TOPSIS法，譯為逼近理想解排序法，簡(jiǎn)稱優(yōu)劣且解距離法（根據(jù)學(xué)習(xí)會(huì)發(fā)現(xiàn)優(yōu)解即距離較大的解），是一種常用的綜合評(píng)價(jià)方法，能充分利用原始數(shù)據(jù)的信息，其結(jié)果能精確地反映各評(píng)價(jià)方案之間的差距。
當(dāng)我們用層次分析法來(lái)解決問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)行不通或者得出的結(jié)果不太精確的時(shí)候，就可以考慮用TOPSIS法。比如當(dāng)評(píng)價(jià)的決策層太多時(shí)，n也會(huì)很大，容易使判斷矩陣和一致矩陣差距較大（平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI表格中n≤15），此時(shí)再使用層次分析法，就有些不妥當(dāng)了。那么當(dāng)決策層中指標(biāo)數(shù)據(jù)已知時(shí)，如何使結(jié)果更準(zhǔn)確呢？
舉個(gè)例子，

（這里要求的評(píng)分可以與層次分析法中的權(quán)重類比）
那么我們現(xiàn)在對(duì)四位同學(xué)得成績(jī)排名，得到名次為2431，評(píng)分要求越大越好，因此成績(jī)?cè)胶玫耐瑢W(xué)排名應(yīng)越大，所以對(duì)排名進(jìn)行一個(gè)修正，修正后的名次為3124，用個(gè)人排名÷排名之和得到每人對(duì)應(yīng)的評(píng)分。

但我們思考檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)同學(xué)們的成績(jī)大小發(fā)生改變而四人的排名保持不變的話，得出的總評(píng)分依舊不變，由此可見，得出的結(jié)果與成績(jī)的相關(guān)性太弱。
那我們又想到另一種方法：找出四人中成績(jī)的最高分和最低分，按照公式[（x-min）÷（max-min）]來(lái)計(jì)算評(píng)分，并對(duì)評(píng)分進(jìn)行歸一化，得到結(jié)果如下

到這里有人就會(huì)問(wèn)了，理論上考試的最高成績(jī)不應(yīng)該是滿分，而最低成績(jī)?yōu)?嗎？
主要原因有三個(gè)。第一，比較對(duì)象往往多于兩個(gè)，此時(shí)采用第一種方法，只有數(shù)據(jù)兩端的對(duì)象會(huì)感受到影響；第二，比較的指標(biāo)往往是多方面的；第三，不是每種指標(biāo)都有理論最大值和最小值的。因此選擇上一種方式計(jì)算評(píng)分，公式如下圖所示。

我們以上討論的都是只有成績(jī)一個(gè)指標(biāo)時(shí)的情況，那么接下來(lái)增加指標(biāo)個(gè)數(shù)，例題變?yōu)橄聢D所示。兩個(gè)指標(biāo)分別體現(xiàn)對(duì)象的智商和情商。

介紹一個(gè)知識(shí)點(diǎn)：題中成績(jī)?cè)酱笤胶?#xff0c;是為極大型指標(biāo)，也稱效益型指標(biāo)；與他人爭(zhēng)吵次數(shù)越小越好，是為極小型指標(biāo)，也稱成本型指標(biāo)。
大型指標(biāo)稱為指標(biāo)正向化，其中極小型變?yōu)闃O大型的公式為（max-x）。
成績(jī)單位為分，吵架單位為次，兩個(gè)指標(biāo)量綱不同，要進(jìn)行處理，為了消除不同量綱帶來(lái)的影響，就要對(duì)已經(jīng)正向化的矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，任一列的一個(gè)數(shù)值÷該列數(shù)值平方之和的算數(shù)平方根，即可消去量綱。其公式如下：

只有成績(jī)一個(gè)指標(biāo)時(shí)，評(píng)分的公式為[（x-min）÷（max-min）]，經(jīng)過(guò)
得出


類比一個(gè)指標(biāo)計(jì)算得分，最大值和最小值分別為一個(gè)向量矩陣，從每列中找出最大值和最小值，分別組成矩陣，用Z+，Z-表示。
可以把矩陣看做m維坐標(biāo)系的向量坐標(biāo)，類比空間坐標(biāo)距離公式得到：

根據(jù)評(píng)分公式
得到得分公式（未歸一化），S=D- ÷（D+＋D-），故S屬于（0，1），S越大，對(duì)象的評(píng)價(jià)越好。

