文章目錄

• • 前言
  • 一、濾波簡介
  • 二、匹配濾波器
  • 三、維納濾波器
  • • 1.時域求解
    • 2.維納-霍夫方程
    • 3.系統函數求解例題
    • 4.離散維納濾波器的Z域解
    • 5.最佳解例題
  • 四、維納預測
  • • 1.預測的定義
    • 2.純預測
    • 3.一步線性預測的時域解
  • 五、卡爾曼濾波
  • • 1.概念及定義
    • 2.例題分析
    • 3.維納濾波與卡爾曼濾波的異同
  • 總結

---

前言

本文的主要內容是維納濾波和卡爾曼濾波的介紹，包含匹配濾波器、維納濾波器、維納預測、卡爾曼濾波等內容。

---

一、濾波簡介

我們觀測到的信號都是受到噪聲干擾的，如何最大限度地抑制噪聲，將有用信號提取出來，是信號處理的基本問題。
信號處理的目的就是要得到不受干擾影響的真實信號。 相應的處理系統稱為濾波器。
已知x(n), x(n-1), …, x(n-m)，估計以后時刻的信號值s(n+N)，N≥1，這樣的估計問題稱為預測問題；
已知x(n), x(n-1), …, x(n-m)，估計當前的信號值s(n)，稱為過濾或濾波；
已知x(n), x(n-1), …, x(n-m)，估計過去的信號值s(n-N)，N≥1，稱為平滑或內插。
以估計結果與信號真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準則。最小均方誤差準則(MMSE, Minimum Mean Square Error)。
維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來解決從噪聲中提取信號的過濾或預測問題。
維納濾波器的求解，要求知道隨機信號的統計分布規律，即相關函數或功率譜密度。
維納濾波的最大缺點是僅適用于平穩隨機信號。
匹配濾波器、維納濾波器是兩種常用的最優濾波器。匹配濾波器能夠使濾波器的輸出達到最大的信噪比；維納濾波器能夠使濾波器的輸出的均方估計誤差最小。

---

二、匹配濾波器

匹配濾波器的信噪比：

信噪比有最大值。

濾波器的輸出達到最大信噪比時，濾波器的幅頻特性與信號的幅頻特性相等，或者說二者匹配。
將白噪聲情況下的信噪比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。

匹配濾波器對波形相同而幅度不同的時延信號具有適應性。
信號通過匹配濾波器，相當于對信號作相關處理。

---

三、維納濾波器

1.時域求解

假定濾波器的輸入和期望響應均為廣義平穩隨機過程，且已知其二階統計特性，則可根據最小均方誤差準則求得最優濾波器的參數，這種濾波器稱為維納濾波器。
維納濾波器實現了統計意義上最優的對未知系統的逼近。

均方誤差達到最小的充分必要條件是誤差信號與輸入信號正交，這就是正交性原理。
正交性原理為判斷濾波器是否工作于最佳狀態提供了一個數學方法。
當濾波器工作于最佳狀態時，輸出信號與誤差信號也是正交的。
期望信號、估計值(濾波器輸出)與估計偏差(誤差信號)的幾何關系如下圖所示。

