機器人學導論 二、正運動學

• 前言
• 關節與連桿
• • 編號
• 連桿參數
• • 連桿的描述
  • 連桿連接的描述
  • 關節變量
• 連桿坐標系
• • 中間連桿坐標系建立
  • 首尾連桿坐標系建立
  • • 首坐標系
    • 尾坐標系
  • 連桿參數與連桿坐標系
  • 連桿變換
• MDH法使用步驟
• 后記

前言

本篇學習機械臂的正運動學，MDH法。

關節與連桿

關節joint，連桿link，是機械臂的基本組成結構。

關節包括轉動關節和移動關節，一般僅有一個自由度。

一個關節把相鄰兩連桿連接，n個關節把n+1個連桿連接起來，具有n個自由度。

編號

把固定基座作為第0個連桿，機械臂末端的連桿作為第n個連桿。

連桿參數

連桿的描述

兩個相鄰關節軸之間的公垂線的長度，稱為連桿的長度。

兩個相鄰關節軸之間形成的角度，稱為連桿的轉角。

上圖中，連桿i-1的長度是其近端關節軸i-1與遠端關節軸i之間的公垂線長度$a_{i?1}$

連桿i-1的轉角是其近端關節軸i-1與遠端關節軸i形成的角度${\alpha }_{i?1}$，至于角度的正負號，可以根據后面建立坐標系時再確定。

連桿連接的描述

兩個相鄰連桿之間的距離，稱為連桿偏距。

兩個相鄰連桿繞公共關節軸旋轉的夾角，稱為關節角。

上圖中，關節i是連桿i-1和連桿i的公共關節。

由于實際的連桿是彎曲的，可以將公垂線段$a_{i?1}$和$a_i$ 看作代替曲連桿的直連桿i-1,i。

直連桿i-1,i之間的距離是關節i的連桿偏距$d_i$

直連桿i-1沿關節軸i旋轉到直連桿i的角度是關節角${\theta }_i$

關節變量

一個連桿可以使用上面的連桿長度、連桿轉角、連桿偏距、關節角四個參數確定。

對于轉動關節，關節角可變，另三個參數不變。

對于移動關節，連桿偏距可變，另三個參數不變。

可變的參數稱為關節變量。

連桿坐標系

連桿坐標系用于描述相鄰連桿之間的相對位置關系。

連桿坐標系編號與連桿編號相同，稱為$\{i\}$。

中間連桿坐標系建立

為連桿i建立坐標系：

以關節軸i作為Z軸，以連桿i與Z軸的交點作為原點，以連桿i作為X軸指向關節軸i+1，以右手定則確定Y軸。

例外：如果連桿i的長度$a_i=0$（此時連桿i,i+1的Z軸相交），以交點作為原點，以兩個Z軸所在平面的垂線作為X軸，方向可以有兩種選擇，而${\alpha }_i$的符號就由X軸方向決定。

每個坐標軸的建立都要滿足右手定則。

上圖中，可以按這個順序來建立坐標系：

首先找到所有的關節軸i-1,i

然后確定坐標系$\{i?1\}$，以關節軸作為${\hat{Z}}_{i?1}$，直連桿i-1作為${\hat{X}}_{i?1}$，再右手定則確定${\hat{Y}}_{i?1}$。

然后確定坐標系$\{i\}$。

首尾連桿坐標系建立

對于首尾連桿0,n，有特殊的建系方法。

首坐標系

坐標系$\{0\}$在基座上，一般作為參考系。

第一個關節變量為0時，規定坐標系$\{0\}$于$\{1\}$重合。

當第一個關節為轉動關節，$d_1=0$;第一個關節為移動關節，${\theta }_1=0$

尾坐標系

坐標系$\{n\}$的原點和x軸方向可以任意選取，但要盡量使得連桿參數為0。

連桿參數與連桿坐標系

按照上面的建系方法，可以把連桿參數重新定義：

• $a_i$連桿長度：沿${\hat{X}}_i$，從${\hat{Z}}_i$移動到${\hat{Z}}_{i+1}$的距離
• ${\alpha }_i$連桿扭轉角：繞${\hat{X}}_i$軸，把${\hat{Z}}_i$旋轉到${\hat{Z}}_{i+1}$的角度
• $d_i$連桿偏距：沿${\hat{Z}}_i$，從${\hat{X}}_{i?1}$移動到${\hat{X}}_{i1}$的距離
• ${\theta }_i$關節角：繞${\hat{Z}}_i$軸，把${\hat{X}}_{i?1}$旋轉到${\hat{X}}_i$的角度

設定$a_i>0$，其它參數可正可負。

上面建立連桿坐標系和連桿參數的方式稱為MDH法(Modified Denavit–Hartenberg)。

DH法建立的坐標系并不是唯一的。

連桿變換

連桿參數可用于相鄰桿之間的相對位姿計算。

上圖中，考慮坐標系$\{i?1\},\{i\}$之間的變換${}_{i?1}^{i}T$，建立中間坐標系$\{P\},\{Q\},\{R\}$，則有：
$${}_i^{i?1}T={}_R^{i?1}T{}_Q^{R}T{}_P^{Q}T{}_i^{P}T$$
上面的變換，可以看作是把${\hat{X}}_i$變換為${\hat{X}}_{i?1}$，則有：
$${}_i^{i?1}T=R_X({\alpha }_{i?1})D_X(a_{i?1})R_Z({\theta }_i)D_Z(d_i)$$
或者將每個中間坐標系的變換都寫出來：
$$\begin{gathered} {}_i^{P}T=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& d_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}? \\ {}_P^{Q}T=?\begin{array}{cccc}\cos {\theta }_1& ?\sin {\theta }_1& 0& 0\\ \sin {\theta }_1& \cos {\theta }_1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}? \\ {}_Q^{R}T=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& a_{i?1}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}? \\ {}_R^{i?1}T=?\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \cos {\alpha }_{i?1}& ?\sin {\alpha }_{i?1}& 0\\ 0& \sin {\alpha }_{i?1}& \cos {\alpha }_{i?1}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}? \end{gathered}$$
得到${}_i^{i?1}T$的一般形式：

MDH法使用步驟

找到所有關節軸；

按順序依次建立中間連桿的坐標系；

確定首尾坐標系；

寫出DH參數；

計算正運動學矩陣。

后記

本篇是機器人學中的正運動學，采用的是MDH法。

后續會有Matlab示例編程。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的机器人学导论 二、正运动学，MDH法的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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