• • 有盡小數在實數系中處處稠密
  • 上確界、下確界
  • 實數系的基本性質綜述
  • 不等式

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有盡小數在實數系中處處稠密

定理 設 aa 和 bb 是實數，a<b.a<b. 則存在有盡小數 cc ，滿足a<c<b.a<c<b.

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上確界、下確界

1、設 EE 是實數的非空集合，即設 E?RE?R ，E≠?.E≠?. 如果存在一個實數 MM ，滿足下面的條件(i)和(ii)，那么我們就把 MM 叫做集合 EE 的上確界。條件(i)和(ii)是：
(i) MM 是集合 EE 的一個上界，即 x≤M,?x∈Ex≤M,?x∈E；
　　(ii) MM 是集合 EE 的最小的上界——任何小于 MM 的實數 M′M′ 都不再是集合 EE 的上界，即 (?M′<M)(?x′∈E)(x′>M′)(?M′<M)(?x′∈E)(x′>M′)。

2、設 E?RE?R， E≠?E≠? 。如果存在一個實數mm，滿足以下的條件(1)和(2)，那么我們就把 mm 叫做集合 EE 的下確界：
(1) mm 是集合 EE 的一個下界，即 x≥m,?x∈Ex≥m,?x∈E；
　　(2) mm 是集合 EE 的最大的下界——任何大于 mm 的實數 m′m′ 都不再是集合 EE 的下界，(?m′>m)(?x′∈E)(x′<m′)(?m′>m)(?x′∈E)(x′<m′)

3、上確界記為 supEsupE ，下確界記為 infEinfE 。

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實數系的基本性質綜述

運算性質

(F1F1) 加法是交換的，即

a+b=b+a，?a,b∈Ra+b=b+a，?a,b∈R

(F2F2) 加法是結合的，即

(a+b)+c=a+(b+c)，?a,b,c∈R(a+b)+c=a+(b+c)，?a,b,c∈R

(F3F3) 0∈R0∈R 對于加法起著特定的作用

0+a=a+0=a，?a∈R0+a=a+0=a，?a∈R

(F4F4) 對每一個 a∈Ra∈R 都存在一個與它相反的數 ?a∈R?a∈R ，使得

(?a)+a=a+(?a)=0(?a)+a=a+(?a)=0

(F5F5) 乘法是交換的，即

a?b=b?a，?a,b∈Ra?b=b?a，?a,b∈R

(F6F6) 乘法是結合的，即

(a?b)?c=a?(b?c)，?a,b,c∈R(a?b)?c=a?(b?c)，?a,b,c∈R

(F7F7) 1∈R1∈R 對于乘法起著特定的作用

1?a=a?1=a，?a∈R1?a=a?1=a，?a∈R

(F8F8) 對每一個 a∈Ra∈R ， a≠0a≠0， 都存在一個倒數 a?1∈Ra?1∈R ，使得

a?1?a=a?a?1=1a?1?a=a?a?1=1

(F9F9) 乘法對于加法是分配的，即

a?(b+c)=a?b+a?c，?a,b,c∈Ra?(b+c)=a?b+a?c，?a,b,c∈R

順序性質

(O1O1) 對任意的 a∈Ra∈R，必有并且只有以下三種情形之一出現：

a<b，a=b　或者　a>ba<b，a=b或者a>b（這一性質通常叫做``三岐性''）（這一性質通常叫做``三岐性''）

(O2O2) 關系“<<<script type="math/tex" id="MathJax-Element-80"><</script>”具有傳遞性

a<b，b<c?a<ca<b，b<c?a<c

(O3O3) 加以實數的運算保持順序關系

a<b?a+c<b+ca<b?a+c<b+c

(O4O4) 乘以正實數的運算保持順序關系

a<b，c>0?a?c>b?ca<b，c>0?a?c>b?c

連續性質

(CC) (確界原理) RR 的任何一個非空而有上界的子集合在RR 中有上確界。

1、定義有加法與乘法運算并且符合運算律 (F1F1) – (F9F9) 的集合通常稱為域。實數系是一個域，有理數系和復數系也都是域。

2、定義有順序關系“<<<script type="math/tex" id="MathJax-Element-91"><</script>”并且符合 (O1O1) – (O4O4) 的要求的一個域被稱為有序域。實數系是一個有序域。有理數系也是一個有序域。但復數系不是有序域。

3、確界原理 (CC) 說明了實數系的連續性。因此我們說：實數系RR是一個連續的有序域。

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不等式

涉及絕對值的不等式

|x|<α??α<x<α|x|<α??α<x<α

|y|≤β??β≤y≤β|y|≤β??β≤y≤β

|a+b|≤|a|+|b||a+b|≤|a|+|b|

||a|?|b||≤|a?b|||a|?|b||≤|a?b|

伯努里 (Bernoulli) 不等式

(1+x)n≥1+nx，?x≥?1(1+x)n≥1+nx，?x≥?1

算術平均數與幾何平均數不等式

設x0,x1,?xn≥0x0,x1,?xn≥0，則AM-GM不等式成立

x1+x2+?+xnn≥x1x2?xn?????????√nx1+x2+?+xnn≥x1x2?xnn

涉及三角函數的不等式

對于用弧度表示的角 xx ，有以下不等式成立sinx<x<tanx，?x∈(0,π2)sin?x<x<tan?x，?x∈(0,π2)

|sinx|≤x，?x∈R|sin?x|≤x，?x∈R

總結

以上是生活随笔為你收集整理的【数学分析新讲 笔记】第一章 实数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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