一、問題

甲、乙二人下象棋，每局甲勝的概率為a，乙勝的概率為b。為簡(jiǎn)化問題，設(shè)沒有和局的情況，這意味著a+b=1。設(shè)想甲的棋藝高于乙，即a>b?？紤]到這個(gè)情況，他們商定最終勝負(fù)的規(guī)則如下：
到什么時(shí)候?yàn)橹辜走B勝了三局而在此之前乙從未連勝二局，則甲勝;反之，若到什么時(shí)候?yàn)橹挂疫B勝了二局而在此之前甲從未連勝三局，則乙勝。

求“甲最終取勝”這個(gè)事件A的概率P(A)及“乙最終取勝”這個(gè)事件B的概率P(B)。

二、求解甲勝的概率過程

為方便計(jì)，分別以E和F表示甲、乙在特定的一局取勝的事件，有P(E)=a，P(F)=b?，F(xiàn)考慮“甲取勝”的事件 A，分兩種情況：

第一局甲勝而最終甲勝了
這一情況又可分解為許多子情況:對(duì)n=0，1，2，···，甲經(jīng)過n個(gè)“階段”后才取勝，每個(gè)階段是 EF 或EEF（注意：為了與下一階段互相獨(dú)立，一定要確保最后一個(gè)是F），然后接著來一個(gè)EEE。例如，甲經(jīng)過3個(gè)階段后獲勝的一種可能實(shí)戰(zhàn)結(jié)果為：EEF EFEEF EEE
即共下了11局甲才獲勝，其中第1，2，4，6，7，9，10，11局甲勝，其余乙勝。每個(gè)階段不是EF 就是EEF，這兩種情況互斥，又由獨(dú)立性，知每個(gè)階段的概率為ab+aab=ab(1+a)。
再由獨(dú)立性，知“經(jīng)n個(gè)階段后甲獲勝”的概率為。[ab(1+a)]ⁿa³,n可以為0，1，2，···，不同的n 互斥，于是這部分概率總和為

關(guān)于這個(gè)求和結(jié)果不清楚的可以參考《轉(zhuǎn)載：等比數(shù)列的求和公式，及其推導(dǎo)過程》算出等比數(shù)列和，在利用b=1-a及極限的知識(shí)即可求得。

第一局乙勝而最終甲勝了
既然第一局為F而最終甲勝，則第二局必須是E。故以第二局作起點(diǎn)看，我們回到了情況1，從而這部分的概率為bp，請(qǐng)注意，這里事實(shí)上已用了概率的乘法定理：
P(第一局乙勝且最終甲勝)=P(第一局乙勝)P(第二局甲勝且最終甲勝)
P(第一局乙勝) = b，P(第二局甲勝且最終甲勝) =p。綜合兩個(gè)情況(它們互斥)，由概率加法定理得：

三、求解乙勝的概率過程

求乙勝的概率過程與求甲勝的概率過程類似，不過需要分三種情況：

第一局乙勝，分為n+1個(gè)階段，前n個(gè)階段每個(gè)階段是FEE或FEFE，最后一個(gè)階段是FF，前n個(gè)階段每階段的概率是a2b（1+b）,最后一階段是b2，可以求得這種情況的概率為：P(B) = b2Σ（ab+a2b）ⁿ=b2/(1-ab(1+a))；

第一局甲勝，第二局乙勝，這個(gè)從第二局開始就是第一種情況，因此其概率為ab2/(1-ab(1+a))；

前兩局甲勝，這個(gè)從第二局開始就是第二種情況，因此其概率為a2b2/(1-ab(1+a))。

最終乙勝的概率為：（b2+ab2+a2b2）/（1-ab（1+a)）,由于a+b=1，可以計(jì)算得到:P(A)+P(B)=1。

四、小結(jié)

