LQR控制算法的浅析
目錄
前言
一、知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充
? ? ? ? 1、拉格朗日乘子法
? ? ? ? 2、積分中值定理
? ? ? ? 3、向前歐拉法，向后歐拉法，中點(diǎn)歐拉法
????????4、向量的導(dǎo)數(shù)
? ? ? ? 5、矩陣求逆引理(記住就好，推導(dǎo)見鏈接)
二、連續(xù)時(shí)間下的LQR推導(dǎo)
? ? ? ? 1、系統(tǒng)狀態(tài)方程
? ? ? ? 2、推導(dǎo)過程
????????3、例子-------手平衡小桿? ??
????????3.1、系統(tǒng)模型
????????3.2、simulink模型仿真
????????????????3.2.1、開環(huán)情況（k1=k2=0，初值設(shè)置為5）
? ? ? ? ? ? ? ? 3.2.2、閉環(huán)情況
? ? ? ? ? ? ? ? 仿真結(jié)果：
三、離散時(shí)間下的LQR推導(dǎo)（重要）
? ? ? ? 1、狀態(tài)方程離散化
? ? ? ? 2、離散LQR的解法
總結(jié)
???
前言
這里的部分內(nèi)容和之前的轉(zhuǎn)載文章有相同的地方LQR控制算法及matlab/simulink仿真_陌路兩立的博客-CSDN博客_lqr matlab，寫這篇文章的目的是為了增強(qiáng)自己對(duì)LQR控制算法的理解。
一、知識(shí)點(diǎn)補(bǔ)充
? ? ? ? 1、拉格朗日乘子法
? ? ? ? ? ? ? ? 假設(shè)需要求極值的目標(biāo)函數(shù)為，約束條件為。設(shè)，定義一個(gè)新函數(shù)，則用偏導(dǎo)數(shù)方法列出方程：
? ? ? ? 2、積分中值定理
? ? ? ? ? ? ? ? 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得下式成立：
其中，，滿足：。
? ? ? ? 3、向前歐拉法，向后歐拉法，中點(diǎn)歐拉法
? ? ? ? ? ? ? ? 向前歐拉法：；
? ? ? ? ? ? ? ? 向后歐拉法：；
? ? ? ? ? ? ? ? 中點(diǎn)歐拉法：。
????????4、向量的導(dǎo)數(shù)
????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?參考：? ?向量的導(dǎo)數(shù)_影子飛揚(yáng)的博客-CSDN博客_向量的導(dǎo)數(shù)
? ? ? ? 5、矩陣求逆引理(記住就好，推導(dǎo)見鏈接)
????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 參考：矩陣求逆引理(matrix inversion lemma)_UESTC_C2_403的博客-CSDN博客_矩陣求逆引理
二、連續(xù)時(shí)間下的LQR推導(dǎo)
? ? ? ? 1、系統(tǒng)狀態(tài)方程
? ? ? ? ? ? ? ? 開環(huán)：;
? ? ? ? ? ? ? ? 閉環(huán)：，設(shè)計(jì)，可以得到,通過改變可以改變的特征值從而控制系統(tǒng)表現(xiàn)。
? ? ? ? 2、推導(dǎo)過程
? ? ? ? ? ? ? ? 系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生變化的原因是在上一個(gè)狀態(tài)時(shí)，有外界干擾或者系統(tǒng)的輸入發(fā)生變化引起的，忽略外界干擾的影響，這里引入cost function(能量函數(shù)，損失函數(shù))：
其中，Q和R均為自己設(shè)計(jì)的半正定矩陣。我們的目的就是通過設(shè)計(jì)Q和R使得能量函數(shù)最小。?
能量函數(shù)的理解：
????????? ? ? ? ? ?Q=,能量函數(shù)前面部分可以寫成，當(dāng)時(shí)，Q表現(xiàn)為懲罰；R越大，u對(duì)J的影響越大，希望J越小，可以使得u減小。
假設(shè)Q=，當(dāng)?時(shí)，J將會(huì)變得非常大，對(duì)J有較大的影響，為了使得J減小，只能希望快速收斂。
? ? ? ? ? ? ? ? 將控制器?代入到能量函數(shù)中：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
?????????????????為了找到,假設(shè)存在一個(gè)常量矩陣，使得
????????????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? 隨后得到：
???????????????????
?????
? ? ? ? ? ? ? ? 將代入到上式中得：
? ? ? ? ? ? ? ? 為了使上式恒成立，我們可以得到：
????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? 通過令?，上式可以化簡(jiǎn)為：
該式就是著名的Riccati方程。其中??是系統(tǒng)矩陣已知，選取合適的?，可以解出?，從而得到，控制器。
注：k的由來
????????3、例子-------手平衡小桿? ??
????????3.1、系統(tǒng)模型
???????????????下面是B站大佬DR_CAN對(duì)LQR控制算法的講解（知識(shí)的搬運(yùn)工）。
? ? ? ? ? ? ? ?運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：
????????????????
