数学分析习题2
EEE的內部E°E^\circE° 是包含于EEE的最大開集；EEE的閉包Eˉ\bar{E}Eˉ 是包含EEE的最小閉集。
設開集B?EB \subset EB?E，任取b∈Bb\in Bb∈B，存在bbb的鄰域U?B?EU \subset B \subset EU?B?E，這表明bbb為EEE的內點。故B?E°B \subset E^{\circ}B?E°
設閉集F?EF \supseteq EF?E，任取a∈Eˉa \in \bar{E}a∈Eˉ，設aaa為{xi}\{x_i\}{xi?}的極限點，而{xi}\{x_i\}{xi?}也為FFF中的點列，由FFF為閉集知a∈Fa \in Fa∈F。故Eˉ?F\bar{E} \subset FEˉ?F
2.
求證 Sˉ=S??S\bar{S}=S\bigcup \partial SSˉ=S??S。
任意的x∈?Sx\in \partial Sx∈?S，xxx的任意鄰域中都有SSS中的點，故xxx為SSS的極限點，那么有?S?Sˉ\partial S \subseteq \bar{S}?S?Sˉ，故S??S?SˉS\bigcup \partial S\subseteq \bar{S}S??S?Sˉ。
對于任意的x∈Sˉx\in \bar{S}x∈Sˉ，若xxx不為SSS中的點，那么xxx的任意鄰域中都有SSS中的點（xxx為SSS極限點）。且xxx的任意鄰域中也有有ScS^cSc中的點(xxx自身就是）。故xxx為SSS邊界點。故Sˉ?S??S\bar{S}\subseteq S\bigcup \partial SSˉ?S??S
3.
求證 ?S=Sˉ?S°\partial S = \bar{S} \setminus S^{\circ}?S=Sˉ?S°
由2，只要證明S°??S=S??SS^{\circ} \bigcup \partial S = S\bigcup \partial SS°??S=S??S。只要證S?S°??SS \subseteq S^{\circ} \bigcup \partial SS?S°??S。兩邊取余集，并注意到SSS的外部即為SSS余集的內部即得。
4.
設EEE為Rn\textrm{R}^nRn子集，x∈Rnx \in \textrm{R}^nx∈Rn，
d(x,E)=infy∈Ed(x,y).d(x,E) = inf_{y \in E} d(x,y).d(x,E)=infy∈E?d(x,y).
求證d(x,E)d(x,E)d(x,E)在Rn\textrm{R}^nRn上一致連續。
對于a,b∈Rna,b \in \textrm{R}^na,b∈Rn，任意ε>0\varepsilon >0ε>0，均存在b′∈Eb' \in Eb′∈E，使得d(b,E)>d(b,b′)?εd(b,E)>d(b,b')-\varepsilond(b,E)>d(b,b′)?ε。且有d(a,E)≤d(a,b′)d(a,E)\leq d(a,b')d(a,E)≤d(a,b′)。那么
d(a,E)?d(b,E)<d(a,b′)?(d(b,b′)?ε)<d(a,b)+εd(a,E) - d(b,E) < d(a,b')-(d(b,b')-\varepsilon) <d(a,b) + \varepsilond(a,E)?d(b,E)<d(a,b′)?(d(b,b′)?ε)<d(a,b)+ε
令ε\varepsilonε趨于零，即有d(a,E)?d(b,E)<d(a,b)d(a,E) - d(b,E) < d(a,b)d(a,E)?d(b,E)<d(a,b)。同理可得d(b,E)?d(a,E)<d(a,b)d(b,E) - d(a,E) < d(a,b)d(b,E)?d(a,E)<d(a,b)。
即∣d(a,E)?d(b,E)∣<d(a,b)|d(a,E) - d(b,E) |< d(a,b)∣d(a,E)?d(b,E)∣<d(a,b)
總結
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