一、問題

甲、乙二人下象棋，每局甲勝的概率為a，乙勝的概率為b。為簡化問題，設沒有和局的情況，這意味著a+b=1。設想甲的棋藝高于乙，即a>b。考慮到這個情況，他們商定最終勝負的規則如下：
到什么時候為止甲連勝了三局而在此之前乙從未連勝二局，則甲勝;反之，若到什么時候為止乙連勝了二局而在此之前甲從未連勝三局，則乙勝。

求“甲最終取勝”這個事件A的概率P(A)及“乙最終取勝”這個事件B的概率P(B)。

二、求解甲勝的概率過程

為方便計，分別以E和F表示甲、乙在特定的一局取勝的事件，有P(E)=a，P(F)=b。現考慮“甲取勝”的事件 A，分兩種情況：

第一局甲勝而最終甲勝了
這一情況又可分解為許多子情況:對n=0，1，2，···，甲經過n個“階段”后才取勝，每個階段是 EF 或EEF（注意：為了與下一階段互相獨立，一定要確保最后一個是F），然后接著來一個EEE。例如，甲經過3個階段后獲勝的一種可能實戰結果為：EEF EFEEF EEE
即共下了11局甲才獲勝，其中第1，2，4，6，7，9，10，11局甲勝，其余乙勝。每個階段不是EF 就是EEF，這兩種情況互斥，又由獨立性，知每個階段的概率為ab+aab=ab(1+a)。
再由獨立性，知“經n個階段后甲獲勝”的概率為。[ab(1+a)]ⁿa³,n可以為0，1，2，···，不同的n 互斥，于是這部分概率總和為

關于這個求和結果不清楚的可以參考《轉載：等比數列的求和公式，及其推導過程》算出等比數列和，在利用b=1-a及極限的知識即可求得。

第一局乙勝而最終甲勝了
既然第一局為F而最終甲勝，則第二局必須是E。故以第二局作起點看，我們回到了情況1，從而這部分的概率為bp，請注意，這里事實上已用了概率的乘法定理：
P(第一局乙勝且最終甲勝)=P(第一局乙勝)P(第二局甲勝且最終甲勝)
P(第一局乙勝) = b，P(第二局甲勝且最終甲勝) =p。綜合兩個情況(它們互斥)，由概率加法定理得：

三、求解乙勝的概率過程

求乙勝的概率過程與求甲勝的概率過程類似，不過需要分三種情況：

第一局乙勝，分為n+1個階段，前n個階段每個階段是FEE或FEFE，最后一個階段是FF，前n個階段每階段的概率是a2b（1+b）,最后一階段是b2，可以求得這種情況的概率為：P(B) = b2Σ（ab+a2b）ⁿ=b2/(1-ab(1+a))；

第一局甲勝，第二局乙勝，這個從第二局開始就是第一種情況，因此其概率為ab2/(1-ab(1+a))；

前兩局甲勝，這個從第二局開始就是第二種情況，因此其概率為a2b2/(1-ab(1+a))。

最終乙勝的概率為：（b2+ab2+a2b2）/（1-ab（1+a)）,由于a+b=1，可以計算得到:P(A)+P(B)=1。

四、小結

本文是根據陳希孺版《概率論與數理統計》《第一章事件的概率》結合老猿自己的理解介紹的，大部分內容來自書中原文，但補充了兩方面的內容，一是求甲勝的概率的等比數列求和式子的結果的計算原理，二是求乙勝的每種情況的概率計算過程和結果。

這個例子值得細心品味。第一，它提供了一個涉及無限個事件的情況(在甲最終取勝前可以經過任意多的“階段”)，以及在無窮個事件時使用概率加法定理。第二，本例告訴我們，在面對一個復雜事件時，主要的方法是冷靜地分析，以設法把它分拆成一些互斥的簡單情況。這里，必須細心確保互斥性又無遺漏，一著不慎，滿盤皆非。

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總結

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