1 問題： 什么是正態分布，為什么這么出名和重要？

1.1 名氣大

• 正態分布的大名，如雷貫耳
• 很多人一說到概率，除了想到丟骰子的古典概型，第二個會想到的就是正態分布了
• 下圖就是正態分布和標準正態分布曲線的圖

• 甚至大部分有區分度的考試（選拔篩選考試，而不是資格水平考試）
• 學生成績沒呈現正態分布，可以說是試卷出卷和教學有問題

1.2?正態分布從哪兒來？ 誰發明的？

名字：

• 正態分布（Normal distribution）
• 正常分布！一般的分布，完全可以這么翻譯
• 高斯分布（Gaussian distribution）
• 鐘形曲線? (bell curve)

• 正態分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一個極其常見的連續概率分布。因為正態分布的概率密度函數曲線呈鐘形，因此人們又經常稱之為鐘形曲線。
• 高斯、拉普拉斯、棣莫弗、勒讓德很多大神的作用一步步發展而來，高斯是發明了最小二乘方法
• 正態分布最初是從二項分布發展而來的，二項分布的pmf確實很像正態分布
• 后來推廣到其他概率分布，當樣本量極大時接近無限，所有的分布都可以認為趨向于正態分布？
• 哪些情況可以用正態分布？一般來說，據說是只要是針對同一類型的變量的試驗，次數足夠大的情況，都會趨向正態分布的

1.3 正態分布是概率論，還是統計？

• 我覺得更多的是統計學
• 因為都是從觀測的數據，去反推這些數據服從什么? 隨機變量--概率的規律--也就是? 概率密度曲線pdf，也就是概率的分布！

2 正態分布的基本概念內容介紹

2.1? 正態分布

• 正態分布，
• 正態分布概率函數?
• f(x)=[1/(√2π)δ]*e^[-(x-u)^2/2(δ^2)]?

• 正態分布的平均值? u，是理想的假設知道所有值之后的算術平均值？
• 正態分布的期望？ 就是均值吧

• 正態分布的標準差??δ=np(1-p)
• 正態分布的方差？ 就是標準差的平方吧?δ^2

2.2 標準正態分布

• 正態分布概率函數?f(x)=[1/(√2π)δ]*e^[-(x-u)^2/2(δ^2)]
• 當u=0,δ=1 時，就是標準正態分布
• 標準正態分布的概率公式更簡潔

2.3 正態分布曲線? 和 各種標準的意思

• 第1置信區間： [-δ,δ] 之間，68.3%
• 第2置信區間： [-2δ,2δ] 之間，95.4%
• 第3置信區間： [-3δ,3δ] 之間，99.7%

2.4 正態分布的特點

• 3個置信區間的
• 第1置信區間： [-δ,δ] 之間，68.3%
• 第2置信區間： [-2δ,2δ] 之間，95.4%
• 第3置信區間： [-3δ,3δ] 之間，99.7%
• 平均值就是期望
• 極端值很少，在 [-3δ,3δ] 之外的數很少
• 標準差小，則數據集中，鐘形曲線瘦高個，如果是標準差大，那么鐘形曲線就扁和矮。

2.5 正態分布的推論

• 正態分布變量的和，一般也是正態分布
• 正態分布相加，一般期望就等于2者期望之和，標準差等于2者標準差之和
• 也就是正態分布相加，正態分布會變扁（因為標準差是求和變大了！越大越扁）
• 正態分布還和柯西分布，k2分布有關系

3 哪些情況符合正態分布呢？

3.1 正態分布的適用范圍

• 正態分布，名字叫正常分布，適用面積非常的廣
• 常見的正態分布舉例，比如WHO統計的兒童身高體重不就是正態分布的3個區間的數字么
• 也就是一般就看 [-2δ,2δ] 之間，95.4% 就夠了

3.2 哪些情況適合正態分布呢？

正態分布最初是從二項分布發展而來的，二項分布的pmf確實很像正態分布，后來推廣到其他概率分布，當樣本量極大時接近無限都可以認為趨向于正態分布？

哪些情況可以用正態分布？一般來說，據說是只要是針對同一類型的變量的試驗，次數足夠大的情況，都會趨向正態分布的

• 正態分布，從離散的二項分布出發
• 但是正態分布本身是一種連續分布
• 正態分布是連續的，意味著單個點的概率p=0，只能關注區間概率
• 哪些情況可以用正態分布？
• 一般來說，據說是只要是針對同一類型的變量的試驗，次數足夠大的情況，都會趨向正態分布的，也就是正態分布具有普適性。。。

• 生活中到處都是正態分布，試驗次數很多的結果
• 人們認為正態分布完美地詮釋了講到的“同質”和“變異”這兩個概念。
• 正是因為我們研究的對象具有同質性，所以其特征往往是趨同的，也即存在一個基準（均數），但由于個體變異的存在，這些特征又不是完全一致，

幾個關鍵點

• 只要是針對同一類型的變量的試驗，這個說法，意味著一般是類伯努利試驗，每次試驗之間是獨立的，互不影響
• 也就是說這些隨機元素，影響因素之間要獨立
• 而且一般說，影響的因素要比較多
• 這些隨機元素對結果的影響，一般是使用加法原理，用加和的方法求得。也就是這些因素對完成隨機試驗的結果，是并行的關系。
• 舉例子，用身高舉例，遺傳因素，環境因素，飲食因素，鍛煉因素都是獨立的（或者相關程度很低，不是強相關），他們對身高的影響都是可以用加法原理加和的。這樣的就符合正態分布

3.3 哪些不適合正態分布呢？

• 隨機元素之間，不是獨立的，而是有互相影響則可能不正態分布
• 如果一些因素作用還可能有前后步驟，乘法原理的關系，就可能不是正態分布
• 如果影響的因素畢竟少，不多，原因太單一可能不是正態分布

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正態分布變成標準正態分布

我能不能理解標準化就是把圖形σ倍縮小然后移動μ個位置啊

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4? 為什么呢？

4.1 極大似然估計

4.2 中心極限定理

4.3 最小二乘法

樣本足夠大則近似認為服從正態分布

樣本量一般至少要超過30才可以認為可以近似正態分布

5 具體例題舉例，還需要查表

查表

6 另外幾個分布

• k2分布
• f分布
• t分布等等

7? 一些有趣的研究

• 牛人們根據這個研究出，不同XX的人組合，就是正態分布的疊加，因此標準差會變大。。。。
• 第一次看到這種角度，理解他們的想法了，腦洞好大啊

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率论的学习和整理12： 正态分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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