在結(jié)構(gòu)可靠性分析中，代理模型法是很重要的一種方法，包括響應(yīng)面法、Kriging等，我這兩年一直在學(xué)這方面的知識(shí)，尤其是剛開始的時(shí)候，在網(wǎng)上很難找到資料，看論文是最好的方法。這里是我對(duì)響應(yīng)面法的一些理解，及其主要內(nèi)容。

背景

傳統(tǒng)工程設(shè)計(jì)以安全因子來保證結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定，例如，通常以結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和應(yīng)力的比值作為安全因子值。但是現(xiàn)實(shí)生活中強(qiáng)度和應(yīng)力這些參數(shù)并不是一個(gè)常數(shù)，是隨機(jī)的，這就導(dǎo)致傳統(tǒng)的安全因子法給出的結(jié)果不太可信。
而概率分析方法就是用隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)力、強(qiáng)度等參數(shù)進(jìn)行建模（正態(tài)分布，威布爾分布等），然后計(jì)算其失效概率。
那么怎么定義失效呢。比如說：對(duì)于一個(gè)桁架結(jié)構(gòu)，在外力的影響下，我們?cè)趺磁卸ㄋ谑裁辞闆r下是失效的呢？這是工程師的前期工作，比如假設(shè)某一關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移大于某一值，我們就判定該結(jié)構(gòu)是失效的。這并不是響應(yīng)面法的重點(diǎn)，便不做介紹了。
假設(shè)我們已知失效的標(biāo)準(zhǔn)了，那么我們假設(shè)，隨機(jī)擾動(dòng)因素為向量X，記結(jié)構(gòu)響應(yīng)為Y，則Y與X之間可用一隱式函數(shù)關(guān)聯(lián)，即
$$Y=G(X)$$

我們假設(shè)Y<0為失效，Y>0為正常，那么Y=0就是一個(gè)臨界狀態(tài)，也稱極限狀態(tài)。而概率分析的主要目的是，找到結(jié)構(gòu)的失效概率，即
$$P(Y<0)=P(G(X))<0$$

這么看來，$G(X)=0$就是一個(gè)分界，而且相當(dāng)重要了。所謂代理模型法就是找到這個(gè)分界，并用簡(jiǎn)單的顯式函數(shù)進(jìn)行替代。
那么為什么不直接對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行操作，而要用代理模型呢，因?yàn)楫?dāng)結(jié)構(gòu)膠復(fù)雜時(shí)，我們很難得到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)Y與隨機(jī)擾動(dòng)X的顯式表達(dá)式，那么我們就要用到ANSYS等有限元軟件計(jì)算，而這些軟件的計(jì)算是很耗時(shí)的，而且我們用Monte Carlo仿真時(shí)一般要用10⁵~10⁷次左右，這極大地增加了我們的計(jì)算負(fù)擔(dān)。因此，我們要用代理模型表達(dá)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，即用代理模型的結(jié)果來替代ANSYS計(jì)算的結(jié)果。而且我們只關(guān)心響應(yīng)值$G(X)$是否小于0，對(duì)其真實(shí)響應(yīng)值是1還是1000并不關(guān)心，因此G(X)=0的臨界就十分關(guān)鍵。所以代理模型的關(guān)鍵就是對(duì)隱式函數(shù)$G(X)=0$的顯式精確表達(dá)。這一點(diǎn)在Kriging算法中體現(xiàn)的尤為明顯。
一般代理模型的主要步驟是，選取試驗(yàn)點(diǎn)，用ANSYS計(jì)算試驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)值，用函數(shù)進(jìn)行擬合，判斷是否擬合結(jié)果準(zhǔn)確，不準(zhǔn)確繼續(xù)選點(diǎn)，擬合，直到達(dá)到某一設(shè)定的精度為止。

代理模型的基本思想

代理模型就是用簡(jiǎn)單的函數(shù)來近似替代復(fù)雜耗時(shí)的計(jì)算（有限元計(jì)算等）。而結(jié)構(gòu)可靠性分析中，將結(jié)構(gòu)分為兩種狀態(tài)：安全和失效。因此只需要區(qū)分結(jié)構(gòu)響應(yīng)G(X)的狀態(tài)即可，并不需要對(duì)其真實(shí)的響應(yīng)值精度有過多要求。因此代理模型只要準(zhǔn)確地區(qū)分出其狀態(tài)即可，這就是為什么代理模型只關(guān)注于臨界狀態(tài)部分。把極限狀態(tài)曲面擬合好了，就可以區(qū)分出其狀態(tài)了。
而代理模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)有兩個(gè)，精度和效率，由于顯式函數(shù)的計(jì)算是很快的，而結(jié)構(gòu)響應(yīng)的計(jì)算時(shí)間是很久的，所以效率的體現(xiàn)就是用結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算的調(diào)用次數(shù)來表征。因此要用盡量少的試驗(yàn)點(diǎn)獲得盡量精確的擬合。

