文章目錄

• • 前言
  • 一、濾波簡(jiǎn)介
  • 二、匹配濾波器
  • 三、維納濾波器
  • • 1.時(shí)域求解
    • 2.維納-霍夫方程
    • 3.系統(tǒng)函數(shù)求解例題
    • 4.離散維納濾波器的Z域解
    • 5.最佳解例題
  • 四、維納預(yù)測(cè)
  • • 1.預(yù)測(cè)的定義
    • 2.純預(yù)測(cè)
    • 3.一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解
  • 五、卡爾曼濾波
  • • 1.概念及定義
    • 2.例題分析
    • 3.維納濾波與卡爾曼濾波的異同
  • 總結(jié)

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前言

本文的主要內(nèi)容是維納濾波和卡爾曼濾波的介紹，包含匹配濾波器、維納濾波器、維納預(yù)測(cè)、卡爾曼濾波等內(nèi)容。

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一、濾波簡(jiǎn)介

我們觀測(cè)到的信號(hào)都是受到噪聲干擾的，如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號(hào)提取出來，是信號(hào)處理的基本問題。
信號(hào)處理的目的就是要得到不受干擾影響的真實(shí)信號(hào)。 相應(yīng)的處理系統(tǒng)稱為濾波器。
已知x(n), x(n-1), …, x(n-m)，估計(jì)以后時(shí)刻的信號(hào)值s(n+N)，N≥1，這樣的估計(jì)問題稱為預(yù)測(cè)問題；
已知x(n), x(n-1), …, x(n-m)，估計(jì)當(dāng)前的信號(hào)值s(n)，稱為過濾或?yàn)V波；
已知x(n), x(n-1), …, x(n-m)，估計(jì)過去的信號(hào)值s(n-N)，N≥1，稱為平滑或內(nèi)插。
以估計(jì)結(jié)果與信號(hào)真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準(zhǔn)則。最小均方誤差準(zhǔn)則(MMSE, Minimum Mean Square Error)。
維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來解決從噪聲中提取信號(hào)的過濾或預(yù)測(cè)問題。
維納濾波器的求解，要求知道隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律，即相關(guān)函數(shù)或功率譜密度。
維納濾波的最大缺點(diǎn)是僅適用于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。
匹配濾波器、維納濾波器是兩種常用的最優(yōu)濾波器。匹配濾波器能夠使濾波器的輸出達(dá)到最大的信噪比；維納濾波器能夠使濾波器的輸出的均方估計(jì)誤差最小。

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二、匹配濾波器

匹配濾波器的信噪比：

信噪比有最大值。

濾波器的輸出達(dá)到最大信噪比時(shí)，濾波器的幅頻特性與信號(hào)的幅頻特性相等，或者說二者匹配。
將白噪聲情況下的信噪比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。

匹配濾波器對(duì)波形相同而幅度不同的時(shí)延信號(hào)具有適應(yīng)性。
信號(hào)通過匹配濾波器，相當(dāng)于對(duì)信號(hào)作相關(guān)處理。

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三、維納濾波器

1.時(shí)域求解

假定濾波器的輸入和期望響應(yīng)均為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其二階統(tǒng)計(jì)特性，則可根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則求得最優(yōu)濾波器的參數(shù)，這種濾波器稱為維納濾波器。
維納濾波器實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)意義上最優(yōu)的對(duì)未知系統(tǒng)的逼近。

均方誤差達(dá)到最小的充分必要條件是誤差信號(hào)與輸入信號(hào)正交，這就是正交性原理。
正交性原理為判斷濾波器是否工作于最佳狀態(tài)提供了一個(gè)數(shù)學(xué)方法。
當(dāng)濾波器工作于最佳狀態(tài)時(shí)，輸出信號(hào)與誤差信號(hào)也是正交的。
期望信號(hào)、估計(jì)值(濾波器輸出)與估計(jì)偏差(誤差信號(hào))的幾何關(guān)系如下圖所示。

當(dāng)濾波器處于最佳工作狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值加上估計(jì)偏差等于期望信號(hào)，即：

因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時(shí)，估計(jì)值y(n)的能量總是小于等于期望信號(hào)d(n)的能量。

2.維納-霍夫方程

維納-霍夫方程定義如下：

求解維納-霍夫方程可得最佳權(quán)系數(shù)，根據(jù)權(quán)系數(shù)是有限個(gè)還是無限個(gè)，可分別設(shè)計(jì)FIR型和IIR型的維納濾波器。

依次帶入k的值到上式中有：

再進(jìn)行如下定義：

寫成矩陣形式如下：

求逆得到：

也就是說，如果知道觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)時(shí)，通過矩陣求逆運(yùn)算，可得到FIR型維納濾波器的系統(tǒng)函數(shù)h(k)。
最小均方誤差：

3.系統(tǒng)函數(shù)求解例題

4.離散維納濾波器的Z域解

若不考慮濾波器的因果性，維納-霍夫方程可以寫為：

設(shè)d(n)=s(n)，對(duì)上式兩邊做Z變換有：

這里的下標(biāo)opt就是optimal的縮寫，即最佳的意思。
假設(shè)信號(hào)與噪聲不相關(guān)，即r_sv(m)=0 (其中x(n)=s(n)+v(n))，則有：

從而

當(dāng)噪聲為0時(shí)，信號(hào)全部通過；當(dāng)信號(hào)為0時(shí)，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波的確有濾除噪聲的能力。

非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性如下。

把信號(hào)轉(zhuǎn)化為白噪聲的過程稱為白化，對(duì)應(yīng)的濾波器稱為白化濾波器。
非因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式：