其中：?表示桿子的長(zhǎng)度，?表示重力加速度，?表示桿子與垂直方向的夾角，?表示手的移動(dòng)。
? ? ? ? ? ? ? 通過令?? 可以得到：
? ? ? ? ? ? ? 令??得：
????????3.2、simulink模型仿真
????????????????3.2.1、開環(huán)情況（k1=k2=0，初值設(shè)置為5）
?
? ? ? ? ? ? ? ? 3.2.2、閉環(huán)情況
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? LQR求k代碼：? ? ? ? ? ??
%% 系統(tǒng)參數(shù) A=[0 1;10 0]; B=[0;-1];%% 大Q情況 Q=[100 0;0 1]; R=.01; K=lqr(A,B,Q,R);%% 大R情況 % Q=[1 0;0 1]; % R=100; % K=lqr(A,B,Q,R);%% 求解出來 k1=K(1,1); k2=K(1,2);? ? ? ? ????????????????simulink模型：
?
?
?大R情況：k1=-20.000499987499590，k2=-6.325424884938331；
?大Q情況：k1=-1.104987562112088e+02，k2=-17.916403445513760；
? ? ? ? ? ? ? ? 仿真結(jié)果：
?
?
?????????????????結(jié)論：通過選取不同的Q和R可以得到不同的系統(tǒng)表現(xiàn)，其中大Q決定的是系統(tǒng)的狀態(tài)能否快速達(dá)到收斂效果，大R決定的是系統(tǒng)的能耗(輸入)。
參考：?1、視頻鏈接：https://www.bilibili.com/video/BV1RW411q7FDshare_source=copy_web
? ? ? ? ? ? 2、LQR控制算法及matlab/simulink仿真_陌路兩立的博客-CSDN博客_lqr matlab
三、離散時(shí)間下的LQR推導(dǎo)（重要）
? ? ? ? 1、狀態(tài)方程離散化
? ? ? ? ? ? ? ? 離散之后最重要的一個(gè)就是不可以使用微分方程描述系統(tǒng)了。
? ? ? ? ? ? ? ? 動(dòng)力學(xué)方程：,對(duì)動(dòng)力學(xué)方程兩邊同時(shí)求積分得：
其中，這里我們需要知道是?是 ?維的，?稱為采樣周期。
使用到的知識(shí)點(diǎn)：狀態(tài)??去??使用的是中間歐拉法，控制輸入??去??使用的是向前歐拉法(因?yàn)槲覀儫o法知道)。
? ? ? ? 2、離散LQR的解法
? ? ? ? ? ? ? ? step 1：和連續(xù)時(shí)間下的LQR相同，首先引入能量函數(shù)(cost function)：
? ? ? ? ? ? ? ? step 2：引入約束函數(shù)：
注：為什么cost function只有，卻沒有呢？
答：如果改為的話，可是約束函數(shù)只能覆蓋，所以cost function只能為。
? ? ? ? ? ? ? ? step 3：拉格朗日乘子法求解cost function：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 首先將約束函數(shù)寫為：
????????
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 然后構(gòu)造新函數(shù)：? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
其中?。
注：注意這里的維度問題，?是維的。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 接下來對(duì)構(gòu)造的函數(shù)求偏導(dǎo)：
? ? ? ? ? ? ? ? 首先對(duì)??求偏導(dǎo)：
????????????????
????????????????綜上所述：
? ? ? ? ? ? ? ? 然后對(duì)??求導(dǎo)：
? ? ? ? ? ? ? ? 最后對(duì)求導(dǎo)：
????????????????
? ? ? ? ? ? ? ? 綜上所述：
其中，。
? ? ? ? ? ? ? ? step 4：遞推式
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)?時(shí)：
通過對(duì)比?和可以推出：
其中?(Riccati方程)。
可以得到：
其中??認(rèn)為已知。
LQR控制實(shí)際為：
首先，取矩陣??初值為，然后，代入離散時(shí)間下的Riccati方程?中迭代，求出矩陣??(一般只需要迭代幾十次，?就會(huì)收斂），最后，將??代入到??中得到?。
總結(jié)
這里是我自己學(xué)LQR控制算法的推導(dǎo)過程，數(shù)學(xué)原理很大，總結(jié)起來就是，通過選取Q和R，然后將A，B，Q，R代入LQR控制算法中（A，B是系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，認(rèn)為是已知的），從而得到K，然后將K代入到反饋控制輸入?中，從而得到控制輸入，其中Q決定的是收斂速度，R決定的是能耗。因此，我們需要通過選擇合適的Q和R使得cost function達(dá)到最優(yōu)。歡迎大家來討論指正（我的QQ1012154405），一起在控制的海洋中前進(jìn)！！！
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制算法的浅析的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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