響應(yīng)面法的幾個(gè)主要組成部分

響應(yīng)面法主要包括：

試驗(yàn)點(diǎn)的選取

函數(shù)形式的選取

迭代控制方式

收斂準(zhǔn)則

下面將詳細(xì)介紹上述幾個(gè)方面。

試驗(yàn)點(diǎn)的選取

為了更好地?cái)M合$G(X)=0$這一曲面，我們必然要選取合適的試驗(yàn)點(diǎn)，然后進(jìn)行擬合。這就涉及到試驗(yàn)設(shè)計(jì)方面，常見的幾種實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)包括，拉丁超立方，均勻設(shè)計(jì)，正交設(shè)計(jì)，星形設(shè)計(jì)法等。經(jīng)典響應(yīng)面采用的是Bucher提出的星形設(shè)計(jì)法。其基本思想就是，圍繞抽樣中心，沿各隨機(jī)變量所在坐標(biāo)軸正負(fù)方向偏離中心點(diǎn)一定距離選取試驗(yàn)點(diǎn)。如下圖所示

該試驗(yàn)設(shè)計(jì)是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，即所有變量都是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，因此在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)要將所有變量進(jìn)行當(dāng)量正態(tài)化，當(dāng)量正態(tài)化方法有很多，我常用的是JC法。圖中的$f$表示偏移距離，一般取值為1~3，黑圈表示抽樣中心點(diǎn)，白圈表示抽取的試驗(yàn)點(diǎn)，每次抽取的試驗(yàn)點(diǎn)都包括抽樣中心點(diǎn)。

函數(shù)形式的選取

常用響應(yīng)面法的函數(shù)形式是Bucher和Bourgund提出的不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式。由此可知，函數(shù)中有2n+1個(gè)待定系數(shù)，而Bucher提出的星形設(shè)計(jì)法每次選取也是2n+1個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，因此完美契合（畢竟都是自己的方法嘛，當(dāng)然要契合了）。
為什么說完美契合呢，因?yàn)閯傞_始，響應(yīng)面法的每次迭代時(shí)，用來確定擬合函數(shù)的系數(shù)用的都是本次迭代選取的試驗(yàn)點(diǎn)，前面的試驗(yàn)點(diǎn)是不用的。所以正好可以解出2n+1個(gè)系數(shù)。由于之前的試驗(yàn)點(diǎn)不用，所以會(huì)損失很多信息，之后的學(xué)者便將前面選取的試驗(yàn)點(diǎn)也加入到了本次迭代的擬合中。
這有好有壞，好處在于，可以更快的收斂；壞處在于，由于前面選取的試驗(yàn)點(diǎn)距離極限狀態(tài)G(X)=0較遠(yuǎn)，但是在擬合時(shí)用的是最小二乘擬合，這就導(dǎo)致擬合效果（精度）較差。
既然有壞處，那么怎么修改呢？
于是研究學(xué)者發(fā)明了權(quán)重的方法來改善這種缺陷。Kaymaz和Mcmahon于2005年率先提出了加權(quán)響應(yīng)面法的概念，他們采用指數(shù)加權(quán)法結(jié)合符號(hào)判斷方法構(gòu)建響應(yīng)面模型，分別對(duì)高度非線性和單點(diǎn)畸變算例進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明該法相較于傳統(tǒng)的最小二乘法構(gòu)建的常規(guī)響應(yīng)面在精度上有所提高¹。Nguyen和Sellier等在2009年提出了“雙加權(quán)響應(yīng)面法”²。

