 中，我將使用 T(s) 函數(shù)證明黎曼猜想。在章節(jié) 4 中，也就是 Deus ex Machina 一節(jié)中，我將嘗試解釋黎曼猜想的證明。最后，在章節(jié) 5 中，如同設(shè)想的一樣，我將把此論文放到 Arithmetic Physics。

以下是原文檔：

該預(yù)印版論文共 5 頁，讀者可點(diǎn)擊下載：pan.baidu.com/s/1mT4oy1VN…。

最后，如果真的有讀者大神研究這一證明，歡迎留言告訴我們結(jié)果（哈哈哈）。依稀記得兩日前，2018 年菲爾茲獎得主彼得 · 舒爾茨 (Peter Scholze) 聯(lián)合數(shù)學(xué)家雅各布 · 斯蒂克斯 (Jakob Stix) 宣布望月新一教授提供的 ABC 猜想的論文并不能證明 ABC 猜想……

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的一页PPT证明黎曼猜想？Michael Atiyah的正式演讲炸了锅的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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