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编程问答

计算方法（一）：误差

發(fā)布時(shí)間：2023/12/14 编程问答 31 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了计算方法（一）：误差小編覺(jué)得挺不錯(cuò)的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個(gè)參考.

四種誤差的定義

1. 模型誤差：

由數(shù)學(xué)模型（比如公式）產(chǎn)生的誤差。

例1： 自由落體運(yùn)動(dòng)
$s=12gt2,g≈9.8m/s2s=\frac{1}{2}gt^2,g\approx 9.8m/s^2$
產(chǎn)生的計(jì)算數(shù)據(jù) $s (t)$ ，同物體真實(shí)下落的距離 $s^*(t)$ 產(chǎn)生的模型誤差> $s^*(t)-s(t)$ 。

2. 觀測(cè)誤差：

由觀測(cè)得到的觀測(cè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生的誤差。

例2： 給出一個(gè)參數(shù) $α=(0.0021±0.001)\alpha = (0.0021 \pm 0.001)$ 中，0.001就是觀測(cè)誤差。

3. 截?cái)嗾`差：

模型的準(zhǔn)確解與應(yīng)用數(shù)值方法求得的解的差。

例3： 用Taylor公式計(jì)算指數(shù)
$ex=1+x+x22!+…+xnn!+…e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\ldots + \frac{x^n}{n!}+\ldots$
如果只取前n+1項(xiàng)，得到的階段誤差就是：
$∑k=0∞xkk!?∑k=0nxkk!=∑k=n+1∞xkk!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}-\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$

4. 舍入誤差

對(duì)于無(wú)限小數(shù)，計(jì)算時(shí)只能取有限項(xiàng)位小數(shù)引起的誤差。

例4： 用3.1415近似代替圓周率 $π\(zhòng)pi$ ，得到的就是舍入誤差：
$p=3.1415?3.141592…=?0.000092…p=3.1415-3.141592\ldots\\ =-0.000092\ldots$

浮點(diǎn)數(shù)

1. 浮點(diǎn)數(shù)的表示方法

定義任何一個(gè)有限位浮點(diǎn)數(shù)均可以表示成
$x=±ωβJ=±0.α1α2…αt×βJ,L≤J≤Ux=\pm \omega \beta^J=\pm 0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t\times\beta^J, L\leq J\leq U$
其中， $β\beta$ 稱(chēng)為基，代表進(jìn)制系統(tǒng)， $J$ 代表階，是一個(gè)整數(shù)， $ω=0.α1α2…αt\omega=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t$ 表示尾數(shù)，其中 $0≤αi≤β,i=1,2,…t0\leq \alpha_i \leq \beta, i=1,2,\ldots t$ 。

規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)： $x=0.α1α2…αt×βJx=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t\times\beta^J$ ，其中尾數(shù)第一項(xiàng) $α1≠0\alpha_1 \neq 0$ 。

例5：

十進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)： $\times 10^1$ ；
二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)： $\times 2^4$ ；
十六進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)： $\times 16^4$

2. 計(jì)算機(jī)位數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)

一個(gè)n位的計(jì)算機(jī)內(nèi)浮點(diǎn)數(shù)的表示一定是有限的，而且受限于位數(shù)。所以對(duì)于一個(gè)出廠的計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，它內(nèi)部表示的浮點(diǎn)數(shù)的尾數(shù)尾數(shù) $t$ 是固定的。

我們用
$F={x:x=0.α1α2…αt×βJ,L≤J≤U}\mathcal{F}=\{x:x=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_t\times\beta^J,L\leq J\leq U\}$
表示 $β\beta$ 進(jìn)位制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的全體浮點(diǎn)數(shù)， $L$ 表示 上溢限， $U$ 表示下溢限。當(dāng)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)超過(guò) $0.99…9×10U0.99\ldots9 \times 10^U$ 或者小于 $?0.99…×10L-0.99\ldots\times 10^L$ 時(shí)，計(jì)算機(jī)無(wú)法表示這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)（十進(jìn)制意義）。

誤差、誤差限、有效數(shù)字

1. 誤差的準(zhǔn)確定義

1.1 定義用 $x^$ 表示 $x$ 的準(zhǔn)確值的一個(gè)近似值，將近似值與準(zhǔn)確值之差稱(chēng)之為近似值 $x^$ 的絕對(duì)誤差

$e^*=x^*-x$

1.2 誤差的性質(zhì)

