• 余弦距離：即D(si,x)=cos(θ)=xTsi∥xT∥∥si∥
• Tanimoto測度：余弦距離的變體D(si,x)==xTsixTx+xTsi+sTisi
• 馬氏（Mahalanobis）距離：D(si,x)=mink|D(sk,x)?D(m,x)|m=1N∑i=1NsiD(sk,x)=(sk?x)TC(sk?x)C=1N∑i=1N(si?m)(si?m)T它能度量不同程度之間的關(guān)聯(lián)性，并且是與尺度無關(guān)的，不需要進行每個分量的歸一化

• 向量范數(shù)用作Lyapunov函數(shù)

  ??Lyapunov函數(shù)經(jīng)常用來衡量一個系統(tǒng)的穩(wěn)定性，在控制理論中有及其重要的作用。關(guān)于李雅普諾夫函數(shù)在這里不做詳細(xì)介紹。一般地，Lyapunov函數(shù)沒有很好地選取方式，但是向量范數(shù)中的l2范數(shù)和l∞范數(shù)往往可以作為其候選函數(shù)。

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  矩陣范數(shù)

  ??矩陣范數(shù)是矩陣的一個實值函數(shù)f:Cm?n→C，任何滿足以下性質(zhì)的實值函數(shù)都可以作為矩陣范數(shù)：

• 對于任何非零矩陣A≠O，其范數(shù)大于零：∥A∥>0
• 對任意復(fù)數(shù)c，有∥cA∥=|c|∥A∥
• 矩陣范數(shù)滿足三角不等式，∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥
• 兩個矩陣乘積的范數(shù)小于或等于兩個矩陣范數(shù)的乘積，即∥AB∥≤∥A∥∥B∥

常用的矩陣函數(shù)

• Frobenius范數(shù)：∥A∥F=(∑i∑j|aij|2)1/2可以看做向量的l2范數(shù)在矩陣的擴展，將矩陣按行展開成一個長向量
• lp范數(shù)：∥A∥p=maxx≠0∥Ax∥p∥x∥plp范數(shù)可以理解成一個矩陣能將一個向量放大的最大倍數(shù)
• 行和范數(shù)：∥A∥row=max1≤i≤m{∑j=1n|aij|}
• 列和范數(shù)：∥A∥col=max1≤j≤n{∑i=1m|aij|}
• 譜范數(shù)：∥A∥spec=σmax=λmax????√
• Mahalanobis范數(shù)：∥A∥Ω=tr(AHΩA)?????????√Ω為正定矩陣

矩陣內(nèi)積和范數(shù)之間的關(guān)系：

• Cauchy-Schwartz不等式：
  |?A,B?|2≤∥A∥2∥B∥2當(dāng)且僅當(dāng)A=cB時，等號成立。
• Pathagoras定理：
  ?A,B?=0?∥A+B∥2=∥A∥2+∥B∥2
• 極化恒等式：
  Re(?A,B?)=14(∥A+B∥2?∥A?B∥2)Re(?A,B?)=12(∥A+B∥2?∥A∥2?∥B∥2)Re(?)代表取復(fù)數(shù)實部

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的矩阵分析与应用（二）——内积与范数的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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