首先，這篇文章是看了幾個(gè)大神的博客后，自己抄錄以及整理的內(nèi)容，其中有些自己的想法，但是原理部分基本都是學(xué)習(xí)大神們的，在此先說明一下。

1 全狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)

在介紹LQR之前，首先，先回顧一下現(xiàn)在控制理論中的基本的控制器 —————— 全狀態(tài)反饋控制，上圖

假設(shè)有一個(gè)線性系統(tǒng)用狀態(tài)向量表示：
$$\{\begin{array}{ll}\dot{x}=Ax+Bu& \\ y=Cx+Du& \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$x(t)\in R^n$，$u(t)\in R^m$，初始條件是$x(0)$。
在此，我們需要設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器
$$u=?Kx\text{\hspace{1em}(2)}$$
使上述控制器能達(dá)到期望的穩(wěn)定性能，將式(2)帶入系統(tǒng)狀態(tài)方程(1)中，有
$$\dot{x}=(A?BK)x=A_{c}x\text{\hspace{1em}(3)}$$
設(shè)定系統(tǒng)中的各個(gè)狀態(tài)量都可知，式(1)所示的開環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)矩陣A的特征值。現(xiàn)在變換成了式(2)的閉環(huán)形式，通過配置反饋矩陣$K$，可以使得閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到所期望的系統(tǒng)狀態(tài)。(注意，這種控制器設(shè)計(jì)與矩陣C、D沒什么關(guān)系)
SO，來了一個(gè)新的問題，極點(diǎn)在什么樣的位置會(huì)使得系統(tǒng)的性能較好呢？并且，當(dāng)系統(tǒng)變量很多的時(shí)候，就算設(shè)計(jì)極點(diǎn)已經(jīng)達(dá)到了最優(yōu)，矩陣K的計(jì)算如何計(jì)算呢？
因此，LQR提供了如下思路。

2 LQR

LQR的目標(biāo)就是找到一組控制量$u_0,u_1,...$，使得同時(shí)有$x_0,x_1,...$足夠小(系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài))，$u_0,u_1,...$足夠小(控制量盡量小的變化)，選取代價(jià)函數(shù)為
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^{T}Qx+u^{T}Rudt\text{\hspace{1em}(4)}$$
其中，Q、R就是需要設(shè)計(jì)的半正定矩陣和正定矩陣。
看上式(4)是不是線代中的二次型(線代真的是一門重要的學(xué)科，工程中大量都是線代的運(yùn)算)，而且還是那種只有平方項(xiàng)的二次型，這樣就成了最小二乘法的問題。代價(jià)函數(shù)$J$需要達(dá)到最小值，那么在$t$趨近于無窮時(shí)，狀態(tài)向量$x(t)$肯定趨近于0，即是達(dá)到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)；同理，$t$趨近于無窮時(shí)，控制向量$u(t)$也會(huì)趨近于0，意味著，隨著時(shí)間的推移，需要對系統(tǒng)施加的控制量會(huì)越來越小，意味著使用最小的控制量使得系統(tǒng)達(dá)到了最終控制目標(biāo)。

下面來聊聊Q、R值的選取，一般來說，選取Q、R矩陣的時(shí)候，為了方便觀察各個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)量而選取對角陣，增加Q的一個(gè)值，意味著這個(gè)值作用的系統(tǒng)狀態(tài)量，將以更快的速度衰減到0，這時(shí)候，舉個(gè)栗子還是很必要的，比如，$Q_{11}$選取較大的值，會(huì)讓$x_1$很快的衰減到0；另外一方面，加大$R$的值，會(huì)使得對應(yīng)的控制量減小，控制器執(zhí)行更少的動(dòng)作，意味著系統(tǒng)的狀態(tài)衰減將變慢。所以，$Q、R$的選取，要綜合看具體的實(shí)際應(yīng)用場景來調(diào)節(jié)，俗話說，魚和熊掌不可兼得，這個(gè)矛盾就像做的軌跡跟蹤MPC中的設(shè)置不同的權(quán)重一樣，期望車輛后軸心cte值越小，那么到了轉(zhuǎn)彎處必須要很大幅度的剎車，以及打方向盤，速度以及yaw都會(huì)大幅度變化，而如果期望執(zhí)行器動(dòng)作越小，那么就無法保證cte的準(zhǔn)確度一樣。

好了，上面介紹了一些參數(shù)的意義問題，下面重點(diǎn)就是公式的推導(dǎo)了，在不同大神那看到了不同的推導(dǎo)方式，下面就把自己比較欣賞的一種寫出來吧，雖說過程也很重要，但是工程嘛，只要結(jié)果對，效果好，選個(gè)自己看起來舒服的方式就好了，開始推導(dǎo)過程

