機器人學導論三

• 雅克比
• • 雅克比矩陣
  • 瞬時運動學
• 微分運動
• • 線速度
  • 角速度
• 剛體的線速度和角速度
• • 線速度
  • 角速度
• 連桿間的速度傳遞
• 雅克比顯式
• • 求顯式
  • 雅克比在各個坐標系的表達
• 案例

雅克比

雅克比矩陣

對向量求導，也就是求q的偏導，左邊是m×1向量，右邊是m×n矩陣乘以n×1向量 = m×1向量,左右相等。求出來的就是雅克比矩陣。

瞬時運動學

瞬時運動學（Instantaneous kinematics）也是描述從關節空間到操作空間的映射，不過“瞬時”表明它不是描述“靜態”的位置，而是描述“動態”的速度。$$x=f(q)$$其中，q向量表示關節位置，x向量表示end effector的位置和朝向。
當我們說“瞬時運動學”求解的是從關節空間到操作空間的速度映射時，由于速度描述的是短時間內的位置變化，即位置對時間的導數，相信你很自然地會想到我們需要求解這樣一個函數：

現在我們的任務就是，從“正運動學”公式推導出“瞬時運動學”公式：

將關節空間的速度與操作空間的速度連接起來的，就是由向量求導獲得的雅可比矩陣。現在，讓我們把這個重要的結論用數學方式表示出來，用J表示向量x對向量q的導數：

根據一開始講的向量求導方法，J是一個矩陣。這個矩陣其實一點也不抽象：如果我們仔細看它的每一個元素，就會發現它的第i行第j列表示的物理意義就是當第j個關節運動時，操作空間的第i個平動/轉動方向會如何運動：

下面就來看看雅克比是怎么來的？以及如何求解？需要哪些參數？

微分運動

線速度

位置矢量的速度可以看成是用位置矢量描述的空間一點的線速度。在通常的情況下， 速度矢量都是與空間的某點相關的， 而描述此點速度的大小取決千兩個坐標系： 一個是進行微分運算的坐標系， 另一個是描述這個速度矢量的坐標系。

角速度

線速度描述了點的一種屬性， 角速度描述了剛體的一種屬性。 坐標系總是固連在被描述的剛體上， 所以可以用角速度來描述坐標系的旋轉運動。${}^A{\Omega }_B$描述了坐標系{B}相對于坐標{A}的旋轉，實際上， ${}^A{\Omega }_B$的方向就是{B}相對對于{A}的瞬時旋轉軸，${}^A{\Omega }_B$的大小表示旋轉速度。

剛體的線速度和角速度

線速度

把坐標系{B}固連在一剛體上，要求描述相對于坐標系{A}的運動${}^{B}Q$如圖5所示。這里已經認為坐標系{A}是固定的。坐標系{B}相對于坐標系{A}的位置用位置矢量${}^A{P}_{BORG}$和旋轉矩陣${}_B^{A}R$來描述。此時,假定方位${}_B^{A}R$不隨時間變化,則Q點相對于坐標系{A}的運動是由${}^A{P}_{BORG}$或${}^{B}Q$隨時間的變化引起的。求解坐標系{A}中Q點的線速度是非常簡單的。只要寫出坐標系{A}中的兩個速度分量， 求其和為：$${}^A{V}_Q{=}^A{V}_{BORG}{+}_B^A{R}^{B}VQ$$方程只適用于坐標系{B}和坐標系{A}的相對方位保持不變的情況。

角速度

兩坐標系的原點重合、相對線速度為零的情況， 而且它們的原點始終保持重合。其中一個或這兩個坐標系固連在剛體上。
圖所示為用兩個瞬時量表示矢量P繞Ω的旋轉。 這是從固定坐標系中觀測到的。

由圖可以計算出這個從固定坐標系中觀測到的矢量的方向和大小的變化。第一， 顯然$v_P$的微分增量一定垂直于P和Ω。

第二， 從圖可以看出微分增量的大小為：$$v_P=\Omega \times P$$

書中的例子詳細講解了角速度的變換

連桿間的速度傳遞

在機器人連桿運動的分析中，一般使用連桿坐標系{0}作為參考坐標系。因此，$v_i$是連桿坐標系原點{i}的線速度，${\Omega }_i$是連桿坐標系{i}的角速度。在任一瞬時，機器人的每個連桿都具有一定的線速度和角速度。

現在討論計算機器人連桿線速度和角速度的問題。操作臂是一個鏈式結構，每一個連桿的運動都與它的相鄰桿有關。由千這種結構的特點，我們可以由基坐標系依次計算各連桿的速度。連桿i+1的速度就是連桿i的速度加上那些附加到關節i+1上的新的速度分量。

將機構的每一個連桿看作為一個剛體，可以用線速度矢量和角速度矢量描述其運動。進一步，我們可以用連桿坐標系本身描述這些速度，而不用基坐標系。
當兩個Ω矢量都是相對千同一個坐標系時，那么這些角速度能夠相加。因此，連桿i+l的 角速度就等于連桿i的角速度加上一個由千關節i+1的角速度引起的分量。參照坐標系{i},上 述關系可寫成：$${}^i{\omega }_{i+1}{=}^i{\omega }_i{+}_{i+1}^{i}R{\dot{\theta }}_{i+1}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}$$
注意，$${\dot{\theta }}_{i+1}^{i+1}{\hat{Z}}_{i+1}=?\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\dot{\theta }}_{i+1}\end{array}?$$

雅克比顯式

求顯式

利用上面講的內容將角速度和線速度進行變換，把${}^0{v}_{p3}$和${}^0{\omega }_{p3}$求出

整理可得

由此，可得關于雅克比矩陣的函數。

取任意關節處的旋轉向量${\Omega }_i$

從此關節的線速度和角速度求末端執行器的角速度和線速度

整理

由此可得雅克比矩陣顯式

雅克比在各個坐標系的表達

向量表達：

0坐標系表達：

案例

求DH參數

求其次變換矩陣



取$Z_i$

John J. Craig《機器人學導論》
斯坦福大學《機器人學講義》
oCCo(古月居)《干貨 | “瞬時運動學”——還是從關節空間到操作空間（雅可比矩陣上篇）》

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人学导论三的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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