人工智能数学基础--概率与统计8:一个很有意思的下棋输赢概率问题
一、問題
甲、乙二人下象棋,每局甲勝的概率為a,乙勝的概率為b。為簡化問題,設沒有和局的情況,這意味著a+b=1。設想甲的棋藝高于乙,即a>b。考慮到這個情況,他們商定最終勝負的規則如下:
到什么時候為止甲連勝了三局而在此之前乙從未連勝二局,則甲勝;反之,若到什么時候為止乙連勝了二局而在此之前甲從未連勝三局,則乙勝。
求“甲最終取勝”這個事件A的概率P(A)及“乙最終取勝”這個事件B的概率P(B)。
二、求解甲勝的概率過程
為方便計,分別以E和F表示甲、乙在特定的一局取勝的事件,有P(E)=a,P(F)=b。現考慮“甲取勝”的事件 A,分兩種情況:
這一情況又可分解為許多子情況:對n=0,1,2,···,甲經過n個“階段”后才取勝,每個階段是 EF 或EEF(注意:為了與下一階段互相獨立,一定要確保最后一個是F),然后接著來一個EEE。例如,甲經過3個階段后獲勝的一種可能實戰結果為:EEF EFEEF EEE
即共下了11局甲才獲勝,其中第1,2,4,6,7,9,10,11局甲勝,其余乙勝。每個階段不是EF 就是EEF,這兩種情況互斥,又由獨立性,知每個階段的概率為ab+aab=ab(1+a)。
再由獨立性,知“經n個階段后甲獲勝”的概率為。[ab(1+a)]na3,n可以為0,1,2,···,不同的n 互斥,于是這部分概率總和為
關于這個求和結果不清楚的可以參考《轉載:等比數列的求和公式,及其推導過程》算出等比數列和,在利用b=1-a及極限的知識即可求得。
既然第一局為F而最終甲勝,則第二局必須是E。故以第二局作起點看,我們回到了情況1,從而這部分的概率為bp,請注意,這里事實上已用了概率的乘法定理:
P(第一局乙勝且最終甲勝)=P(第一局乙勝)P(第二局甲勝且最終甲勝)
P(第一局乙勝) = b,P(第二局甲勝且最終甲勝) =p。綜合兩個情況(它們互斥),由概率加法定理得:
三、求解乙勝的概率過程
求乙勝的概率過程與求甲勝的概率過程類似,不過需要分三種情況:
最終乙勝的概率為:(b2+ab2+a2b2)/(1-ab(1+a)),由于a+b=1,可以計算得到:P(A)+P(B)=1。
四、小結
本文是根據陳希孺版《概率論與數理統計》《第一章事件的概率》結合老猿自己的理解介紹的,大部分內容來自書中原文,但補充了兩方面的內容,一是求甲勝的概率的等比數列求和式子的結果的計算原理,二是求乙勝的每種情況的概率計算過程和結果。
這個例子值得細心品味。第一,它提供了一個涉及無限個事件的情況(在甲最終取勝前可以經過任意多的“階段”),以及在無窮個事件時使用概率加法定理。第二,本例告訴我們,在面對一個復雜事件時,主要的方法是冷靜地分析,以設法把它分拆成一些互斥的簡單情況。這里,必須細心確保互斥性又無遺漏,一著不慎,滿盤皆非。
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的人工智能数学基础--概率与统计8:一个很有意思的下棋输赢概率问题的全部內容,希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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