在結構可靠性分析中，代理模型法是很重要的一種方法，包括響應面法、Kriging等，我這兩年一直在學這方面的知識，尤其是剛開始的時候，在網上很難找到資料，看論文是最好的方法。這里是我對響應面法的一些理解，及其主要內容。

背景

傳統工程設計以安全因子來保證結構的穩定，例如，通常以結構的強度和應力的比值作為安全因子值。但是現實生活中強度和應力這些參數并不是一個常數，是隨機的，這就導致傳統的安全因子法給出的結果不太可信。
而概率分析方法就是用隨機變量對應力、強度等參數進行建模（正態分布，威布爾分布等），然后計算其失效概率。
那么怎么定義失效呢。比如說：對于一個桁架結構，在外力的影響下，我們怎么判定他在什么情況下是失效的呢？這是工程師的前期工作，比如假設某一關鍵節點的位移大于某一值，我們就判定該結構是失效的。這并不是響應面法的重點，便不做介紹了。
假設我們已知失效的標準了，那么我們假設，隨機擾動因素為向量X，記結構響應為Y，則Y與X之間可用一隱式函數關聯，即
$$Y=G(X)$$

我們假設Y<0為失效，Y>0為正常，那么Y=0就是一個臨界狀態，也稱極限狀態。而概率分析的主要目的是，找到結構的失效概率，即
$$P(Y<0)=P(G(X))<0$$

這么看來，$G(X)=0$就是一個分界，而且相當重要了。所謂代理模型法就是找到這個分界，并用簡單的顯式函數進行替代。
那么為什么不直接對結構進行操作，而要用代理模型呢，因為當結構膠復雜時，我們很難得到結構的響應Y與隨機擾動X的顯式表達式，那么我們就要用到ANSYS等有限元軟件計算，而這些軟件的計算是很耗時的，而且我們用Monte Carlo仿真時一般要用10⁵~10⁷次左右，這極大地增加了我們的計算負擔。因此，我們要用代理模型表達結構的響應，即用代理模型的結果來替代ANSYS計算的結果。而且我們只關心響應值$G(X)$是否小于0，對其真實響應值是1還是1000并不關心，因此G(X)=0的臨界就十分關鍵。所以代理模型的關鍵就是對隱式函數$G(X)=0$的顯式精確表達。這一點在Kriging算法中體現的尤為明顯。
一般代理模型的主要步驟是，選取試驗點，用ANSYS計算試驗點的響應值，用函數進行擬合，判斷是否擬合結果準確，不準確繼續選點，擬合，直到達到某一設定的精度為止。

代理模型的基本思想

代理模型就是用簡單的函數來近似替代復雜耗時的計算（有限元計算等）。而結構可靠性分析中，將結構分為兩種狀態：安全和失效。因此只需要區分結構響應G(X)的狀態即可，并不需要對其真實的響應值精度有過多要求。因此代理模型只要準確地區分出其狀態即可，這就是為什么代理模型只關注于臨界狀態部分。把極限狀態曲面擬合好了，就可以區分出其狀態了。
而代理模型的評價指標有兩個，精度和效率，由于顯式函數的計算是很快的，而結構響應的計算時間是很久的，所以效率的體現就是用結構響應計算的調用次數來表征。因此要用盡量少的試驗點獲得盡量精確的擬合。

響應面法的幾個主要組成部分

響應面法主要包括：

試驗點的選取

函數形式的選取

迭代控制方式

收斂準則

下面將詳細介紹上述幾個方面。

試驗點的選取

為了更好地擬合$G(X)=0$這一曲面，我們必然要選取合適的試驗點，然后進行擬合。這就涉及到試驗設計方面，常見的幾種實驗設計包括，拉丁超立方，均勻設計，正交設計，星形設計法等。經典響應面采用的是Bucher提出的星形設計法。其基本思想就是，圍繞抽樣中心，沿各隨機變量所在坐標軸正負方向偏離中心點一定距離選取試驗點。如下圖所示

