背景

假設(shè)有一個線性系統(tǒng)能用狀態(tài)向量的形式表示成：


設(shè)計(jì)一個狀態(tài)反饋控制器:
$$u=?Kx$$
則此時狀態(tài)方程可以寫為:

由于讓系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是矩陣Acl的特征值的實(shí)部均為負(fù)數(shù)，因此我們可以手動選擇幾個滿足上述條件的特征值，然后反解出K，從而得到控制器。
那么問題來了，我們該如何選擇特征值，才能讓控制器的控制效果最好呢？現(xiàn)在我們定義一種代價函數(shù):

其中，Q和R是兩個對角參數(shù)矩陣，Q為半正定矩陣， R為正定矩陣。分別決定了狀態(tài)向量 x 和輸入向量 u 的重要性。顯然，J是一個二次型函數(shù)，這也是LQR中“Q”的由來。
我們希望的是在滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，通過設(shè)計(jì)合適的K，讓代價函數(shù)J最小。
下面我們來分析代價函數(shù)的意義。

代價函數(shù)的意義

參考這一篇文章：
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概括來說就是：調(diào)節(jié)Q的大小可以控制系統(tǒng)狀態(tài)收斂的快慢；調(diào)節(jié)R的大小可以控制讓系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需輸入的大小；

Apollo2.0 LQR控制算法解讀

車輛動力學(xué)模型的推導(dǎo)可以看這篇：
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當(dāng)推導(dǎo)出車輛動力學(xué)模型后，選取橫向偏差、橫向偏差變化率，橫擺角角度偏差，橫擺角角度偏差變化率作為狀態(tài)量建立狀態(tài)空間方程：

建立目標(biāo)函數(shù)：

其中Q為狀態(tài)權(quán)重系數(shù)，R為控制量權(quán)重系數(shù)。當(dāng)上述目標(biāo)函數(shù)最小時就得到最優(yōu)的狀態(tài)反饋矩陣K，此時的K可以保證求出最佳控制量，即最佳前輪轉(zhuǎn)角。

4. 上圖表示求出最佳轉(zhuǎn)角之后，只能保證（A-BK）x那部分達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以還需要增加一個前饋控制量，試另一部分趨近于0.
4. 這個前饋控制量試可以通過縱向車速Vx和道路的半徑R計(jì)算得到
5. 最終的前輪轉(zhuǎn)角的控制量為最優(yōu)狀態(tài)反饋控制量與前饋控制前輪轉(zhuǎn)角之和。計(jì)算的出前輪轉(zhuǎn)角經(jīng)過上下限的限幅后進(jìn)行輸出。
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制算法及代码实践的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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