非因果維納濾波器的最小均方誤差：

因果維納濾波器的復(fù)頻域最佳解的一般表達(dá)式：

因果維納濾波器的最小均方誤差：

因果維納濾波器設(shè)計(jì)的步驟：

5.最佳解例題

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四、維納預(yù)測(cè)

1.預(yù)測(cè)的定義

預(yù)測(cè)就是根據(jù)過去的觀測(cè)數(shù)據(jù)來估計(jì)將來的數(shù)據(jù)。
信號(hào)內(nèi)部是存在關(guān)聯(lián)性的，預(yù)測(cè)就是利用數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性，根據(jù)一部分?jǐn)?shù)據(jù)推知其余的數(shù)據(jù)。
數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)性越密切，預(yù)測(cè)越準(zhǔn)確。對(duì)于白噪聲，由于數(shù)據(jù)之間沒有關(guān)聯(lián)性，所以無法預(yù)測(cè)。
系統(tǒng)是有慣性的，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)可以看作是白噪聲激勵(lì)線性系統(tǒng)的輸出，此時(shí)的輸入是無關(guān)聯(lián)的白噪聲，而輸出是有關(guān)聯(lián)的信號(hào)。
在維納預(yù)測(cè)中，有：

故非因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為：

因果維納預(yù)測(cè)器的最佳解為：

2.純預(yù)測(cè)

x(n) = s(n) + v(n)，v(n)是噪聲，當(dāng)v(n) = 0，期望信號(hào)為s(n+N)，N≥1，此種情況稱為純預(yù)測(cè)。
純預(yù)測(cè)情況下的輸入信號(hào)功率譜及維納濾波器的最佳解分別為：

純預(yù)測(cè)例題如下：

由上面的例題可以知道，純預(yù)測(cè)維納濾波器是一個(gè)比例放大器。

3.一步線性預(yù)測(cè)的時(shí)域解

已知x(n-1), x(n-2)…, x(n-p)，預(yù)測(cè)x(n)，稱為一步線性預(yù)測(cè)。
Yule-Walker 方程：

方程的特點(diǎn)：除了第一個(gè)方程外，其余都是齊次方程；與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測(cè)數(shù)據(jù)x(n)與期望信號(hào)s(n)的互相關(guān)函數(shù)。
一步線性預(yù)測(cè)的例題如下：

其中涉及到的Z變換如下：

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五、卡爾曼濾波

1.概念及定義

維納濾波器要求已知信號(hào)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，僅適用于處理一維、平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。
為了解決非平穩(wěn)、多輸入、多輸出隨機(jī)信號(hào)的估計(jì)問題，卡爾曼提出了遞推最優(yōu)估計(jì)理論。
遞推法計(jì)算過程：

由遞推法可知，n時(shí)刻的估計(jì)值可以由n-1時(shí)刻的估計(jì)值和當(dāng)前觀測(cè)值加權(quán)確定。
卡爾曼遞推算法根據(jù)前一個(gè)時(shí)刻狀態(tài)的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)數(shù)據(jù)，遞推估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻的狀態(tài)值。適合于計(jì)算機(jī)處理，可以處理多維、非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)。
卡爾曼濾波的特點(diǎn)：
1.算法是遞推的，且狀態(tài)空間法采用在時(shí)域內(nèi)設(shè)計(jì)濾波器的方法，因而適用于多維隨機(jī)過程的估計(jì)；離散型卡爾曼算法適用于計(jì)算機(jī)處理。
2.用遞推法計(jì)算，不需要知道全部過去的值，用狀態(tài)方程描述狀態(tài)變量的動(dòng)態(tài)變化規(guī)律，因此信號(hào)可以是平穩(wěn)的，也可以是非平穩(wěn)的，即卡爾曼濾波適用于非平穩(wěn)過程。
3.卡爾曼濾波采取的誤差準(zhǔn)則仍為估計(jì)誤差的均方值最小。
卡爾曼濾波狀態(tài)方程和量測(cè)方程：

或者

卡爾曼遞推公式：

卡爾曼濾波就是利用觀測(cè)數(shù)據(jù)y(k)估計(jì)狀態(tài)向量x(k)的最佳值。卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小準(zhǔn)則。

2.例題分析

3.維納濾波與卡爾曼濾波的異同

維納濾波要求已知觀測(cè)數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)和觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)，通過建立濾波器進(jìn)行濾波處理得到期望信號(hào)的估計(jì)值；卡爾曼濾波要求已知觀測(cè)數(shù)據(jù)與期望數(shù)據(jù)之間的數(shù)學(xué)模型（狀態(tài)方程和量測(cè)方程），通過遞推算法得到期望信號(hào)的估計(jì)值。
維納濾波的解是以H(z)或h(n)的形式給出，卡爾曼濾波的解是以狀態(tài)變量的估計(jì)值給出，二者都采用均方誤差最小準(zhǔn)則, 但卡爾曼濾波有一個(gè)過渡過程，在過渡期間其結(jié)果與維納濾波不完全相同，但過渡過程結(jié)束達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，二者的處理結(jié)果是相同的，前提是處理平穩(wěn)信號(hào)時(shí)。

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總結(jié)

以上就是維納濾波和卡爾曼濾波的所有內(nèi)容了，注意對(duì)比記憶，本文參考的課本是丁玉美數(shù)字信號(hào)處理-時(shí)域離散隨機(jī)信號(hào)處理。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的维纳滤波和卡尔曼滤波的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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