第1 章 數(shù)值計(jì)算引論

1．1 內(nèi)容提要

一、誤差的來源

數(shù)值計(jì)算主要研究以下兩類誤差。

1．截?cái)嗾`差

數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與用數(shù)值方法求得的解的差稱為截?cái)嗾`差，又稱為方法誤差。這種誤

差常常是由用有限過程代替無窮過程時(shí)產(chǎn)生的誤差。例如，要計(jì)算級(jí)數(shù)

1 1 1 ? 1

1 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ! 3! n ! k 1 k !

的值，當(dāng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)，用前n 項(xiàng)(有限項(xiàng))的和

1 1 1 n 1

1 ? ? ? ? ? ? ? ?

2 ! 3! n ! k 1 k !

來代替無窮項(xiàng)之和，即舍棄了n 項(xiàng)后邊的無窮多項(xiàng)，因而產(chǎn)生了截?cái)嗾`差

? 1

?

k n ?1 k !

2．舍入誤差

由于計(jì)算機(jī)字長(zhǎng)為有限位，原始數(shù)據(jù)和四則運(yùn)算過程中進(jìn)行舍入所產(chǎn)生的誤差稱為舍

入誤差。例如，用3.141 59 表示圓周率 時(shí)產(chǎn)生的誤差0.000 002 6?,用0.333 33 表示

?

1 3 的運(yùn)算結(jié)果時(shí)所產(chǎn)生的誤差1 3-0.333 33 = 0.000 003 3?都是舍入誤差。

? ?

二．近似數(shù)的誤差表示

1．絕對(duì)誤差

*

設(shè)x 是準(zhǔn)值x 的一個(gè)近似值，稱

* *

e (x ) x ? x

*

為近似值x 的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。

* *

?

令| e(x ) | 的一個(gè)上界為 ，即

* * *

| e(x ) | | x ? x |? ?

* *

? x

把 稱為近似數(shù) 的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱誤差限。

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2．相對(duì)誤差

*

設(shè) 是精確值 的一個(gè)近似值，稱

x x

* *

e (x ) x ? x

x x

*

為近似值x 的相對(duì)誤差。在實(shí)際應(yīng)用中常取

*

* x

總結(jié)

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