文章目錄

• • 介紹
  • 基本概念
  • 簡單實現過程
  • matlab實現
  • 結果
  • 小結

介紹

隨機信號包括了確定信號和隨機噪聲兩部分。維納濾波的本質是設計一組沖擊響應的函數，抑制信號中的隨機噪聲部分，或者說非預期信號部分，使得信號與預期值的均方誤差達到最小。

基本概念

在開始維納濾波的介紹前，先描述一下幾個基本的概念
以下只給出離散過程的公式

自相關函數
為了描述隨機變量X(n),X(n+t)，在不同時刻下的相互聯系，引入了自相關函數
t為間隔,t>0。
$$R_{xx}(t)=E[X(n)?X(n+t)]$$
作為一種預期，這里自相關函數只與間隔有關，與起始時間無關。同時，要注意到，自相關函數是關于時間間隔t的偶函數，既有$R_{xx}(t)=R_{xx}(?t)$

互相關函數
描述不同隨機過程引入的隨機序列的相互關系
$$R_{XY}(t)=E[X(n)?Y(n+t)]$$
并且滿足：$R_{XY}(t)=R_{YX}(?t)$

維納濾波原理
本質上，維納濾波是設計一個沖擊響應函數h，對觀察到的信號序列X進行濾波，使得其與期望信號S的最小平方和達到最小值。
假設信號S的長度為N，下標從0開始計算,$S=[s(0),?,s(N?1)],s(i)\in \mathbb{R}$,
對于濾波器h而言，其濾波過程如下，
對n時刻的信號估計值
$$\hat{s}(n)=\sum _{m=0}^{n}h(m)x(n?m)$$
維納濾波器的目標如下：
$$minE(e_n^2)=E([s(n)?\hat{s}(n){]}^2)$$
按$h(i)$對上式進行求導，由最小值條件得到
$$\begin{gathered} E([s(n)?\hat{s}(n)]?x(n?i))=0? \\ E[s(n)x(n?i)]?E[\sum _{m=0}^{n}h(m)x(n?m)?x(n?i)]=0 \end{gathered}$$
整理上式，結合相關函數的性質可以得到
$$\begin{gathered} E[s(n)x(n?i)]=R_{sx}(?i)=R_{xs}(i) \\ E[h(m)x(n?m)?x(n?i)]=h(m)E(x(n?m)?x(n?i))=h(m)R_{xx}(m?i) \\ {R}_{xs}(i)=\sum _{m=0}^{n}h(m)R_{xx}(m?i) \end{gathered}$$
對于長度為N的濾波器h，則有
$$?\begin{array}{c}{R}_{xs}(0)\\ ?\\ R_{xs}(i)\\ ?\\ R_{xs}(N?1)\end{array}?=?\begin{array}{ccccc}{R}_{xx}(0)& ?& R_{xx}(i)& ?& R_{xx}(N?1)\\ ?& ?& ?& & ?\\ R_{xx}(?i)& ?& R_{xx}(0)& ?& R_{xx}(N?1?i)\\ ?& & ?& ?& ?\\ R_{xx}(1?N)& ?& R_{xx}(i?N+1)& ?& R_{xx}(0)\end{array}??\begin{array}{c}h(0)\\ ?\\ h(i)\\ ?\\ h(N?1)\end{array}?$$
將上式進行簡化，得到 $RXS=RXX?h?h=RX{X}^{?1}RXS$
$RXX$是一個對稱矩陣，且對角線元素都是$R_{xx}(0)$,在下面構造RXX矩陣的時候利用了這一點。

簡單實現過程

構造正弦信號s

加入白噪聲noise

合成最終信號 x = s+noise

生成RXX矩陣和RXS向量

計算h濾波器

信號還原并顯示計算結果

matlab實現

clear; N=600; %data size and filter size theta=linspace(0,2*pi,N); s=sin(theta); noise=normrnd(0,sqrt(0.05),1,N); %noise x = s+noise; RXX = ConstructRxxMatrix(x); RXS = ConstructRxsVector(x,s); h = RXX\RXS; %recovery s1 from x using h filter s1 = zeros(N,1); for i = 1:1:Nfrag1 = h(1:i);frag2 = x(i:-1:1);s1(i) = dot(frag1,frag2); end subplot(2,2,1);plot(s);title('expected signal'); subplot(2,2,2);plot(x);title('real signal'); subplot(2,2,3);plot(noise);title('white noise'); subplot(2,2,4);plot(s1);title('denoise signal'); %Calc Rxs(t) && only handle t>0 function r = RelateValue(x,s,t) n = length(x); frag1 = s(1+t:n);frag2 = x(1:(n-t)); r = dot(frag1,frag2); end %Construct Rxx Matrix% function Rxx = ConstructRxxMatrix(x) n = length(x); Rxx = zeros(n); RV = zeros(n,1); for i = 1:1:nRV(i) = RelateValue(x,x,i-1); end for i = 1:1:nfor j = i+1:1:nRxx(i,j) = RV(j-i+1);end end Rxx = Rxx+Rxx'+diag(ones(n,1))*RV(1); end function Rxs = ConstructRxsVector(x,s) n = length(x); Rxs = zeros(n,1); for i = 1:1:nRxs(i) = RelateValue(x,s,i-1); end end

結果

小結

和卡爾曼濾波一樣，維納濾波是信號處理中一種經典的濾波算法。上述的互相關函數可以借用matlab的xcorr函數計算得到，這里為了完整地了解整個過程計算過程，使用自己編寫的代碼。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的维纳滤波及其简单实现的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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