當濾波器處于最佳工作狀態時，估計值加上估計偏差等于期望信號，即：

因此在濾波器處于最佳狀態時，估計值y(n)的能量總是小于等于期望信號d(n)的能量。

2.維納-霍夫方程

維納-霍夫方程定義如下：

求解維納-霍夫方程可得最佳權系數，根據權系數是有限個還是無限個，可分別設計FIR型和IIR型的維納濾波器。

依次帶入k的值到上式中有：

再進行如下定義：

寫成矩陣形式如下：

求逆得到：

也就是說，如果知道觀測數據與期望信號的互相關函數和觀測數據的自相關函數時，通過矩陣求逆運算，可得到FIR型維納濾波器的系統函數h(k)。
最小均方誤差：

3.系統函數求解例題

4.離散維納濾波器的Z域解

若不考慮濾波器的因果性，維納-霍夫方程可以寫為：

設d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換有：

這里的下標opt就是optimal的縮寫，即最佳的意思。
假設信號與噪聲不相關，即r_sv(m)=0 (其中x(n)=s(n)+v(n))，則有：

從而

當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波的確有濾除噪聲的能力。

非因果維納濾波器的傳輸函數的幅頻特性如下。

把信號轉化為白噪聲的過程稱為白化，對應的濾波器稱為白化濾波器。
非因果維納濾波器的復頻域最佳解的一般表達式：

非因果維納濾波器的最小均方誤差：

因果維納濾波器的復頻域最佳解的一般表達式：

因果維納濾波器的最小均方誤差：

因果維納濾波器設計的步驟：

5.最佳解例題

---

四、維納預測

1.預測的定義

預測就是根據過去的觀測數據來估計將來的數據。
信號內部是存在關聯性的，預測就是利用數據之間的關聯性，根據一部分數據推知其余的數據。
數據之間的關聯性越密切，預測越準確。對于白噪聲，由于數據之間沒有關聯性，所以無法預測。
系統是有慣性的，平穩隨機信號可以看作是白噪聲激勵線性系統的輸出，此時的輸入是無關聯的白噪聲，而輸出是有關聯的信號。
在維納預測中，有：

故非因果維納預測器的最佳解為：

因果維納預測器的最佳解為：

2.純預測

x(n) = s(n) + v(n)，v(n)是噪聲，當v(n) = 0，期望信號為s(n+N)，N≥1，此種情況稱為純預測。
純預測情況下的輸入信號功率譜及維納濾波器的最佳解分別為：

純預測例題如下：

由上面的例題可以知道，純預測維納濾波器是一個比例放大器。

3.一步線性預測的時域解

已知x(n-1), x(n-2)…, x(n-p)，預測x(n)，稱為一步線性預測。
Yule-Walker 方程：

方程的特點：除了第一個方程外，其余都是齊次方程；與維納-霍夫方程相比，不需要知道觀測數據x(n)與期望信號s(n)的互相關函數。
一步線性預測的例題如下：

其中涉及到的Z變換如下：

---

五、卡爾曼濾波

1.概念及定義

維納濾波器要求已知信號和噪聲的統計特性，僅適用于處理一維、平穩隨機信號。
為了解決非平穩、多輸入、多輸出隨機信號的估計問題，卡爾曼提出了遞推最優估計理論。
遞推法計算過程：

由遞推法可知，n時刻的估計值可以由n-1時刻的估計值和當前觀測值加權確定。
卡爾曼遞推算法根據前一個時刻狀態的估計值和當前時刻的觀測數據，遞推估計當前時刻的狀態值。適合于計算機處理，可以處理多維、非平穩隨機信號。
卡爾曼濾波的特點：
1.算法是遞推的，且狀態空間法采用在時域內設計濾波器的方法，因而適用于多維隨機過程的估計；離散型卡爾曼算法適用于計算機處理。
2.用遞推法計算，不需要知道全部過去的值，用狀態方程描述狀態變量的動態變化規律，因此信號可以是平穩的，也可以是非平穩的，即卡爾曼濾波適用于非平穩過程。
3.卡爾曼濾波采取的誤差準則仍為估計誤差的均方值最小。
卡爾曼濾波狀態方程和量測方程：

或者

卡爾曼遞推公式：

卡爾曼濾波就是利用觀測數據y(k)估計狀態向量x(k)的最佳值。卡爾曼濾波和維納濾波都是采用均方誤差最小準則。

2.例題分析

3.維納濾波與卡爾曼濾波的異同

維納濾波要求已知觀測數據的自相關函數和觀測數據與期望信號的互相關函數，通過建立濾波器進行濾波處理得到期望信號的估計值；卡爾曼濾波要求已知觀測數據與期望數據之間的數學模型（狀態方程和量測方程），通過遞推算法得到期望信號的估計值。
維納濾波的解是以H(z)或h(n)的形式給出，卡爾曼濾波的解是以狀態變量的估計值給出，二者都采用均方誤差最小準則, 但卡爾曼濾波有一個過渡過程，在過渡期間其結果與維納濾波不完全相同，但過渡過程結束達到穩態后，二者的處理結果是相同的，前提是處理平穩信號時。

---

總結

以上就是維納濾波和卡爾曼濾波的所有內容了，注意對比記憶，本文參考的課本是丁玉美數字信號處理-時域離散隨機信號處理。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的维纳滤波和卡尔曼滤波的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。