權(quán)重的基本思想

由上面可知，不同試驗(yàn)點(diǎn)在擬合極限狀態(tài)曲面的時(shí)候發(fā)揮的作用是不同的，而最小二乘擬合的過程中，將所有試驗(yàn)點(diǎn)當(dāng)做同等對(duì)待。給每個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)加權(quán)重就是為了使得更加重要的點(diǎn)發(fā)揮的作用越大。加權(quán)方式一般有兩種，是基于兩種思想進(jìn)行設(shè)計(jì)的。
第一種比較好理解，基于試驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)值G(X)到極限狀態(tài)曲面的距離。越接近于極限狀態(tài)曲面，則越重要。原因是，代理模型的基本思想就是對(duì)極限狀態(tài)曲面的擬合，那么越接近于極限狀態(tài)，該試驗(yàn)點(diǎn)與極限狀態(tài)曲面的相關(guān)性越大。這和隨機(jī)過程里的相關(guān)性類似，兩個(gè)點(diǎn)越接近其相關(guān)性越高。
于是便形成了幾種權(quán)重函數(shù)，因?yàn)楣P者對(duì)markdown插入公式不太熟悉，這里就不一一列舉了，需要的請(qǐng)自行查找文獻(xiàn)。
第二種加權(quán)方式就比較難理解一點(diǎn)，當(dāng)然只是相對(duì)于前一種，其實(shí)也是很簡(jiǎn)單的。我們知道響應(yīng)面法一般是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間這么一個(gè)概率空間中進(jìn)行操作的，那么即使同樣是在極限狀態(tài)曲面附近，不同區(qū)域的概率密度也是不同的。對(duì)于概率密度較低的區(qū)域，即使對(duì)極限狀態(tài)曲面的擬合精度較低，對(duì)于最后失效概率的計(jì)算的影響也是很小的。反之，概率密度較高的區(qū)域，其擬合效果對(duì)最終的概率計(jì)算影響是很大。故而為了進(jìn)一步提高算法的效率，研究人員就發(fā)明了第二種加權(quán)方式。
在提到第二種加權(quán)方式時(shí)，就不得不提到最大失效點(diǎn)（Most Probable Point，MPP，其實(shí)還有其他叫法，真實(shí)失效點(diǎn)、可靠性設(shè)計(jì)點(diǎn)等）這一概念。顧名思義，就是最有可能失效的點(diǎn)，也就是說，在所有失效點(diǎn)中，它最有可能發(fā)生（概率密度最大的點(diǎn)），詳細(xì)解釋可以參考杜小平老師編寫的這章內(nèi)容³。

總之就是，MPP附近的區(qū)域是最重要的，最有可能失效的，概率密度最大的。那么，研究人員就將試驗(yàn)點(diǎn)到MPP的歐拉距離作為一個(gè)參考，距離越小越重要，距離越大重要性就低。因此也就有了第二種權(quán)重方式。
如果想獲取具體權(quán)重函數(shù)，可以參考Goswami和Ghosh寫的這篇論文⁴。

總之一句話，給試驗(yàn)點(diǎn)賦權(quán)就是用不同的圈體現(xiàn)試驗(yàn)點(diǎn)在響應(yīng)面擬合中的不同作用效果，我們也可以根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)來自己定義權(quán)重函數(shù)。
當(dāng)然，權(quán)重函數(shù)也有缺陷，有可能陷入病態(tài)，當(dāng)然也有人在這方面做了一些工作，感興趣的可以閱讀這篇論文⁵。

雙加權(quán)的方式還有一點(diǎn)需要討論，兩個(gè)權(quán)重之間的關(guān)系，Nguyen和Sellier等²用的是兩者相乘，其實(shí)也可以相加，而且相加的話還可以確定兩個(gè)權(quán)重的作用大小。

迭代控制方式

之前介紹，迭代過程是，選點(diǎn)，擬合，判斷收斂，繼續(xù)選點(diǎn)，擬合……。這里就有一個(gè)問題，后續(xù)迭代選點(diǎn)應(yīng)該怎么選。上面介紹了根據(jù)抽樣中心點(diǎn)來選點(diǎn)，抽樣中心點(diǎn)的確定就是關(guān)鍵。下面就是傳統(tǒng)響應(yīng)面法的迭代方式：

其中，X_M為抽樣中心點(diǎn)，X_D是上一次迭代的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)（MPP），$\mu$表示變量的均值點(diǎn)。$g(\mu )$表示該點(diǎn)的響應(yīng)值。

