??圓盤內的均勻采樣問題，是一個很有意思，也很常被考到的問題。在一個圓形內，均勻采點，怎么保證均勻且隨機？
??有三種方法：1、正方形采樣；2、極坐標采樣（錯誤！）；3、圓盤采樣

一、正方形采樣（Reject Method）

??最容易想到的方法就是在正方形內采樣，比如要在圓心為原點，半徑為1的圓內均勻采樣，可以在 x 從 [-1, 1]，y 從 -[-1, 1] 的正方形內均勻采樣，然后把不在圓內的點剔除即可。python代碼如下：

import numpy as np from pylab import * import matplotlib.pyplot as plt import randomfigure(figsize=(12, 12), dpi = 80) subplot(1, 1, 1)# 畫圓 theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 800) x,y = np.cos(theta), np.sin(theta) plot(x, y, color = 'red', linewidth = 2.0)# 畫隨機點 a = [] b = []for i in range(10000):a.append(random.uniform(-1, 1))b.append(random.uniform(-1, 1))plt.xlim(xmax = 1, xmin = -1) plt.ylim(ymax = 1, ymin = -1)scatter(a, b, s = 1.5, color = (0., 0.5, 0.))show()

??代碼在正方形內，隨機取了 10000 個二維坐標點，然后繪制出點和圓。可以看到隨機且均勻，但是很明顯的就是效率問題，有大量的點是要被扔掉的，所以不可取。不過此方法雖然效率低，但是可以作為 ground truth。

二、極坐標采樣

??還有一種很容易想到但是不對的方法，就是按照極坐標采樣，也就是先按照角度在 [0, $2\pi$ ] 范圍內均勻隨機采樣一個角度，然后在 [0, 1] 上隨機均勻采樣一個長度，就可以得到一個點在圓中的位置。代碼如下：

# 和上邊只有 for 循環內不一樣 for i in range(10000):theta = random.uniform(0, 2 * np.pi)r = random.uniform(0, 1)a.append(r * math.cos(theta))b.append(r * math.sin(theta))

??可以看到很明顯的不均勻。所以是不對的！

三、圓盤采樣

??我們知道圓的面積是 $\pi r^2$，圓環的面積是 $\pi ({r_1}^2?{r_2}^2)$，在極限情況下，圓環的面積是 $\pi ((r_1+\Delta r{)}^2?{r_1}^2)$，其實就是周長 $2\pi r$，那么我們可以發現，在角度均勻采樣的前提下，同樣的 $\Delta r$ 會因為 $r$ 大小的不同而導致面積不同，所以概率密度就不均勻了，我們想要概率密度均勻，那么采樣的均勻性應該和面積線性相關，也就是對 $r^2$ 進行線性均勻采樣，這樣算出來的陰線長度 $r$ 才是對的，這樣才能保證，隨機采樣出來的每一個極小圓盤面積是相同的。

for i in range(10000):theta = random.uniform(0, 2 * np.pi)r = math.sqrt(random.uniform(0, 1 ** 2))a.append(r * math.cos(theta))b.append(r * math.sin(theta))

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【PBRT】圆盘均匀采样，python实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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