LQR全稱為Linear Quadratic Regulator，即線性二次型調節器。

（一）有限時域最優調節器設計

設線性系統被控對象的離散化狀態方程為：

初始條件。

給定二次型性能指標函數：

LQR的任務是尋求最優控制序列，在把系統從初始狀態轉移到的過程中，使性能指標函數最小。

求解二次型最優控制問題可采用變分法、動態規劃法等方法，這里采用離散動態規劃法來求解。

動態規劃的基本思想是：將一個多級決策過程轉變為求解多個單級決策優化問題，這里需要決策的是控制變量。

令二次型性能指標函數：

其中，。

下面從最后一級往前逐級求解最優控制序列。

由上式可得：

首先求解，使得最小。令：

解得：

式中，

同時可以得到：

式中，

依次可求得。

綜上，計算的公式歸納如下：

式中。

最優性能指標為：

滿足上式的最優控制一定存在且是唯一的。

（二）無限時域最優調節器設計

設線性系統被控對象的離散化狀態方程為：

初始條件。

當時，性能指標函數簡化為：

其中Q是非負定對稱矩陣，R是正定對稱矩陣，假定系統[A,B]能控和能觀，設P(k)是如下黎卡提（Riccati）方程的解：

那么，下列結論成立：

• 對于任意非負定對稱矩陣，存在，且是與無關的常數矩陣。
• P是如下黎卡提（Riccati）方程的唯一正定解。

? ? ??

• 穩態控制律

? ? ??

? ? ? ? 是使上面性能指標函數極小的最優反饋控制律，最優性能指標函數為：

? ? ? ??

• 所求得的最優控制律使得閉環系統漸近穩定。

當終端時間時，矩陣趨于某個常數矩陣，因此反饋矩陣也為常數矩陣，便于工程實現。

?

附錄? 同濟大學《線性代數》中關于正定和負定的定義及相關說明

總結

以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制律设计的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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