該試驗設計是在標準正態空間中，即所有變量都是標準正態變量，因此在進行實驗設計時要將所有變量進行當量正態化，當量正態化方法有很多，我常用的是JC法。圖中的$f$表示偏移距離，一般取值為1~3，黑圈表示抽樣中心點，白圈表示抽取的試驗點，每次抽取的試驗點都包括抽樣中心點。

函數形式的選取

常用響應面法的函數形式是Bucher和Bourgund提出的不含交叉項的二次多項式。由此可知，函數中有2n+1個待定系數，而Bucher提出的星形設計法每次選取也是2n+1個試驗點，因此完美契合（畢竟都是自己的方法嘛，當然要契合了）。
為什么說完美契合呢，因為剛開始，響應面法的每次迭代時，用來確定擬合函數的系數用的都是本次迭代選取的試驗點，前面的試驗點是不用的。所以正好可以解出2n+1個系數。由于之前的試驗點不用，所以會損失很多信息，之后的學者便將前面選取的試驗點也加入到了本次迭代的擬合中。
這有好有壞，好處在于，可以更快的收斂；壞處在于，由于前面選取的試驗點距離極限狀態G(X)=0較遠，但是在擬合時用的是最小二乘擬合，這就導致擬合效果（精度）較差。
既然有壞處，那么怎么修改呢？
于是研究學者發明了權重的方法來改善這種缺陷。Kaymaz和Mcmahon于2005年率先提出了加權響應面法的概念，他們采用指數加權法結合符號判斷方法構建響應面模型，分別對高度非線性和單點畸變算例進行驗證，結果表明該法相較于傳統的最小二乘法構建的常規響應面在精度上有所提高¹。Nguyen和Sellier等在2009年提出了“雙加權響應面法”²。

權重的基本思想

由上面可知，不同試驗點在擬合極限狀態曲面的時候發揮的作用是不同的，而最小二乘擬合的過程中，將所有試驗點當做同等對待。給每個試驗點加權重就是為了使得更加重要的點發揮的作用越大。加權方式一般有兩種，是基于兩種思想進行設計的。
第一種比較好理解，基于試驗點的響應值G(X)到極限狀態曲面的距離。越接近于極限狀態曲面，則越重要。原因是，代理模型的基本思想就是對極限狀態曲面的擬合，那么越接近于極限狀態，該試驗點與極限狀態曲面的相關性越大。這和隨機過程里的相關性類似，兩個點越接近其相關性越高。
于是便形成了幾種權重函數，因為筆者對markdown插入公式不太熟悉，這里就不一一列舉了，需要的請自行查找文獻。
第二種加權方式就比較難理解一點，當然只是相對于前一種，其實也是很簡單的。我們知道響應面法一般是在標準正態空間這么一個概率空間中進行操作的，那么即使同樣是在極限狀態曲面附近，不同區域的概率密度也是不同的。對于概率密度較低的區域，即使對極限狀態曲面的擬合精度較低，對于最后失效概率的計算的影響也是很小的。反之，概率密度較高的區域，其擬合效果對最終的概率計算影響是很大。故而為了進一步提高算法的效率，研究人員就發明了第二種加權方式。
在提到第二種加權方式時，就不得不提到最大失效點（Most Probable Point，MPP，其實還有其他叫法，真實失效點、可靠性設計點等）這一概念。顧名思義，就是最有可能失效的點，也就是說，在所有失效點中，它最有可能發生（概率密度最大的點），詳細解釋可以參考杜小平老師編寫的這章內容³。

總之就是，MPP附近的區域是最重要的，最有可能失效的，概率密度最大的。那么，研究人員就將試驗點到MPP的歐拉距離作為一個參考，距離越小越重要，距離越大重要性就低。因此也就有了第二種權重方式。
如果想獲取具體權重函數，可以參考Goswami和Ghosh寫的這篇論文⁴。

總之一句話，給試驗點賦權就是用不同的圈體現試驗點在響應面擬合中的不同作用效果，我們也可以根據自己的經驗來自己定義權重函數。
當然，權重函數也有缺陷，有可能陷入病態，當然也有人在這方面做了一些工作，感興趣的可以閱讀這篇論文⁵。

