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概率论与数理统计(陈希孺)笔记2.2

發(fā)布時間：2023/12/14 编程问答 33 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了概率论与数理统计(陈希孺)笔记2.2 小編覺得挺不錯的,現(xiàn)在分享給大家,幫大家做個參考.

2.2 隨機向量

若隨機變量 $X1,X2,?,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 定義在同一個樣本空間 $Ω\Omega$ 上, 則稱 $(X1,X2,?,\left(X_{1}, X_{2}, \cdots,\right.$ , $X_{n}$ ) 為一個 $n$ 維隨機向量或 $n$ 維隨機變量。

我們雖然可以仿照一維隨機變量定義多維隨機變量的分布函數(shù),但分布函數(shù)在多維中意義不大,這里僅給出其定義.

$X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 為一個 $n$ 維隨機向量, 對任意實數(shù) $x1,?,xnx_{1}, \cdots, x_{n}$ , 稱 $n$ 元函數(shù) $F(x1,?,xn)=P(X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn)F\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=P\left(X_{1} \leqslant x_{1}, X_{2} \leqslant x_{2}, \cdots, X_{n} \leqslant x_{n}\right)$ 為隨機向量 $X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 的分布函數(shù)。

下面介紹連續(xù)性隨機向量和連續(xù)型隨機向量的分布.

2.2.1 離散型隨機向量的分布

設(shè) $n$ 維隨機向量 $X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 的每一個分量 $X_{i}$ 都是一維離散型隨機變量, $\cdots, n$ , 則稱 $X$ 為離散型的。若 ${ai1,ai2,?}\left\{a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots\right\}$ 為 $X_{i}$ 的全部可能值, 則對 $jk=1,2,?,k=1,2,?,nj_{k}=1,2, \cdots, \quad k=1,2, \cdots, n$ , 概率
$p(j1,j2,?,jn)=P(X1=a1j1,X2=a2j2,?,Xn=anjn)p\left(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}\right)=P\left(X_{1}=a_{1 j_{1}}, X_{2}=a_{2 j_{2}}, \cdots, X_{n}=a_{n j_{n}}\right)$
稱為隨機向量 $X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 的概率函數(shù)或概率分布率。

多項分布

多項分布式最重要的離散型多維分布,其定義如下:

設(shè) $A1,A2,?,AnA_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 是某一試驗之下的完備事件群.現(xiàn)在將試驗獨立地重復(fù) $N$ 次, 而以 $X_{i}$ 記在這 $N$ 次試驗中事件 $A_{i}$ 出現(xiàn)的次數(shù), $\cdots, n$ , 則 $X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 的概率分布為多項分布,記為 $M(N;p1,?,pn)M\left(N ; p_{1}, \cdots, p_{n}\right)$ .

易得其公式為

$P(X1=k1,X2=k2,?,Xn=kn)=N!k1!k2!?kn!p1kp2k?pnnknP\left(X_{1}=k_{1}, X_{2}=k_{2}, \cdots, X_{n}=k_{n}\right)=\frac{N !}{k_{1} ! k_{2} ! \cdots k_{n} !} p_{1}^{k} p_{2}^{k} \cdots p_{n^{n}}^{k_{n}}$

該公式直觀理解就是將 $N$ 個相異物體分成 $n$ 堆, 各堆依次有 $k1,k2,?,knk_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 件,每件物品有 $p_i$ 的概率分到第 $i$ 堆.

2.2.2 連續(xù)型隨機向量的分布

與離散型隨機向量的定義不同, 連續(xù)型隨機向量不能簡單地定義為 “其各分量都是一維連續(xù)型隨機變量的那種隨機向量”.舉一個例子:設(shè) $X1～X_{1} \sim$ $R(0,1), X_{2}=X_{1}$ , 則隨機向量 $(X1,X2)\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 的兩個分量 $X_{1}, X_{2}$ 都是連續(xù)型的.但 $X_1,X_2)$ 只能在單位正方形的對角線上取值,其概率之和必然為0.故不是連續(xù)型隨機向量.

連續(xù)型隨機向量的定義如下:

設(shè) $X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 是一個 $n$ 維隨機向量.其取值可視為 $n$ 維歐氏空間 $R^{n}$ 中的一個點. 如果 $X$ 的全部取值能充滿 $R^{n}$ 中某一區(qū)域,則稱它是連續(xù)型的.

若 $f(x1,?,xn)f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 是定義在 $R^{n}$ 上的非負函數(shù),使對 $R^{n}$ 中的任何集合 $A$ , 有
$\in A)=\int_{A} \cdots \int f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \mathrmozvdkddzhkzd x_{1} \cdots \mathrmozvdkddzhkzd x_{n}$
則稱 $f$ 是 $X$ 的(概率)密度函數(shù),反應(yīng)了 $X$ 落在某點 $(x1,?,xn)\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 的概率大小.

二維正態(tài)分布

二維正態(tài)分布的概率密度函數(shù)如下.該分布記為 $N(a,b,σ12,σ22,ρ)N\left(a, b, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)$

$p(x,y)=12πσ1σ21?ρ2exp?{?12(1?ρ2)[(x?μ1σ1)2?2ρ(x?μ1σ1)(y?μ2σ2)+(y?μ2σ2)2]}\begin{aligned} p(x, y)=& \frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)^{2}\right.\right.\\ &\left.\left.-2 \rho\left(\frac{x-\mu_{1}}{\sigma_{1}}\right)\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)+\left(\frac{y-\mu_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}\right]\right\} \end{aligned}$

二維正態(tài)分布的一個例子為一群人身高和體重的聯(lián)合分布.

