讀書筆記：數學分析新講第一冊

• • • 主要內容&特點
    • 體會
    • 附錄
    • • 預備知識 & 第一章 實數
      • 第二章 極限
      • 第三章 連續函數
      • 第四章 導數
      • 第五章 原函數與不定積分
      • 第六章 定積分
      • 第七章 微分方程初步

最近在閱讀張筑生老師的數學分析新講，這本書本來就是看到很多人推薦的，正好我想好好鞏固一下數學分析，所以從第一冊開始啃。現在讀畢首冊，偶然了解了張筑生老師的生平故事，頗為感動。只感覺有幸能夠閱讀到老師的書籍，作為一個后世的學子在書中聆聽大師的教誨。這里順便附一下豆瓣上轉載的王懇紀念張筑生寫的文章，不過原出處暫時找不到 https://book.douban.com/review/9021519/

本書有三冊，內容上還算有一定分界，再加上全部一次性讀完不是我水平所能做到的，所以書的小結各冊讀完分開撰寫。

主要內容&特點

第一冊主要由基礎知識和一元微積分相關內容組成，其中第一篇關于實數、極限和連續函數的討論花費了三章150頁，確實是一本數學分析書籍，非常重視分析的基礎。第二篇中，開始提到我們最熟悉的求導、積分內容，最后還初步討論了微分方程。書本沒有練習的題目，只有對于所介紹的原理十分應景的例題，然后就會踏入一些典型的應用領域，比如微分方程部分的開普勒行星運動定律等等。

因為有一定微積分知識，所以讀的時候會覺得后半篇沒有那么艱深，甚至會覺得蠻輕松。感覺書的特點在于第一篇的分析基礎，講的非常詳盡，從連續性、確界理論開始到序列、極限、收斂描述都非常清晰，并在微積分概念提出前就用樸素的方式證明了一些初等函數的極限問題。再往下鋪陳導數、不定積分、定積分的概念也順理成章。最后書中講微分方程時直接引出了歐拉公式，然后以開普勒和萬有引力的互推結束，甚至感覺有點震撼，感覺這個世界都可以通過幾個微分方程聯系起來。

體會

雖然閱讀時會有一些小小困難，但是還是感受到了前所未有的易讀和清晰，有些時候思想跳脫了、發現自己看不懂了也一點不擔心。因為在我前后翻看、重讀概念之后，原本看不懂的推導又能輕松理解。有學生回憶張筑生老師時會說：他的講授是如此清晰，讓資質平庸的自己都能理解。而這本數學分析新講，至少是第一冊，也能讓我這樣的門外漢能夠理解諸多原理的要義。

不過單單一本書不可能是全能的，如果要針對做題來說這本書并沒有什么訓練的題目，如果有考試的需要肯定得另找書籍。如果跟我一樣只是想鞏固一下數分的知識，這本書非常適合。

附錄

以下是我閱讀時進行的要點和問題梳理，如有謬誤，敬請讀者指教：

預備知識 & 第一章 實數

• Heviside 海維賽德函數和 Direchlet 狄里克萊函數是什么
• 啞指標是什么

實數

• 規范小數的定義是什么，實數的三歧性是什么
• 上下確界 $infE,supE$ 是如何定義的（兩點）
• 如何證明確界定理 情形1 / 情形2
• 有序域是什么, 實數域 / 有理數域 / 復數域 是有序域嗎

不等式

• 絕對值不等式有哪些，如何推導

• Bernoulli 伯努利不等式是什么, 如何證明

• 幾何平均數不等式是什么, 如何證明

• 如何證明 $sin(x)<x<tan(x)$ 不等式

第二章 極限

無窮小序列和極限

• 上下界和無窮小序列是什么

• 無窮小序列的和、乘積、$n^k/b^n$、$c^n/n!$ 、無窮小序列的算術平均數、幾何平均數 是否為無窮小序列，如何證明

• 一個序列能否有兩個極限，如何證明

• 夾逼定理是什么，如何證明 $lim\sqrt[n]{a_1{a}_2{a}_3...a_n}=A$

• 各類極限的 和差、成績、乘積、倒數 的結果是什么，如何利用無窮小序列證明

• 如何證明收斂序列有界

收斂原理

• 單調收斂原理是什么，如何通過迭代近似得到算術平方根
• 閉區間套原理是什么，如何證明
• Bolzano-Weierstrass 波爾查諾-維爾斯特拉斯定理是什么，如何證明
• 柯西收斂原理是什么，如何用于判斷序列收斂/不收斂