雙加權的方式還有一點需要討論，兩個權重之間的關系，Nguyen和Sellier等²用的是兩者相乘，其實也可以相加，而且相加的話還可以確定兩個權重的作用大小。

迭代控制方式

之前介紹，迭代過程是，選點，擬合，判斷收斂，繼續選點，擬合……。這里就有一個問題，后續迭代選點應該怎么選。上面介紹了根據抽樣中心點來選點，抽樣中心點的確定就是關鍵。下面就是傳統響應面法的迭代方式：

其中，X_M為抽樣中心點，X_D是上一次迭代的設計驗算點（MPP），$\mu$表示變量的均值點。$g(\mu )$表示該點的響應值。

收斂準則

Bucher和Bourgund認為迭代兩次即可得到滿意的可靠度指標近似值，但Rajashekhar和Ellinwood對一些算例使用兩次迭代方法求解發現其對某些問題表現不佳，因此Rajashekhar和Ellinwood提出了設置收斂條件進行多次迭代的改進算法。收斂條件主要有三種：可靠性指標，設計點步長，設計點處的導數。原則是每次的變化小于一個設定值時，就判定為收斂。

響應面方法的缺陷及可能改進的地方

缺陷

模型選用的是不含交叉項的二次多項式，對于一些復雜問題的擬合較差，這一點Kriging方法就做的很好；

對比于Kriging方法給出某個點的期望和方差，響應面法給出的是一個定值；

對于高維變量，效率低下，當然這也是所有代理模型的缺點。

改進

2018年發表了一篇關于響應面法的論文⁶，令我受益良多，以下主要根據這篇文章來介紹可以改進的方面。

傳統響應面的基本流程圖為：

Created with Rapha?l 2.2.0開始選取試驗點構建響應面判斷是否收斂?結束yesno

而Hugo的這篇文章提出了一個更為全面的框架：

Created with Rapha?l 2.2.0開始對變量進行篩選以降維（dimensionality reduction bya variable screening procedure）定義一個有前途的搜索域（definition of a promising search domain）基于優化空間填充方案的初步試驗設計（initial experimental design based on an optimized space-filling scheme）根據逐步回歸程序進行模型選擇（model selection according toa stepwise regression procedure）采用交叉驗證方法進行模型驗證（model validation by a cross-validation approach）采用雙權重回歸技術進行模型擬合（model fitting using a double weighted regression technique）基于自舉技術的可靠性評估的置信區間（confidence interval of reliability estimatesbased on a bootstrapping technique）判斷是否收斂?結束序貫抽樣法抽樣yesno

其創新點在于：

在使用變量之前加上了變量篩選這一條，這在實際工程中是必須的；

對試驗設計的區域進行了探索和定義，傳統的響應面是在整個空間中進行試驗設計，而這片論文卻根據結構的靈敏度將實驗空間進行了分割，減少了低效率的探索，將試驗設計集中到了更有可能發生的地方；

對模型進行選擇和驗證，傳統響應面使用的是固定的模型，具有較強的普適性，但是對于某一特定情況下，效果不一定好，是要對模型進行了選擇和驗證，增強了模型的靈活性，具體情況具體分析。

在后續迭代的抽樣方案上也選擇了序貫抽樣法，這點的原因我還不太明白。

---

I. Kaymaz, C. A. McMahon. A response surface method based on weighted regression for structural reliability analysis[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2005, 20(1):11-17 ??

S. N. Xuan, A. Sellier, F. Duprat, et al. Adaptive response surface method based on a double weighted regression technique[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2009, 24(2):135-143 ?? ??

http://web.mst.edu/~dux/repository/me360/ch7.pdf ??

S. Goswami, S. Ghosh, S. Chakraborty. Reliability analysis of structures by iterative improved response surface method[J]. Structural Safety, 2016, 60: 56-66 ??

S. C. Kang, H. M. Koh, J. F. Choo. An efficient response surface method using moving least squares approximation for structural reliability analysis[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2010, 25(4):365-371 ??

Hugo Guimar?es, José C. Matos, António A. Henriques. An innovative adaptive sparse response surface method for structural reliability analysis[J]. Structural Safety, 2018, 73: 12-28 ??

總結

以上是生活随笔為你收集整理的结构可靠性分析中响应面方法的基本思想的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。