題目描述

為了更好的備戰 NOIP2013，電腦組的幾個女孩子 LYQ,ZSC,ZHQ 認為，我們不光需要機房，我們還需要運動，于是就決定找校長申請一塊電腦組的課余運動場地，聽說她們都是電腦組的高手，校長沒有馬上答應他們，而是先給她們出了一道數學題，并且告訴她們：你們能獲得的運動場地的面積就是你們能找到的這個最大的數字。

校長先給他們一個N * N 矩陣。要求矩陣中最大加權矩形，即矩陣的每一個元素都有一權值，權值定義在整數集上。從中找一矩形，矩形大小無限制，是其中包含的所有元素的和最大 。矩陣的每個元素屬于 [-127,127][?127,127] ,例如

0 –2 –7 0 9 2 –6 2 -4 1 –4 1 -1 8 0 –2

在左下角：

9 2 -4 1 -1 8

和為 15。

幾個女孩子有點犯難了，于是就找到了電腦組精打細算的 HZH，TZY 小朋友幫忙計算，但是遺憾的是他們的答案都不一樣，涉及土地的事情我們可不能含糊，你能幫忙計算出校長所給的矩形中加權和最大的矩形嗎？

輸入輸出樣例

輸入：

4 0 -2 -7 09 2 -6 2 -4 1 -4 1 -1 8 0 -2

輸出：

15

---

引子：

在最大子段和中：

DP方程:p[i]=max(dp[i-1]+tmp,tmp),tmp表示這個數列的第i項。
核心代碼：

for(i=1;i<=n;++i){scanf("%d",&tmp);dp[i]=maxn(dp[i-1]+tmp,tmp);ans=maxn(ans,dp[i]);//動態規劃}

那么我們如何來處理這一題呢？

我們可以考慮將矩形壓縮成一維，比如處理一個2行的矩形時，將a [ i ][ j ]與a [ i - 1 ][ j ]相加，成為一個新的數組f [ n ]，再使用上述代碼進行動態規劃，找出局部最優解。

那如何來快速將矩形折疊呢？

我們可以選擇前綴和

簡單來說，就是在輸入的時候，再次加上a[ i - 1 ][ j ]，這樣可以用減法來快速表示壓縮的矩形。

具體代碼如下：

scanf("%d",&n);int i,j;for(i=1;i<=n;++i){for(j=1;j<=n;++j){scanf("%d",&a[i][j]);a[i][j]+=a[i-1][j];//根據前綴和定義處理}}

用樣例來表示，輸入的是：

0 -2 -7 09 2 -6 2-4 1 -4 1 -1 8 0 -2

在經過前綴和處理之后，輸出的是這個：

0 -2 -7 09 0 -13 25 1 -17 34 9 -17 1

可以模擬一下,a[ i ][ j ] - a[ i - k ][ j ]正好是以i為最下面一行，往上k行的壓縮結果，這就很方便地表示了壓縮后的矩形。

那又怎么循環找出各行為最下一行，不同行數的矩陣最大值呢？

用i表示以i為最下一行，k表示向上k行，代碼如下:

for(i=1;i<=n;++i){for(k=1;k<=i;++k){}}

k<=i，保證了i-k>=0。

那再次循環，運用第一個代碼的簡單變形，可以求出以i為最下一行，向上k行的矩形最大值，多次更新ans，愉快AC。
總代碼為：

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int ans,a[150][150],n; int maxn(int a,int b){return a>b?a:b;} //自定義求最大值 int main(){scanf("%d",&n);int i,j,k;for(i=1;i<=n;++i){for(j=1;j<=n;++j){scanf("%d",&a[i][j]);a[i][j]+=a[i-1][j];}}//前綴和處理for(i=1;i<=n;++i){for(k=1;k<=i;++k){int f[150]={0},dp[150]={0};//f[j]表示壓縮的矩形第j列的值for(j=1;j<=n;++j){ f[j]=a[i][j]-a[i-k][j];//求壓縮的矩形第j列的值dp[j]=maxn(dp[j-1]+f[j],f[j]);ans=maxn(ans,dp[j]);}}}cout<<ans<<endl;//愉快ACreturn 0; }

另外再提供一種更便于理解的較為暴力的算法：

const int N = 130; int n, s[N][N]; int ans; int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)scanf("%d", &s[i][j]);for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++)s[i][j] += s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1];for (int x1 = 1; x1 < n; x1++)for (int y1 = 1; y1 < n; y1++)for (int x2 = x1; x2 <= n; x2++)for (int y2 = y1; y2 <= n; y2++)ans = max(ans, s[x2][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2]);cout << ans;return 0; }

總結

以上是生活随笔為你收集整理的最大加权子矩阵问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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