機器人學導論 一、空間變換（1）位姿

• 前言
• 坐標系
• 位姿
• • 位置
  • 姿態
  • 位姿變換
• 映射
• • 平移
  • 旋轉
  • 變換
  • 復合變換
  • 逆變換
• 旋轉矩陣，變換矩陣的意義
• • 旋轉矩陣的意義
  • 變換矩陣的意義
• 后記

前言

由于視覺伺服與機械臂關系緊密，因此還是從基礎開始，把機器人運動學記錄一下。

本篇記錄剛體的位姿。實際上，空間變換在SLAM專欄里已經講過一次了，不過機器人學導論給出了更詳細的剛體運動說明。

坐標系

通常有兩個坐標系，一個是用于參考的世界坐標系（笛卡爾坐標系），一個是以剛體質心為原點的剛體坐標系。

機器人坐標系遵循右手定則，如下圖所示

位姿

位姿就是位置與姿態，對應位移與旋轉。機器人的位姿必須以世界坐標系作為參照。

位姿表示的是參考系之間的關系。

位置

剛體的位置由矢量表示。

上圖中有一個點$P$，以坐標系$\{A\}$為參考，就可以將矢量$OP$來表示${}^{A}P$的位置，其左上標表示參考系。${}^{A}P$的坐標表示為：
$${}^{A}P=[p_x,p_y,p_z{]}^T$$

姿態

剛體的姿態由剛體坐標系在參考系中三個主軸的單位矢量表示。

上圖中，${\hat{X}}_B,{\hat{Y}}_B,{\hat{Z}}_B$表示右上角剛體的三個主軸方向的單位矢量，它們在參考系$\{A\}$中的表示為${}^A{\hat{X}}_B{,}^A{\hat{Y}}_B{,}^A{\hat{Z}}_B$。這三個單位矢量就組成了旋轉矩陣：
$${}_B^{A}R={(}^A{\hat{X}}_B{}^A{\hat{Y}}_B{}^A{\hat{Z}}_B)$$

那么如何計算剛體的主軸單位矢量在參考系中的坐標呢？

以${}^A{\hat{X}}_B$為例，其x坐標的值實際上就是${}^A{\hat{X}}_B$在參考系的X軸上的投影，y, z坐標就是在參考系的Y, Z軸上的投影：
$${}_B^{A}R={(}^A{\hat{X}}_B{}^A{\hat{Y}}_B{}^A{\hat{Z}}_B)=?\begin{array}{ccc}{\hat{X}}_B?{\hat{X}}_A& {\hat{Y}}_B?{\hat{X}}_A& {\hat{Z}}_B?{\hat{X}}_A\\ {\hat{X}}_B?{\hat{Y}}_A& {\hat{Y}}_B?{\hat{Y}}_A& {\hat{Z}}_B?{\hat{Y}}_A\\ {\hat{X}}_B?{\hat{Z}}_A& {\hat{Y}}_B?{\hat{Y}}_A& {\hat{Z}}_B?{\hat{X}}_A\end{array}?$$

旋轉矩陣是個正交矩陣，證明也很簡單：
$${}_B^A{R}^T{}_B^{A}R=?\begin{array}{c}{}^A{\hat{X}}_B^T\\ {}^A{\hat{Y}}_B^T\\ {}^A{\hat{Z}}_B^T\end{array}?{(}^A{\hat{X}}_B{}^A{\hat{Y}}_B{}^A{\hat{Z}}_B)=I_3$$
同方向的單位矢量的內積為1，相互垂直的單位矢量內積為0，因此${}^A{\hat{X}}_B^T{}^A{\hat{X}}_B=1{,}^A{\hat{X}}_B^T{}^A{\hat{Y}}_B=0$，所以能得到上面的單位矩陣。

位姿變換

位姿變換指剛體坐標系的位置和姿態發生變化，即平移和旋轉，得到剛體系與參考系之間的相對位姿

仍然以圖2-2為例，剛體坐標系相對于參考系的位姿變換可表示為：
$${\{}_B^{A}R,{}^A{P}_{BORG}\}$$
也就是SLAM十四講中的$R,t$