近似值減去它的誤差就是準(zhǔn)確值：

x=x^*-e^*

;

誤差可正可負(fù)；

誤差為正：強(qiáng)近似；誤差為負(fù)：弱近似。

2. 誤差限

2.1 定義由于準(zhǔn)確值 $x$ 可能無(wú)法得出，所以我們成誤差的絕對(duì)值的上界為誤差限:

$∣e?∣=∣x??x∣≤??→誤差限|e^*|=|x^*-x| \leq \epsilon^* \rightarrow 誤差限$

誤差限可以有很多，但是一定是非負(fù)數(shù)；近似值 $x^*$ 的精確度表示：
$x=x?±??x=x^* \pm \epsilon^*$

例6： 用毫米（ $m m$ ）刻度米尺測(cè)量長(zhǎng)度，讀出 $x^*=1235mm$ 。而米尺的誤差不拆過(guò) $0.55 m m$ 。這個(gè)時(shí)候可以取誤差限為 $??=0.55mm\epsilon^*=0.55mm$ ，從而準(zhǔn)確值：
$(x=1235±0.5)mm(x=1235\pm 0.5)mm$

2.2 四舍五入方法

把一個(gè)數(shù) $x$ 按四舍五入方法取得近似數(shù)的準(zhǔn)則是：按照舍入到第幾位小數(shù)，查看其下一位數(shù)，小于五則直接舍入；若大于五，舍去此位，然后前一位進(jìn)一。

3. 有效數(shù)字

3.1 定義：如果近似值 $x^$ 的誤差限是 $x^$ 的某一位的半個(gè)單位，則該位到 $x^$ 的第一位非零數(shù)字一共有 $n$ 位，就稱(chēng)近似值 $x^$ 有n位有效數(shù)字。

如果用四舍五入方法取準(zhǔn)確值的前n位作為近似值，那么這個(gè)近似值就有n位有效數(shù)字。

3.2 誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系

設(shè)規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù) $x?=0.α1α2…αn…×10Px^*=0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots\times10^P$ ，如果誤差限 $??=12×10P?n\epsilon^* = \frac{1}{2}\times 10^{P-n}$ ，也就是
$∣x??x∣≤12×10P?n|x^*-x| \leq \frac{1}{2}\times 10^{P-n}$
則稱(chēng) $x^*$ 具有n位有效數(shù)字。

例7：

首先將近似值

x^*

表示成規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)

a1a2.a3a4=0.a1a2a3a4×1020.00a1a2a3=0.a1a2a3×10?2a_1a_2.a_3a_4=0.a_1a_2a_3a_4\times 10^2\\ 0.00a_1a_2a_3=0.a_1a_2a_3\times 10^{-2}

利用

??=12×10P?n\epsilon^* = \frac{1}{2}\times 10^{P-n}

?1?=12×102?4?1?=12×10?2?3\epsilon_{1}^* = \frac{1}{2}\times 10^{2-4}\\ \epsilon_{1}^* = \frac{1}{2}\times 10^{-2-3}

相對(duì)誤差

1. 相對(duì)誤差的定義

定義近似數(shù)的誤差和準(zhǔn)確值的比值，稱(chēng)為近似數(shù)的相對(duì)誤差。
$er?=e?x=x??xxe^*_r=\frac{e^*}{x}=\frac{x^*-x}{x}$
如果 $e^*_r$ 較小，可以用 $x^*$ 代替 $x$ ，然后用
$er?=e?x?=x??xx?e^*_r=\frac{e^*}{x^*}=\frac{x^*-x}{x^*}$
表示相對(duì)誤差

2. 相對(duì)誤差限的定義

定義相對(duì)誤差絕對(duì)值的上界，稱(chēng)為近似值的相對(duì)誤差限
$?r?=??∣x∣\epsilon^*_r=\frac{\epsilon^*}{|x|}$
或者
$?r?=??∣x?∣\epsilon^*_r=\frac{\epsilon^*}{|x^*|}$

例8：

參數(shù)

α=(2.35±0.001)mm\alpha=(2.35\pm 0.001)mm

的相對(duì)誤差限為

?r?=0.0012.35≈0.0043\epsilon_r^*=\frac{0.001}{2.35} \approx 0.0043

π\(zhòng)pi

的近似值

x^*=3.14159

的相對(duì)誤差

?r?=0.000083.14159≈0.000025\epsilon_r^*=\frac{0.00008}{3.14159} \approx 0.000025

3. 相對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系

（1）設(shè)近似數(shù)（采用規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)） $x?=±0.α1α2…αn…×10px^*=\pm 0.\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_n\ldots\times 10^p$ ，那么它的相對(duì)誤差限可以選為
$?r?=12α1×10?(n?1)\epsilon_r^*=\frac{1}{2\alpha_1}\times 10^{-(n-1)}$

