文章目錄

• • 維納（Wiener）濾波
  • 模型結構
  • 使用條件
  • 原理公式推導
  • 仿真分析——Matlab代碼
  • • 一、參考信號$d(n)$為原始信號$s(n)$
    • 二、參考信號$d(n)$為加性高斯白噪聲$v(n)$
    • 三、參考信號$d(n)$為輸入信號自身$x(n)$
  • 總結

維納（Wiener）濾波

Wiener濾波的核心目標就是使均方誤差最小，從而可以推導出維納-霍夫方程。

在信號處理中，濾波器可以分為FIR和IIR兩種，在這里主要介紹維納FIR濾波器，如下圖1所示。換句話說，就是要想方設法求出最優(yōu)濾波器的系數。

圖1 Wiener濾波的橫向濾波器

模型結構

首先，先來看一下wiener濾波器的一般結構，如下圖2所示。

圖2 wiener濾波的原理框圖

其中$s(n)$是輸入的原始信號，經過噪聲信道$v(n)$后，變成了$x(n)$，濾波器后輸出得到$s^{\prime }(n)$，期望響應是$d(n)$ ，那誤差$e(n)=d(n)?s^{\prime }(n)$ ，濾波器的系數為$h(n)$。

對于信號$s(n)$和噪聲$v(n)$的混合體$x(n)=s(n)+v(n)$，按照均方誤差最小的準則，從$x(t)$中分離出信號$s(t)$的理論，稱為維納濾波理論。

這里要著重說明的一點是，期望響應$d(n)$一般上來說是對原始信號的$s(n)$估計，后面會講到別的情況。如果你想要對一個未知的信號進行濾波，用wiener濾波的方法是不行的。因為，在設計濾波器系數的時候，必須用到期望信號$d(n)$。所以，必須要知道$d(n)$，或者$d(n)$的一些其他的特征。

使用條件

1、輸入信號是寬平穩(wěn)信號。那么寬平穩(wěn)是什么呢？通俗的來說就是與時間無關的信號，或者與時間的起點無關，只與時間間隔有關。

2、必須知道期望信號，或者它的一些信號特征才行（具體看下面的公式推導部分）。

原理公式推導

為了簡便運算，假設所使用的信號是實信號。

輸出信號：$s^{\prime }(n)=h(n)?x(n)={\sum }_{k=?\infty }^{+\infty }h(n)x(n?k)$

誤差：$e(n)=d(n)?s^{\prime }(n)==d(n)?{\sum }_{k=?\infty }^{+\infty }h(n)x(n?k)$

均方誤差：$J(h)=E[e^2(n)]$

為了使均方誤差最小，需要對$J$進行求導，并讓導數為0，即可得到最佳濾波器的系數了。

$${?}_{h}J=?2E[x(n?k)e(n)]$$

所以，
$$E[x(n?k)e(n)]=0(1)$$

$$E\left[x(n?k)\left(d(n)?\sum _{i=?\infty }^{\infty }h(i)x(n?i)\right)\right]=0$$

$$\sum _{i=?\infty }^{\infty }h(i)E\left[x(n?k)x(n?i)\right]=E\left[x(n?k)d(n)\right]$$

$$\sum _{i=?\infty }^{\infty }h(i)r_x(i?k)=r_{xd}(?k)$$

針對$M$階FIR濾波器，維納-霍夫方程（Wiener-Hopf）為${\sum }_{i=0}^{M?1}h(i)r_x(i?k)=r_{xd}(?k)$，那么，寫成矩陣的形式就是
$$\begin{array}{l}Rh=r_{xd}\\ h=R^{?1}{r}_{xd}\end{array}$$
其中$R$是信號$x(n)$的自相關矩陣，$r_{xd}$是信號$x(n)和d(n)$的互相關矩陣。

仿真分析——Matlab代碼

由于Wiener濾波器的參數求解過程中必須要用到參考信號，所以這里仿真采用的信號Signal為
$s=A?sin\left(2\pi f_{1}t\right)+B?sin\left(2\pi f_{2}t\right)$ ，
即為兩個疊加的正弦信號。其中$A=10,B=15,f_1=1000,f_2=2000$ 。
根據采樣定理，這里假定采樣頻率$f_s=100000$，采樣間隔$T=1/f_s$，則$s_a(t)|{}_{t=nT}=s_a(nT)(0\le n\le 999)$。
對于不同的$n$值，$s(n)$是一個有序的數字序列:$s(n)=\left\{s_a(0),s_a(T),s_a(2T),?\right\}$。信號傳輸過程中，信道中的噪聲為加性高斯白噪聲。原始信噪比定義為SNR=3。

上面提到期望信號$d(n)$是必不可少的，所以，對期望信號的設定也會決定結果的好壞。所以，$d(n)$也可以稱作參考信號。有以下幾種不同的情況：

• 參考信號$d(n)$為原始信號$s(n)$
• 參考信號$d(n)$為加性高斯白噪聲$v(n)$
• 參考信號$d(n)$為輸入信號自身$x(n)$

下面對三種不同的情形進行仿真與對比分析, 其中濾波器系數長度N均為100。
（全部三種完整的MATLAB代碼整合版在我的資源“維納（Wiener）濾波及Matlab代碼”中）