將$u=?Kx$代入代價(jià)函數(shù)后，有
$$J=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }{x}^T(Q+K^{T}RK)xdt\text{\hspace{1em}(5)}$$

假設(shè)純在一個(gè)常量矩陣$P$使得，
$$\frac{d}{dt}(x^{T}Px)=?x^T(Q+K^{T}RK)x\text{\hspace{1em}(6)}$$

把式(6)代入(5)后，有
$$J=?\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{d}{dt}{x}^T(P)x=\frac{1}{2}{x}^T(0)Px(0)\text{\hspace{1em}(7)}$$
式(7)的意思就是，t趨近于無窮時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)向量x(t)趨近于0，這樣就直接結(jié)算出了積分方程。

把式(6)左邊微分展開，
$${\dot{x}}^{T}Px+x^{T}P\dot{x}+x^{T}Qx+x^T{K}^{T}RKx=0$$
狀態(tài)變量x的微分用式(3)表示，
$$x^T{A}_c^{T}Px+x^{T}P{A}_{c}x+x^{T}Qx+x^T{K}^{T}RKx=0$$
整理后，有
$$x^T(A_c^{T}P+P{A}_c+Q+K^{T}RK)x=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
這樣，就又回到了二次型的問題，如果式(8)要有解，那么括號里面的部分必須等于0.
$$A_c^{T}P+P{A}_c+Q+K^{T}RK=0\text{\hspace{1em}(9)}$$
把$A_c=A?BK$代入式(9)
$$(A?BK{)}^{T}P+P(A?BK)+Q+K^{T}RK=0\text{\hspace{1em}(10)}$$
$$A^{T}P+PA+Q+K^{T}RK?K^T{B}^{T}P?PBK=0\text{\hspace{1em}(11)}$$

式(11)還是一個(gè)關(guān)于$K$的二次型，這樣會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量太復(fù)雜，so只要這個(gè)等式成立就好，那么這里令$K=R^{?1}{B}^{T}P$，然后式(11)，可以化為
$$A^{T}P+PA+Q+K^{T}R(R^{?1}{B}^{T}P)?K^T{B}^{T}P?PB(R^{?1}{B}^{T}P)=0$$
$$A^{T}P+PA+Q?PB{R}^{?1}{B}^{T}P=0\text{\hspace{1em}(12)}$$
式(12)中，$A,B,Q,R$都是已知量，那么通過式(12)可以求解出$P$，式(12)就是著名的Riccati方程。

總結(jié)

上面，從理論以及公式推導(dǎo)兩個(gè)方面，介紹了LQR，現(xiàn)在從頭看一下LQR的思路：

• 選擇參數(shù)矩陣Q,R
• 求解Riccati方程得到矩陣P
• 根據(jù)P計(jì)算$K=R^{?1}{B}^{T}P$
• 計(jì)算控制量$u=?Kx$

MPC與LQR比較

MPC和LQR兩種控制方式有很多的相似之處，但是也有很多不相同的地方，

• 首先，LQR的研究對象是現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間方程給出的線性系統(tǒng)，而MPC的研究對象可以是線性系統(tǒng)，也可以是非線性系統(tǒng)。不過現(xiàn)在很多的做法都是將非線性系統(tǒng)線性化，然后進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，具體要根據(jù)自己的工程情況來確定哪種方式比較好，比如之前做MPC的時(shí)候，線控車底層速度控制接口就是加速度，那就沒必要根據(jù)IMU再套嵌個(gè)一層PID。
• 其次，既然是優(yōu)化問題，那就離不開目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)，LQR的目標(biāo)函數(shù)在上面已經(jīng)有描述，MPC的目標(biāo)函數(shù)，多數(shù)都是多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)乘以不同權(quán)重然后求和的方式。雖然方式不同，不過都是對達(dá)到控制目標(biāo)的代價(jià)累計(jì)。
• 最后，工作時(shí)域上的不同，LQR的計(jì)算針對同一工作時(shí)域，在一個(gè)控制周期內(nèi)，LQR只計(jì)算一次，并將此次計(jì)算出的最優(yōu)解下發(fā)給控制器即可；而MPC是滾動(dòng)優(yōu)化的，計(jì)算未來一段時(shí)間內(nèi)，每個(gè)采樣周期都會(huì)經(jīng)過計(jì)算，得出一組控制序列，但是只將第一個(gè)控制值下發(fā)給控制器。

Reference：

F.L. Lewis .<< Linear Quadratic Regulator (LQR) State Feedback Design >>

https://blog.csdn.net/u013914471/article/details/84324754?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task

https://zhuanlan.zhihu.com/p/72605138

https://blog.csdn.net/heyijia0327/article/details/39270597

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的LQR控制算法推导以及简单分析的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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