收斂準(zhǔn)則

Bucher和Bourgund認(rèn)為迭代兩次即可得到滿意的可靠度指標(biāo)近似值，但Rajashekhar和Ellinwood對(duì)一些算例使用兩次迭代方法求解發(fā)現(xiàn)其對(duì)某些問題表現(xiàn)不佳，因此Rajashekhar和Ellinwood提出了設(shè)置收斂條件進(jìn)行多次迭代的改進(jìn)算法。收斂條件主要有三種：可靠性指標(biāo)，設(shè)計(jì)點(diǎn)步長(zhǎng)，設(shè)計(jì)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。原則是每次的變化小于一個(gè)設(shè)定值時(shí)，就判定為收斂。

響應(yīng)面方法的缺陷及可能改進(jìn)的地方

缺陷

模型選用的是不含交叉項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，對(duì)于一些復(fù)雜問題的擬合較差，這一點(diǎn)Kriging方法就做的很好；

對(duì)比于Kriging方法給出某個(gè)點(diǎn)的期望和方差，響應(yīng)面法給出的是一個(gè)定值；

對(duì)于高維變量，效率低下，當(dāng)然這也是所有代理模型的缺點(diǎn)。

改進(jìn)

2018年發(fā)表了一篇關(guān)于響應(yīng)面法的論文⁶，令我受益良多，以下主要根據(jù)這篇文章來介紹可以改進(jìn)的方面。

傳統(tǒng)響應(yīng)面的基本流程圖為：

Created with Rapha?l 2.2.0開始選取試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)建響應(yīng)面判斷是否收斂?結(jié)束yesno

而Hugo的這篇文章提出了一個(gè)更為全面的框架：

Created with Rapha?l 2.2.0開始對(duì)變量進(jìn)行篩選以降維（dimensionality reduction bya variable screening procedure）定義一個(gè)有前途的搜索域（definition of a promising search domain）基于優(yōu)化空間填充方案的初步試驗(yàn)設(shè)計(jì)（initial experimental design based on an optimized space-filling scheme）根據(jù)逐步回歸程序進(jìn)行模型選擇（model selection according toa stepwise regression procedure）采用交叉驗(yàn)證方法進(jìn)行模型驗(yàn)證（model validation by a cross-validation approach）采用雙權(quán)重回歸技術(shù)進(jìn)行模型擬合（model fitting using a double weighted regression technique）基于自舉技術(shù)的可靠性評(píng)估的置信區(qū)間（confidence interval of reliability estimatesbased on a bootstrapping technique）判斷是否收斂?結(jié)束序貫抽樣法抽樣yesno

其創(chuàng)新點(diǎn)在于：

在使用變量之前加上了變量篩選這一條，這在實(shí)際工程中是必須的；

對(duì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的區(qū)域進(jìn)行了探索和定義，傳統(tǒng)的響應(yīng)面是在整個(gè)空間中進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，而這片論文卻根據(jù)結(jié)構(gòu)的靈敏度將實(shí)驗(yàn)空間進(jìn)行了分割，減少了低效率的探索，將試驗(yàn)設(shè)計(jì)集中到了更有可能發(fā)生的地方；

對(duì)模型進(jìn)行選擇和驗(yàn)證，傳統(tǒng)響應(yīng)面使用的是固定的模型，具有較強(qiáng)的普適性，但是對(duì)于某一特定情況下，效果不一定好，是要對(duì)模型進(jìn)行了選擇和驗(yàn)證，增強(qiáng)了模型的靈活性，具體情況具體分析。

在后續(xù)迭代的抽樣方案上也選擇了序貫抽樣法，這點(diǎn)的原因我還不太明白。

---

I. Kaymaz, C. A. McMahon. A response surface method based on weighted regression for structural reliability analysis[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2005, 20(1):11-17 ??

S. N. Xuan, A. Sellier, F. Duprat, et al. Adaptive response surface method based on a double weighted regression technique[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2009, 24(2):135-143 ?? ??

http://web.mst.edu/~dux/repository/me360/ch7.pdf ??

S. Goswami, S. Ghosh, S. Chakraborty. Reliability analysis of structures by iterative improved response surface method[J]. Structural Safety, 2016, 60: 56-66 ??

S. C. Kang, H. M. Koh, J. F. Choo. An efficient response surface method using moving least squares approximation for structural reliability analysis[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2010, 25(4):365-371 ??

Hugo Guimar?es, José C. Matos, António A. Henriques. An innovative adaptive sparse response surface method for structural reliability analysis[J]. Structural Safety, 2018, 73: 12-28 ??

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的结构可靠性分析中响应面方法的基本思想的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。