目錄

基本概念

模型求解和應用

基于求解器的求解方法

基于問題的求解方法

其他?

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基本概念

運籌學的一個重要分支是數學規劃，線性規劃是數學規劃的一個重要的分支。

變量稱為決策變量，規劃的目標稱為目標函數，限制條件稱為約束條件，s.t.是“受約束于”的意思。

建立線性規劃模型的一般步驟為：①分析問題，找出決策變量。②找出等式或不等式約束條件。③構造關于決策變量的一個線性函數。

線性規劃模型的一般形式：

或：

為目標函數的系數向量，又稱為價值向量；為決策向量；為約束方程組的系數矩陣；為約束方程組的常數向量。

還有標準型：

目標函數為極大型，約束條件為等式約束。滿足約束條件的解為可行解，使目標函數達到最大值得可行解角叫最優解。所有可行解構成的集合叫做可行域，記為R。

在數學規劃問題求解過程中，一定還要計算靈敏度分析。靈敏度分析指系統因周圍條件變化顯示出來的敏感程度的分析。線性規劃問題的a、b、c都設定為常數，但是在實際過程中，這些系數都會有少許的變動。

模型求解和應用

MATLAB中求解數學規劃的問題有兩種模式：基于求解器的求解方法和基于問題的求解方法，

基于求解器的求解方法

需要將線性規劃化為標準形式：

要求目標函數必須是最小化，約束條件分為小于等于約束和等號約束，lb和ub是決策變量上下界。

MATLAB函數調用格式為：

[x,fval] = linprog(f,A,b)

[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq)

[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x返回的是決策變量的取值，fval返回的是目標函數的最優值，f為價值向量，A,b對應的是線性不等式約束，Aeq和beq對應的是線性等式的約束，lb和ub分別對應決策向量的下界向量和上界向量。

這種方法只能應用于決策向量是一維的情況。

基于問題的求解方法

首先用變量和表達式構造優化問題，然后用solve函數求解，可以用doc optimproblem查看幫助。

①prob=optimproblem('ObjectiveSense','max');

ObjectiveSense可以是max和min，代表優化最大值還是最小值，默認是min

②定義f，A，b（同上，f可以定義為行向量，這樣目標函數不同再轉置）

③x=optimvar('x',2,1,'TYPE','integer','LowerBound',0,'UpperBound',inf);

第一個‘x’里面是變量名，列向量，后面是存在幾行幾列。

‘TYPE’，后面定義的是該函數所屬類型，比如說integer整數型，double雙精度型號

‘LowerBound'與'UpperBound'表示下界與上界所跟的0，inf分別是范圍

④prob.Objective=f?* x;%目標函數，目標函數需要得到一個標量數值，不是矩陣向量

⑤prob.Constraints.con=A*x<=b;%約束條件,只有一個約束，也可以不加.con，.con是標簽，可以自己命名，多個約束條件時，必須標簽不能一樣。

⑥[sol fval flag out]=solve(prob);%fval是最優值，sol.x是決策變量的值，當多個決策變量時，可以sol.y，flag在線性規劃中不用在意，在非線性規劃中注意不能為負值。

例如：

?采用求解器求解：

clc,clear f = [-2;-3;5];%轉換為求最小 A = [-2,5,-1;1,3,1]; b = [-10;12]; Aeq = [1,1,1]; beq = [7]; lb = zeros(3,1); [x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,[]); x -fval

x =

? ? 6.4286
? ? 0.5714
? ? ? ? ?0
ans =

? ?14.5714

采用基于問題的求解

clc,clear prob=optimproblem('ObjectiveSense','max'); x=optimvar('x',3,'LowerBound',0); prob.Objective=2*x(1) + 3*x(2) - 5*x(3); prob.Constraints.con1=2*x(1) - 5*x(2) + x(3)>=10; prob.Constraints.con2=x(1) + 3*x(2) + x(3)<=12; prob.Constraints.con3=x(1) + x(2) + x(3)==7; [sol fval flag out]=solve(prob); sol.x fval

ans =

? ? 6.4286
? ? 0.5714
? ? ? ? ?0
fval =

? ?14.5714

其他?

• MATLAB中，加載現有的txt文件的矩陣時，若用load函數，則矩陣應每一行列數應該相等。如果缺少個別的數，可使用readmatrix函數。writematrix(a,'data.xlsx')可以寫入Excel中。?
• 矩陣索引a(1:end,1)，end就自動是行的最后一列
• sum(a,'all')表示矩陣a的所有元素求和

總結

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模——线性规划的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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