之后對(duì)計(jì)算得出的的得分進(jìn)行歸一化，并進(jìn)行排名，根據(jù)排名即可選出對(duì)象的優(yōu)劣程度。
由此可以得出，TOPSIS法的基本步驟為：先將原始數(shù)據(jù)矩陣統(tǒng)一指標(biāo)類型(一般正向化處理)得到正向化的矩陣，
再對(duì)正向化的矩陣進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理以消除各指標(biāo)量綱的影響，并找到有限方案中的最優(yōu)方案和最劣方案，
然后分別計(jì)算各評(píng)價(jià)對(duì)象與最優(yōu)方案和最劣方案間的距離，獲得各評(píng)價(jià)對(duì)象與最優(yōu)方案的相對(duì)接近程度，以此作為評(píng)價(jià)優(yōu)劣的依據(jù)。
該方法對(duì)數(shù)據(jù)分布及樣本含量沒有嚴(yán)格限制，數(shù)據(jù)計(jì)算簡(jiǎn)單易行。
下面對(duì)該方法步驟詳細(xì)介紹：
第一步:將原始矩陣正向化
最常見的四種指標(biāo):極大型(效益型)指標(biāo)，越大(多) 越好，例如成績(jī)、GDP增速、企業(yè)利潤(rùn)；極小型(成本型)指標(biāo)，越小(少)越好，例如費(fèi)用、壞品率、污染程度；中間型指標(biāo)，越接近某個(gè)值越好，例如水質(zhì)量評(píng)估時(shí)的PH值；區(qū)間型指標(biāo)，落在某個(gè)區(qū)間最好例如體溫、 水中植物性營(yíng)養(yǎng)物量。
所謂的將原始矩陣正向化，就是要將所有的指標(biāo)類型統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為極大型指標(biāo)。(轉(zhuǎn)換的 函數(shù)形式可以不唯一哦~ )
極小型指標(biāo)轉(zhuǎn)換為極大型指標(biāo)
max -x，如果所有的元素均為正數(shù)，那么也可以使用1÷x，不過(guò)基本常用第一種轉(zhuǎn)換公式。
中間型指標(biāo)轉(zhuǎn)換為極大型指標(biāo)

區(qū)間型指標(biāo)轉(zhuǎn)換為極大型指標(biāo)（更正：下圖中的{xi}為區(qū)間型指標(biāo)序列，此圖從ppt中截取，需更改）

第二步：正向化矩陣標(biāo)準(zhǔn)化
標(biāo)準(zhǔn)化是為了消除不同量綱帶來(lái)的影響，公式之前已經(jīng)提過(guò)，如下。標(biāo)準(zhǔn)化的方法不唯一，故得到的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣也不唯一。

第三步：計(jì)算得分并歸一化
得分的計(jì)算公式如下圖紅字部分，

要注意區(qū)別開歸一化和標(biāo)準(zhǔn)化。歸一化的計(jì)算步驟也可以消去量綱的影響，但更多時(shí)候，我們進(jìn)行歸一化的目的是為了讓我們的結(jié)果更容易解釋，或者說(shuō)讓我們對(duì)結(jié)果有一個(gè)更加清晰直觀的印象。例如將得分歸一化后可限制在（0，1）這個(gè)區(qū)間，對(duì)于區(qū)間內(nèi)的每一個(gè)得分， 我們很容易的得到其所處的比例位置。
注意:這里還沒有考慮指標(biāo)的權(quán)重，默認(rèn)了各指標(biāo)的權(quán)重相等。

帶權(quán)重的TOPSIS法：
確定權(quán)重的方法：層次分析法（主觀性太強(qiáng)，不利于數(shù)據(jù)處理），熵權(quán)法（之后的視頻會(huì)講到）

接下來(lái)看一道練習(xí)題

根據(jù)題目中的介紹，我們可以得出含氧量屬于極大型指標(biāo)，PH值屬于中間型指標(biāo)，細(xì)菌總數(shù)屬于極小型指標(biāo)，營(yíng)養(yǎng)物量屬于區(qū)間型指標(biāo)，首先利用公式將這三個(gè)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為極大型指標(biāo)，之后根據(jù)公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，然后找出各指標(biāo)的最大值最小值，分別組成向量，根據(jù)公式計(jì)算得分，并進(jìn)行歸一化，按照排名即可得出水質(zhì)的優(yōu)劣，大體思路就是這樣了。本講中出現(xiàn)的一些代碼會(huì)在之后的視頻里詳細(xì)解釋，大家可以去看看。
我本人就是一個(gè)0基礎(chǔ)的小白，之前從沒接觸過(guò)數(shù)學(xué)建模，在B站上搜到了清風(fēng)老師的視頻，看了前幾講發(fā)現(xiàn)確實(shí)自己能夠聽懂，舉的例子也很通俗易懂，如果有像我一樣想學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)建模的，可以來(lái)看看哦！那么以上我所學(xué)所講及配圖均來(lái)自于清風(fēng)老師
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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数学建模(2)topsis分析法的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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