映射

映射表示的是同一點在不同坐標系之間的坐標轉換。

映射包括平移和旋轉。

平移

平移與剛體坐標系原點的位置相關。

上圖中，已知${}^{B}P$表示點P在坐標系$\{B\}$中的位置，${}^A{P}_{BORG}$表示在參考系$\{A\}$下$\{B\}$原點的位置。則${}^{A}P$可表示為：
$${}^{A}P={}^{B}P+{}^A{P}_{BORG}$$

只有在兩個坐標系的姿態相同時，才能進行上面的平移。

旋轉

旋轉與剛體坐標系的姿態相關。

上圖中，已知${}^{B}P$表示點P在坐標系$\{B\}$中的位置。${}^{A}P$表示在參考系$\{A\}$下的位置，即矢量${}^{A}P$在參考系主軸方向${\hat{X}}_A,{\hat{Y}}_A,{\hat{Z}}_A$的投影（單位矢量內積）。此外，我們知道，向量內積需要在同一坐標系下表示才有意義。則${}^{A}P$可表示為：
$${}^{A}P=\left[\begin{array}{ccc}{}^B{\hat{X}}_A?{}^{B}P& {}^B{\hat{Y}}_A?{}^{B}P& {}^B{\hat{Z}}_A?{}^{B}P\end{array}\right]={}_B^{A}R{}^{B}P$$

變換

變換=先旋轉，后平移。

上圖中，需要使用${}^{B}P$表示${}^{A}P$。首先將${}^{B}P$映射到一個中間坐標系$\{B^{\prime }\}$，該坐標系姿態與$\{A\}$相同，原點與$\{B\}$相同。然后再用${}^{B^{\prime }}P$表示${}^{A}P$：
$${}^{A}P={}^{B^{\prime }}P+{}^A{P}_{B^{\prime }ORG}={}_B^{B^{\prime }}R{}^{B}P+{}^A{P}_{B^{\prime }ORG}={}_B^{A}R{}^{B}P+{}^A{P}_{BORG}$$
也就對應SLAM十四講中的$P^{\prime }=RP+t$

引入齊次矩陣，就有了變換矩陣的概念：
$$\begin{gathered} \left[\begin{array}{c}{}^{A}P\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{}_B^{A}R& {}^A{P}_{BORG}\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{}^{B}P\\ 1\end{array}\right] \\ { \\ }^{A}P={}_B^{A}T{}^{B}P \end{gathered}$$

復合變換

如果已知${}_B^{A}T,{}_C^{B}T$，則可以通過${}^{C}P$表示${}^{A}P$：
$${}^{A}P{=}_B^{A}T{}_C^{B}T{}^{C}P$$

逆變換

旋轉矩陣的逆：
$${}_B^{A}R={}_A^B{R}^T$$

變換矩陣的逆：
$$\left[\begin{array}{cc}{}_B^A{R}^T& {?}_B^A{R}^T{}^A{P}_{BORG}\\ 0& 1\end{array}\right]$$
變換矩陣的逆有兩種求法，一種是直接根據矩陣求逆；另一種是通過變換性質求逆。介紹一下后一種。

如果已知${}^{A}P$求${}^{B}P$，有：
$${}^{B}P={}_A^{B}R{}^{A}P+{}^B{P}_{AORG}$$
如果${}^{A}P$是$\{B\}$的原點，即：
$$\begin{gathered} 0{=}^B{P}_{BORG}{=}_A^{B}R{}^A{P}_{BORG}+{}^B{P}_{AORG} \\ {}^B{P}_{AORG}={?}_A^{B}R{}^A{P}_{BORG}={?}_B^A{R}^T{}^A{P}_{BORG} \\ {}^{B}P={}_B^A{R}^T{}^{A}P?{}_B^A{R}^T{}^A{P}_{BORG} \end{gathered}$$

旋轉矩陣，變換矩陣的意義

旋轉矩陣的意義

描述一個坐標系相對參考坐標系的姿態

將點從一個坐標系轉換到參考坐標系

將向量在一個坐標系中進行旋轉

變換矩陣的意義

描述一個坐標系相對參考坐標系的位姿

將點從一個坐標系轉換到參考坐標系

將向量在一個坐標系中先旋轉，后平移

后記

本篇實際上是SLAM十四講中位姿變換的更清晰的表述方法，參考系放左上標。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人学导论 一、空间变换（1）位姿，变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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