均勻分布的點估計量

1.均勻分布

若隨機變量$X～F(x)=\{\begin{array}{l}0,others\\ \frac{x}{\theta },x\in (0,\theta )\end{array}$，則稱隨機變量$X～U(0,\theta )$即$X$服從$(0,\theta )$的均勻分布

• 均勻分布的期望及方差
  $$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=\{\begin{array}{l}0,others\\ \frac{1}{\theta },x\in (0,\theta )\end{array}$$
  $$E(X)={\int }_{?\infty }^{+\infty }xf(x)dx={\int }_0^{\theta }\frac{x}{\theta }dx=\frac{\theta }{2}$$
  $$D(X)={\int }_{?\infty }^{+\infty }{x}^{2}f(x)dx?\frac{{\theta }^2}{4}=\frac{{\theta }^2}{12}$$

2.$\theta$的極大似然估計

設$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$是總體$X(X～U(0,\theta ))$的樣本求$\theta$的極大似然估計量

• 寫出似然函數
  $$L(\theta )=\prod _{i=1}^n{f}_i(x)=(\frac{1}{\theta }{)}^n(\theta \ge \max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\})$$
• 分析似然函數的增減趨勢得出駐點
  易得當$\theta$越大時$L(\theta )$越小故$\theta$越小越好，故$\hat{\theta }=\max \{X_1,X_2,\dots ,X_n\}=X_{(n)}$
  一般來說進行極大似然估計要先求出對數似然函數而后求導取駐點但在似然函數簡單的情況下無需這樣做，可以簡單地對似然函數的單調性進行分析

3.$\theta$的矩估計量

設$(X_1,X_2,\dots ,X_n)$是總體$X(X～U(0,\theta ))$的樣本求$\theta$的矩估計量
$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i=E(X)=\frac{\theta }{2}$$

則$\hat{\theta }=2\overline{X}$

4.總結

對于均勻分布而言$\theta$的極大似然估計量和矩估計量不一致

總結

以上是生活随笔為你收集整理的均匀分布的点估计量的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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