無窮大

• 實數系與擴充的實數系是什么
• Toeplitz數表、 Stolz 斯篤茲定理是什么

函數極限

• 鄰域是什么，怎么定義
• 函數極限的序列式定義和 $??\eta$ 定義分別是什么
• 單側極限和雙側極限的關系討論

第三章 連續函數

• 函數連續的定義是什么
• 介值定理是什么，如何用閉區間套原理證明，不動點是什么
• 閉區間上連續就有界，如何證明，在開區間上成立嗎
• 一致連續是什么，什么樣的有界連續區間是一直連續的？
• 如何衡量不同無窮量的大小，$O, o, $ ~ 的區別
• 幾個公式 $li{m}_{x\to 0}(1+1/x{)}^x,li{m}_{a\to 0}\frac{e^{\alpha }?1}{\alpha },li{m}_{\beta \to 0}\frac{\beta }{ln(1+\beta )}=1$
• $li{m}_{a\to 0}\frac{b^{\alpha }?1}{\alpha }=ln(b),li{m}_{a\to 0}\frac{(1+\alpha {)}^{\mu }?1}{\alpha }=\mu$
• $sin(x),cos(x),e^x,ln(1+x),(1+x{)}^{\mu }$ 這些的近似極限是什么，并證明

第四章 導數

導數

• 導數的概念, 如何用增量方式來解釋, 如何用萊布尼茲記號 / 拉格朗日記號來表示
• 拋物線/旋轉拋物面的光學性質是什么
• 可微性是什么, 微分定義是什么

求導

• 推導 $f(x)=u(x)v(x)g(x)=u(x)/v(x)$ 的倒數
• 羅列 $chx=\frac{e^x+e^{?x}}{2},chx=\frac{e^x?e^{?x}}{2}$ 雙曲余弦與雙曲正弦的各類性質 類似三角函數,包括導數
• 如何求解 $(u(x{)}^{v(x)}{)}^{\prime }$
• 反函數的求導法則, 以及如何用于解釋 $ln(x),e^x$ 互為反函數
• 求 $arcsin(y),arccos(y),arctan(y)$ 的導數,利用反函數求導法則
• 參數式的求導公式, 如何推導
• 極坐標切線 - 極徑的夾角的關系, 他們的正切是多少,并推導
• 隱函數求導的好處,如何用對數求導法,利用隱函數求導得到 $y=u(x{)}^{v(x)}$ 的導數
• 高階乘積 導數的Leibnitz公式是什么,如何證明
• 參數式的二階求導結果,如何推導
• 什么是無窮小增量公式 / Fermat 費馬定理
• 臨界點是什么, 臨界點與極值的關系
• 羅爾Rolle定理 拉格朗日定理 $f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x?x_0)$ 三者內容是什么, 是什么公式
• 極值的第一第二充分條件是什么
• 光學的費馬定理如何利用極值定理進行證明和求解

第五章 原函數與不定積分

普通積分

• 原函數的定義是什么
• $\int \frac{dx}{co{s}^{2}x},\int \frac{dx}{1+x^2},\int \frac{dx}{\sqrt{1?x^2}}$ , 的不定積分是什么
• 換元積分法有哪兩種
• 分部積分法是什么

有理函數積分

• 什么是既約真分式
• 既約真分式有哪兩種分解方式?
• $R(sinx,cosx)dx,R(x,\sqrt{a{x}^2+bx+c})dx,R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+\beta }{\gamma x+\delta }})dx,x^{\lambda }(a+b{x}^{\mu })dx$, 如何通過有理化進行

第六章 定積分

• 黎曼積分的概念是什么，以及如何使用 $??\delta$ 方式重述該定義
• 如何證明積分的可加性，利用黎曼積分的概念
• 積分的中值定理是什么
• 牛頓 - 萊布尼茲公式是什么
• 定積分的微元是什么，定積分微元法的四個步驟是什么
• 曲線弧長的公式是什么，如何推導證明、旋轉曲面的面積如何推導、以及運用的不等式的差異

第七章 微分方程初步

• 一階線性微分方程：$\frac{dx}{dt}+ax=0,\frac{dx}{dt}+ax=b(t)$ 如何求解
• 變量分離型微分方程：$$\frac{dx}{dt}=a(t)x,\frac{dx}{dt}=f(t)g(x),\frac{dx}{dt}=f(\frac{x}{t}),\frac{dx}{dt}=\frac{\alpha x+\beta t}{\gamma x+\delta t},\frac{dx}{dt}=\frac{\alpha x+\beta t+\lambda }{\gamma x+\delta t+\mu }$$ 幾類式子如何進行變量分離
• 復數的除法，Cauchy不等式是什么
• 歐拉公式是什么，如何證明
• 非齊次線性微分方程與齊次線性微分方程解的關系
• 如何通過引入算子多項式和特征多項式求解二階常系數線性微分方程，如何理解算子
• 如何求解一般n階常系數線性微分方程
• 應用：彈性振動運動方程推演、開普勒行星運動定律與萬有引力定律的互推

總結

以上是生活随笔為你收集整理的读书笔记：数学分析新讲第一册的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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