（2）若近似數(shù) $x^*$ 的相對(duì)誤差限滿(mǎn)足
$?r?≤12(α1+1)×10?(n?1)\epsilon_r^*\leq \frac{1}{2(\alpha_1+1)}\times 10^{-(n-1)}$
那么近似數(shù) $x^*$ 至少有n位有效數(shù)字。

誤差的傳播

1. 基本四則運(yùn)算結(jié)果的誤差限

設(shè)有兩個(gè)近似數(shù) $x^*,y^*$ 和精確數(shù) $x, y$ 。 $x^*,y^*$ 的誤差限為
$??(x?),??(y?)\epsilon^*(x^*),\epsilon^*(y^*)$
那么

加減法：

x?±y?x^*\pm y^*

的誤差限

??(x?±y?)=??(x?)+??(y?)\epsilon^*(x^*\pm y^*)=\epsilon^*(x^*)+\epsilon^*(y^*)

乘法：

x^* y^*

的誤差限

??(x?y?)=∣y?∣??(x?)+∣x?∣??(y?)\epsilon^*(x^* y^*)=|y^*|\epsilon^*(x^*)+|x^*|\epsilon^*(y^*)

除法：

x?y?\frac{x^*}{y^*}

的誤差限

??(x?y?)=∣y?∣??(x?)+∣x?∣??(y?)∣y?∣2\epsilon^*(\frac{x^*}{y^*})=\frac{|y^*|\epsilon^*(x^*)+|x^*|\epsilon^*(y^*)}{|y^*|^2}

這些誤差限都可以用定義結(jié)合三角不等式得出。

例9： 已知 $a=1.21×3.65+9.81a=1.21\times 3.65+9.81$ ，每個(gè)數(shù)的絕對(duì)誤差限都為0.005，求 $a$ 的誤差限
$??(a)=??(a=1.21×3.65+9.81)=??(1.21×3.65)+??(9.81)=1.21×??(3.65)+3.65×??(1.21)+??(9.81)=(1.21+3.65+1)×0.005≈0.0293≤0.3\epsilon^*(a)=\epsilon^*(a=1.21\times 3.65+9.81)\\ =\epsilon^*(1.21\times 3.65)+\epsilon^*(9.81)\\ =1.21\times\epsilon^*(3.65)+3.65\times\epsilon^*(1.21)+\epsilon^*(9.81)\\ =(1.21+3.65+1)\times 0.005\approx 0.0293\leq 0.3$
所以可取 $??(a)=0.3\epsilon^*(a)=0.3$

2. 基本四則運(yùn)算結(jié)果的相對(duì)誤差限

設(shè)有兩個(gè)近似數(shù) $x^*,y^*$ 和精確數(shù) $x, y$ 。 $x^*,y^*$ 的相對(duì)誤差限為
$?r?(x?),?r?(y?)\epsilon^*_r(x^*),\epsilon^*_r(y^*)$
那么

加法：

x^*+ y^*

的相對(duì)誤差限

?r?(x?+y?)=max?{?r?(x?),?r?(y?)}\epsilon^*_r(x^*+ y^*)=\max\{\epsilon^*_r(x^*),\epsilon^*_r (y^*)\}

減法：

x^* -y^*

的相對(duì)誤差限

?r?(x??y?)=??(x?)+??(y?)∣x??y?∣\epsilon^*_r(x^*- y^*)=\frac{\epsilon^*(x^*)+\epsilon^*(y^*)}{|x^*-y^*|}

乘、除法：

x^* y^*

x?y?\frac{x^*}{y^*}

的相對(duì)誤差限

?r?(x?y?)=?r?(x?y?)=?r?(x?)+?r?(y?)\epsilon^*_r(x^* y^*)=\epsilon^*_r(\frac{x^*}{y^*})=\epsilon^*_r(x^*)+\epsilon^*_r(y^*)

