第一章 矩陣與線性方程組 （二）

文章目錄

• 第一章 矩陣與線性方程組 （二）
• 一、 矩陣的基本運算
• • 1. 復矩陣和實矩陣
  • 2. 轉置、復數共軛
  • 3. 簡單的代數運算
  • • 3.1 兩個矩陣的加法
    • 3.2 矩陣與一個標量的乘法
    • 3.3 矩陣與向量的乘積
    • 3.4 矩陣與矩陣的乘積
  • 4. 運算規則
  • • 4.1 加法
    • 4.2 乘法
  • 5. 逆矩陣
  • 6. 矩陣的共軛、轉置、共軛轉置和逆矩陣的性質
  • • 6.1 矩陣的共軛、轉置和共軛轉置滿足分配律
    • 6.2 矩陣乘積的轉置、共軛轉置和逆矩陣滿足關系式
    • 6.3 共軛、轉置和共軛轉置等符號均可與求逆符號交換
    • 6.4 對應任意矩陣$A$，矩陣$B=A^{H}A$都是Hermitian矩陣

一、 矩陣的基本運算

1. 復矩陣和實矩陣

令R表示實數集合，C表示復數集合。
一個復矩陣定義為按照長方陣列排列的復數集合，記作

類似地，一個實矩陣記作

2. 轉置、復數共軛

• 若$A=[a_{ij}]$是一個m * n矩陣，則$A$的轉置記作$A^T$,是一個n * m矩陣，定義為$[A^T{]}_{ij}=a_{ji}$
• 矩陣$A$的復數共軛$A^{?}$定義為$[A^{?}{]}_{ij}=a_{ij}^{?}$
• 復共軛轉置記作$A^H$，定義為
  
  共軛轉置又叫Hermitian伴隨、Hermitian轉置或Hermitian共軛。滿足$A^H=A$的正方復矩陣稱為Hermitian矩陣或共軛對稱矩陣。

共軛轉置與轉置之間存在下列關系：
$$A^H=(A^{?}{)}^T=(A^T{)}^{?}$$

3. 簡單的代數運算

3.1 兩個矩陣的加法

兩個m * n矩陣$A=[a_{ij}]$ 和 $B=[b_{ij}]$之和記作$A+B$， 定義為$[A+B{]}_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$

3.2 矩陣與一個標量的乘法

令$A=[a_{ij}]$是一個m * n矩陣，且$\alpha$是一個標量。乘積$\alpha$$A$是一個m * n矩陣，定義為$[$ $\alpha$$A{]}_{ij}=\alpha a_{ij}$

3.3 矩陣與向量的乘積

m * n矩陣$A=[a_{ij}]$ 與r * 1 向量$x=[x_1,x_2,???,x_r{]}^T$的乘積$Ax$只有當n=r時才存在，它是一個m * 1向量，定義為

3.4 矩陣與矩陣的乘積

m * n矩陣$A=[a_{ij}]$ 與r * s 矩陣$B=[b_{ij}]$的乘積$AB$只有當n=r時才存在，它是一個m * s向量，定義為

4. 運算規則

4.1 加法

• 加法交換律：$A+B=B+A$
• 加法結合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

4.2 乘法

• 乘法結合律：$A(BC)=(AB)C$
• 乘法左分配律：若$A$和$B$是兩個m * n矩陣，且$C$是一個n * p矩陣，則$(A+B)C=AC+BC$
• 乘法右分配律：若$A$是兩個m * n矩陣，且$B$和$C$是一個n * p矩陣，則$A(B+C)=AB+AC$
• 若$\alpha$是一個標量，并且$A$和$B$是兩個m* n矩陣，則$\alpha$ $(A+B)=\alpha A+\alpha B$

5. 逆矩陣

令A是一個n * n矩陣。稱矩陣$A$可逆，若可以找到一個n * n矩陣$A^{?1}$ 滿足$A{A}^{?1}=A^{?1}A=I$，并稱$A^{?1}$是矩陣$A$的逆矩陣。

6. 矩陣的共軛、轉置、共軛轉置和逆矩陣的性質

6.1 矩陣的共軛、轉置和共軛轉置滿足分配律

$(A+B{)}^{?}=A^{?}+B^{?}$
$(A+B{)}^T=A^T+B^T$
$(A+B{)}^H=A^H+B^H$

6.2 矩陣乘積的轉置、共軛轉置和逆矩陣滿足關系式

$(AB{)}^T=B^T{A}^T$
$(AB{)}^H=B^H{A}^H$
$(AB{)}^{?1}=B^{?1}{A}^{?1}$ A,B為可逆的正方矩陣

6.3 共軛、轉置和共軛轉置等符號均可與求逆符號交換

$(A^{?}{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^{?}$ , $(A^T{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^T$,$(A^H{)}^{?1}=(A^{?1}{)}^H$
因此，常常分別采用緊湊的數學符號$A^{??}$,$A^{?T}$,$A^{?H}$

6.4 對應任意矩陣$A$，矩陣$B=A^{H}A$都是Hermitian矩陣

若$A$可逆，則對于Hermitian矩陣$B=A^{H}A$，有$A^{?H}B{A}^{?1}=A^{?H}{A}^{H}A{A}^{?1}=I$

總結

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