2.2.3 邊緣分布

邊緣分布說白了就是求隨機向量某個分量的分布.

其公式為

$P\left(X_{1}=a_{1 k}\right)=\sum_{j_{2}, \cdots, j_{n}} p\left(k, j_{2}, \cdots, j_{n}\right), k=1,2, \cdots$

$f_{1}\left(x_{1}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mathrmozvdkddzhkzd x_{2} \cdots \mathrmozvdkddzhkzd x_{n}$

這些公式也可以看作是全概率公式.

例如,對于離散情況,要求 $P(X_1=a_{1k})$ .可以將事件A記為 ${X_1=a_{1k}\}$ ,將事件 $B_i$ 記為 ${X2=j2,?,Xn=jn}\{X_2=j_2,\cdots,X_n=j_n\}$ ,窮盡 $j2,?,jnj_2,\cdots,j_n$ 的所有取值情況,求該情況下事件 $A$ 發(fā)生的條件概率 $p(k,j2,?,jn)p\left(k, j_{2}, \cdots, j_{n}\right)$ ,再累加起來記為事件A發(fā)生的概率.
$P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+?=∑j2,?,jnp(k,j2,?,jn)\begin{aligned} P(A)&=P\left(B_{1}\right) P\left(A \mid B_{1}\right)+P\left(B_{2}\right) P\left(A \mid B_{2}\right)+\cdots \\ &=\sum_{j_{2}, \cdots, j_{n}} p\left(k, j_{2}, \cdots, j_{n}\right) \end{aligned}$
下面給出離散型和連續(xù)型的例子.

多項分布的邊緣分布

設(shè) $X=(X1,?,Xn)X=\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 服從多項分布 $M(N;p1,?,M\left(N ; p_{1}, \cdots,\right.$ , $p_{n}$ ), 要求其邊緣分布. 例如,考慮 $X_{1}$ , 我們把事件 $A_{1}$ 作為一方, $A2+?+AnA_{2}+\cdots+A_{n}$ 作為一方(它就是 $Aˉ1)\left.\bar{A}_{1}\right)$ , 那么, $X_{1}$ 就是在 $N$ 次獨立試驗中,事件 $A_{1}$ 發(fā)生的次數(shù),而在每次試驗中 $A_{1}$ 發(fā)生的概率保持為 $p_{1}$ , 經(jīng)過這一分析, 不待計算就可以明了: $X_{1}$ 的分布就是二項分布 $B(N,p1)B\left(N, p_{1}\right)$ .

陳希孺在書中給出了詳細的代數(shù)方法的證明過程,但正如陳希孺所說,學(xué)學(xué)概統(tǒng)更重要的式要形成概率思維,分析各種公式的概率意義和直觀意義.所以這里不給出證明.

二維正態(tài)分布的邊緣分布

若 $(X1,X2)\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 有二維正態(tài)分布 $N(a,b,σ21,σ22,ρ)N\left(a, b, \sigma_{2}^{1}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)$ , 則 $X_{1}$ , $X_{2}$ 的邊緣分布分別是一維正態(tài)分布 $N(a,σ12)N\left(a, \sigma_{1}^{2}\right)$ 和 $N(b,σ22)N\left(b, \sigma_{2}^{2}\right)$ .

二維正態(tài)分布揭示了一個有趣的事實:一個隨機向量 $X =$ $(X1,?,Xn)\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right)$ 的分布 $F$ 足以決定其任一分量 $X_{i}$ 的 $(\left(\right.$ 邊緣)分布 $F_{i}$ , 但反過來不對: 即使知道了所有 $X_{i}$ 的邊緣分布 $Fi,i=1,?,nF_{i}, i=1, \cdots, n$ , 也足以決定 $X$ 的分布 $F$ .因為同樣的 $N(a,σ12)N\left(a, \sigma_{1}^{2}\right)$ 和 $N(b,σ22)N\left(b, \sigma_{2}^{2}\right)$ ,有不同的 $ρ\rho$ 取值.

這個現(xiàn)象的解釋是:邊緣分布只分別考慮了單個變量 $X_{i}$ 的情況,而末涉及它們之間的關(guān)系,而這個信息卻是包含在 $(X1,?,X.)\left(X_{1}, \cdots, X_{.}\right)$ 的分布之內(nèi)的,.在二維正態(tài)分布中, $ρ\rho$ 這個參數(shù)正好刻畫了兩分量 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 之間的關(guān)系.

例如,我們用matlab作圖,考察 $N(25,16)N\left(25, 16\right)$ 和 $N(25,64)N\left(25, 64\right)$ 在不同 $ρ\rho$ 下的概率密度.下面三張圖展示了 $ρ=0,0.5,?0.5\rho=0,0.5,-0.5$ 時對應(yīng)的概率密度.同時我們可以看到, $N(a,b,σ21,σ22,ρ)N\left(a, b, \sigma_{2}^{1}, \sigma_{2}^{2}, \rho\right)$ 的概率密度函數(shù)在 $X O Y$ 平面的投影是一個橢圓.

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率论与数理统计(陈希孺)笔记2.2的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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