例10： 求例9的數(shù)的相對(duì)誤差限
$?r?(a)=?r?(1.21×3.65+9.81)=max?{?r?(1.21×3.65),?r?(9.81)}=max?{0.0051.21+0.0053.65,0.0059.81}=0.0055\epsilon^*_r(a)=\epsilon^*_r(1.21\times 3.65+9.81)\\ =\max\{\epsilon^*_r(1.21\times 3.65),\epsilon^*_r(9.81)\}\\ =\max\{\frac{0.005}{1.21}+\frac{0.005}{3.65},\frac{0.005}{9.81}\}\\ =0.0055$
所以可取 $?r?(a)=0.0055\epsilon^*_r(a)=0.0055$

3. 函數(shù)運(yùn)算后的誤差限

設(shè)準(zhǔn)確值 $x$ 有近似值 $x_0$ ，用 $f(x_0)$ 去近似 $f (x)$ 時(shí)，誤差可用Taylor展開(kāi)式得到
$e^*(f(x)-f(x_0))=e^*(f'(x_0)(x-x_0))$
誤差限
$??(f(x0))=∣f′(x0)∣??(x0)\epsilon^*(f(x_0))=|f'(x_0)|\epsilon^*(x_0)$

再來(lái)看一個(gè)特殊的例子

例11： 請(qǐng)問(wèn)0.25用來(lái)表示 $14\frac{1}{4}$ 有幾位有效數(shù)字？
$0.25=0.25000…0.25=0.25000\ldots$
所以有無(wú)限位有效數(shù)字

例12： 已知 $x$ 的相對(duì)誤差限為 $α%\alpha\%$ ，求 $x^n$ 的相對(duì)誤差限。
$?r?(xn)=??(xn)∣xn∣=n∣xn?1∣??(x)∣xn∣=n??(x)∣x∣=n?r?(x)=nα%\epsilon^*_r(x^n)=\frac{\epsilon^*(x^n)}{|x^n|}=\frac{n|x^{n-1}|\epsilon^*(x)}{|x^n|}=\frac{n\epsilon^*(x)}{|x|}=n\epsilon^*_r(x)=n\alpha\%$

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的计算方法（一）：误差的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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编程问答

计算方法（一）：误差

四種誤差的定義

1. 模型誤差：

2. 觀測(cè)誤差：

3. 截?cái)嗾`差：

4. 舍入誤差

浮點(diǎn)數(shù)

1. 浮點(diǎn)數(shù)的表示方法

2. 計(jì)算機(jī)位數(shù)與浮點(diǎn)數(shù)

誤差、誤差限、有效數(shù)字

1. 誤差的準(zhǔn)確定義

1.1 定義 用x?x^*x?表示xxx的準(zhǔn)確值的一個(gè)近似值，將近似值與準(zhǔn)確值之差稱(chēng)之為近似值x?x^*x?的絕對(duì)誤差

1.2 誤差的性質(zhì)

2. 誤差限

2.1 定義 由于準(zhǔn)確值xxx可能無(wú)法得出，所以我們成誤差的絕對(duì)值的上界為誤差限:

2.2 四舍五入方法

3. 有效數(shù)字

3.1 定義 ：如果近似值x?x^*x?的誤差限是x?x^*x?的某一位的半個(gè)單位，則該位到x?x^*x?的第一位非零數(shù)字一共有nnn位，就稱(chēng)近似值x?x^*x?有n位有效數(shù)字。

3.2 誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系

相對(duì)誤差

1. 相對(duì)誤差的定義

2. 相對(duì)誤差限的定義

3. 相對(duì)誤差與有效數(shù)字的關(guān)系

誤差的傳播

1. 基本四則運(yùn)算結(jié)果的誤差限

2. 基本四則運(yùn)算結(jié)果的相對(duì)誤差限

3. 函數(shù)運(yùn)算后的誤差限

總結(jié)

誤差、誤差限、有效數(shù)字

1.1 定義用 $x^$ 表示 $x$ 的準(zhǔn)確值的一個(gè)近似值，將近似值與準(zhǔn)確值之差稱(chēng)之為近似值 $x^$ 的絕對(duì)誤差

2.1 定義由于準(zhǔn)確值 $x$ 可能無(wú)法得出，所以我們成誤差的絕對(duì)值的上界為誤差限:

3.1 定義：如果近似值 $x^$ 的誤差限是 $x^$ 的某一位的半個(gè)單位，則該位到 $x^$ 的第一位非零數(shù)字一共有 $n$ 位，就稱(chēng)近似值 $x^$ 有n位有效數(shù)字。