一、參考信號$d(n)$為原始信號$s(n)$

%% wiener filter for different d(n) %% StarryHuang 2021.1.9 close all; clear; clc; %% 信號產生，對原始信號進行采樣 A=10; % 信號的幅值 B=15; % 信號的幅值 f1=1000; % 信號1的頻率 f2=2000; % 信號2的頻率 fs=10^5; % 采樣頻率 t=0:999; % 采樣點t = [0,999],長度1000 M = length(t); % 信號長度 s=A*sin(2*pi*f1*t/fs) + B*sin(2*pi*f2*t/fs); % 采樣正弦波信號為Signal SNR = 3; % 初始信噪比 x=awgn(s,SNR,'measured'); %觀測信號 x=s+v.，給正弦波信號加入信噪比為-3dB的高斯白噪聲 v=x - s; % 高斯白噪聲，誤差信號，每次運行都不一樣 %% 第一種情況——期望信號d(n)為感興趣的原信號Signal d = s; %% 第二種情況——期望信號d(n)為Noise v % d = v; %% 第三種情況—— 期望信號d(n)為x(n-1) % d = [x(1),x(1:end-1),]; % d(n)=x(n-1)%% 維納濾波 N = floor(length(x)*0.1); % 濾波器的階數，向下取整 % N=100; % 維納濾波器階數 Rxx=xcorr(x,N-1,'biased'); % 自相關函數1*(2N-1)維度，返回一個延遲范圍在[-N，N]的互相關函數序列,對稱的 % 變成矩陣 N*N維度 for i=1:Nfor j=1:NmRxx(i,j)=Rxx(N-i+j); % N*N維度end end%產生維納濾波中x 方向上觀測信號與期望信號d的互相關矩陣 Rxd=xcorr(x,d,N-1,'biased'); % 互相關函數1*(2N-1)維度% 變成矩陣1*N維度 for i=1:NmRxd(i)=Rxd(N-1+i); % 1*N維度 endh = inv(mRxx)*mRxd'; % 由wiener-Hopf方程得到濾波器最優(yōu)解, h是N*1維度%% 檢驗wiener濾波效果 y = conv(x,h); % 濾波后的輸出,長度為M+N-1，要截取前M個。 y = y(1:M); % yy = filter(h,1,x); % 用卷積或者直接用filter都可以 Py=sum(power(y,2))/M; %濾波后信號y的功率 e = d - y; % 輸出減去期望等于濾波誤差 J = sum(power(e,2))/M % 濾波后噪聲功率 SNR_after = 10*log10((Py-J)/J) % 濾波后信噪比 db單位 imv = 10*log10((Py-J)/J/power(10,SNR/10)) % 濾波后較濾波前信噪比提高了imv dB。%% 畫圖 % 原始信號x，噪聲v，觀測波形d figure(1), subplot(311) plot(t,s) % 輸入函數 title(' Signal原信號')subplot(312) plot(t,v) % 輸入函數 title(' Noise噪聲')subplot(313) plot(t,x) % 輸入函數 title(' X(n)觀測波形')%% d = s % 期望和濾波后的信號對比 figure(2), subplot(211) plot(t, d, 'r:', t, y, 'b-','LineWidth',1); legend('期望信號','濾波后結果'); title('期望信號與濾波結果對比'); xlabel('觀測點數');ylabel('信號幅度'); axis([0 1000 -50 50])subplot(212), plot(t, e); title('輸出誤差'); xlabel('觀測點數');ylabel('誤差幅度'); axis([0 1000 -50 50])% 濾波前后對比 figure(3), subplot(211) plot(t, x); title('維納濾波前'); xlabel('觀測點數');ylabel('信號幅度'); axis([0 1000 -50 50])subplot(212), plot(t, y); title('維納濾波后'); xlabel('觀測點數');ylabel('誤差幅度'); axis([0 1000 -50 50])

濾波后信噪比SNR_after = 13.187dB；濾波后較濾波前信噪比提高了10.4dB。

二、參考信號$d(n)$為加性高斯白噪聲$v(n)$

只要將代碼的開頭d換成v，畫圖函數修改為%% d=v部分即可。

% %% d = v % figure(2) % plot(t, d, 'r:', t, y, 'b-','LineWidth',1); % legend('期望信號','濾波后結果'); title('期望信號與濾波結果對比'); % xlabel('觀測點數');ylabel('信號幅度'); % axis([0 1000 -50 50]) % % figure(3) % plot(t, s, 'r:', t, x - y, 'b-','LineWidth',1); % legend('Signal原始信號','噪聲抵消后結果'); title('Signal原始信號與噪聲抵消后結果對比'); % xlabel('觀測點數');ylabel('信號幅度'); % axis([0 1000 -50 50])

濾波后信噪比SNR_after = 10.023dB；濾波后較濾波前信噪比提高了7dB。

三、參考信號$d(n)$為輸入信號自身$x(n)$

只要將代碼的開頭d換成x即可。


濾波后信噪比SNR_after = -0.812dB；濾波后較濾波前信噪比提高了-3.812dB。

總結

參考信號選為原始信號時的濾波效果最好。雖然在第三種方案中，參考信號選為自身信號時的濾波效果不好，第三種Wiener濾波器模型對于許多應用仍然具有很大的實用價值, 因為在許多實際應用中, 既無法提前獲知系統的期望響應, 也不具備獲得與輸入信號高相關噪聲的條件。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的维纳（Wiener）滤波及Matlab代码的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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