本文是根據(jù)陳希孺版《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》《第一章事件的概率》結(jié)合老猿自己的理解介紹的，大部分內(nèi)容來自書中原文，但補(bǔ)充了兩方面的內(nèi)容，一是求甲勝的概率的等比數(shù)列求和式子的結(jié)果的計(jì)算原理，二是求乙勝的每種情況的概率計(jì)算過程和結(jié)果。

這個(gè)例子值得細(xì)心品味。第一，它提供了一個(gè)涉及無限個(gè)事件的情況(在甲最終取勝前可以經(jīng)過任意多的“階段”)，以及在無窮個(gè)事件時(shí)使用概率加法定理。第二，本例告訴我們，在面對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件時(shí)，主要的方法是冷靜地分析，以設(shè)法把它分拆成一些互斥的簡(jiǎn)單情況。這里，必須細(xì)心確保互斥性又無遺漏，一著不慎，滿盤皆非。

更多人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)請(qǐng)參考專欄《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。

寫博不易，敬請(qǐng)支持：

如果閱讀本文于您有所獲，敬請(qǐng)點(diǎn)贊、評(píng)論、收藏，謝謝大家的支持！

關(guān)于老猿的付費(fèi)專欄

付費(fèi)專欄《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9607725.html 使用PyQt開發(fā)圖形界面Python應(yīng)用》專門介紹基于Python的PyQt圖形界面開發(fā)基礎(chǔ)教程，對(duì)應(yīng)文章目錄為《 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107580932 使用PyQt開發(fā)圖形界面Python應(yīng)用專欄目錄》；

付費(fèi)專欄《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10232926.html moviepy音視頻開發(fā)專欄 )詳細(xì)介紹moviepy音視頻剪輯合成處理的類相關(guān)方法及使用相關(guān)方法進(jìn)行相關(guān)剪輯合成場(chǎng)景的處理，對(duì)應(yīng)文章目錄為《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/107574583 moviepy音視頻開發(fā)專欄文章目錄》；

付費(fèi)專欄《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10581071.html OpenCV-Python初學(xué)者疑難問題集》為《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python圖形圖像處理 》的伴生專欄，是筆者對(duì)OpenCV-Python圖形圖像處理學(xué)習(xí)中遇到的一些問題個(gè)人感悟的整合，相關(guān)資料基本上都是老猿反復(fù)研究的成果，有助于OpenCV-Python初學(xué)者比較深入地理解OpenCV，對(duì)應(yīng)文章目錄為《https://blog.csdn.net/LaoYuanPython/article/details/109713407 OpenCV-Python初學(xué)者疑難問題集專欄目錄 》

付費(fèi)專欄《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_10762553.html Python爬蟲入門 》站在一個(gè)互聯(lián)網(wǎng)前端開發(fā)小白的角度介紹爬蟲開發(fā)應(yīng)知應(yīng)會(huì)內(nèi)容，包括爬蟲入門的基礎(chǔ)知識(shí)，以及爬取CSDN文章信息、博主信息、給文章點(diǎn)贊、評(píng)論等實(shí)戰(zhàn)內(nèi)容。

前兩個(gè)專欄都適合有一定Python基礎(chǔ)但無相關(guān)知識(shí)的小白讀者學(xué)習(xí)，第三個(gè)專欄請(qǐng)大家結(jié)合《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9979286.html OpenCV-Python圖形圖像處理 》的學(xué)習(xí)使用。

對(duì)于缺乏Python基礎(chǔ)的同仁，可以通過老猿的免費(fèi)專欄《https://blog.csdn.net/laoyuanpython/category_9831699.html 專欄：Python基礎(chǔ)教程目錄）從零開始學(xué)習(xí)Python。

如果有興趣也愿意支持老猿的讀者，歡迎購買付費(fèi)專欄。

老猿Python，跟老猿學(xué)Python！

? ? 前往老猿Python博文目錄 https://blog.csdn.net/LaoYuanPython ?

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的人工智能数学基础--概率与统计8：一个很有意思的下棋输赢概率问题的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。