排隊論（Queuing Theory）也稱 隨機服務系統理論，就是為解決上述問題而發展的一門學科。

它研究的內容有下列三部分：
（i）性態問題，即研究各種排隊系統的概率規律性，主要是研究隊長分布、等待時間分布和忙期分布等，包括了瞬態和穩態兩種情形。
（ii）最優化問題，又分靜態最優和動態最優，前者指最優設計。后者指現有排隊系統的最優運營。
（iii）排隊系統的統計推斷，即判斷一個給定的排隊系統符合于哪種模型，以便根據排隊理論進行分析研究。

一、基本概念

1。排隊論的一般模型

圖中虛線所包含的部分為排隊系統。各個顧客從顧客源出發，隨機地來到服務機構，按一定的排隊規則等待服務，直到按一定的服務規則接受完服務后離開排隊系統。

凡要求服務的對象統稱為 顧客，為顧客服務的人或物稱為 服務員，由顧客和服務員組成服務系統。對于一個服務系統來說，如果服務機構過小，以致不能滿足要求服務的眾多顧客的需要，那么就會產生擁擠現象而使服務質量降低。 因此，顧客總希望服務
機構越大越好，但是，如果服務機構過大，人力和物力方面的開支也就相應增加，從而會造成浪費，因此研究排隊模型的目的就是要在顧客需要和服務機構的規模之間進行權衡決策，使其達到合理的平衡。

2.排隊系統的組成和特征：輸入過程、排隊規則、服務過程三部分

1）輸入過程

（i）顧客的組成可能是有限的，也可能是無限的。

（ii）顧客到達的方式可能是一個—個的，也可能是成批的。

（iii）顧客到達可以是相互獨立的，即以前的到達情況對以后的到達沒有影響；否則是相關的。

（iv）輸入過程可以是平穩的，即相繼到達的間隔時間分布及其數學期望、方差等數字特征都與時間無關，否則是非平穩的。

2）排隊規則：損失制，等待制和混合制三種。

排隊方式還分為單列、多列和循環隊列。

（i）損失制（消失制）。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客隨即離去。
（ii）等待制。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客就排隊等待，直到接受完服務才離去。例如出故障的機器排隊等待維修就是這種情況。
（iii）混合制。介于損失制和等待制之間的是混合制，即既有等待又有損失。有隊列長度有限和排隊等待時間有限兩種情況，在限度以內就排隊等待，超過一定限度就離去。

3）服務過程

（i）服務機構。主要有以下幾種類型：單服務臺；多服務臺并聯（每個服務臺同時為不同顧客服務）；多服務臺串聯（多服務臺依次為同一顧客服務）；混合型。
（ii）服務規則。按為顧客服務的次序采用以下幾種規則：
①先到先服務，這是通常的情形。
②后到先服務，如情報系統中，最后到的情報信息往往最有價值，因而常被優先處理。
③隨機服務，服務臺從等待的顧客中隨機地取其一進行服務，而不管到達的先后。
④優先服務，如醫療系統對病情嚴重的病人給予優先治療。

4.排隊模型的符號表示

排隊模型用六個符號表示，在符號之間用斜線隔開，即 X/Y/Z/A/B/C。

X：表示顧客到達流或顧客到達間隔時間的分布

Y：表示服務時間的分布

Z：服務臺數目

?A 是系統容量限制

?B 是顧客源數目

?C 是服務規則，eg：先到先服務 FCFS，后到先服務 LCFS 等

注意：并約定，如略去后三項，即指 X/ Y/Z/ ∞/∞ /?FCFS 的情形。我們只討論先到先服務 FCFS的情形，所以略去第六項。

表示顧客到達間隔時間和服務時間的分布的約定符號為：
M —指數分布（ M 是 Markov 的字頭，因為指數分布具有無記憶性，即 Markov性）；
D —確定型（Deterministic）；
— k 階愛爾朗(Erlang)分布；
G —一般（general）服務時間的分布；
GI —一般相互獨立（General Independent）的時間間隔的分布。

具體例子：

M/M/1 表示顧客相繼到達間隔時間為指數分布、服務時間為指數分布、單服臺、等待制系統。

?D/M/C表示確定的到達時間、服務時間為指數分布、 c 個平行服務臺（但顧客是一隊）的模型。

5.排隊系統的運行指標

為了研究排隊系統運行的效率，估計其服務質量，確定系統的最優參數，評價系統的結構是否合理并研究其改進的措施，必須確定用以判斷系統運行優劣的基本數量指標，這些數量指標通常是：

(i) 平均隊長：指系統內顧客數（包括正被服務的顧客與排隊等待服務的顧客）的數學期望，記作

(ii) 平均排隊長:指系統內等待服務的顧客數的數學期望，記作

(iii) 平均逗留時間：顧客在系統內逗留時間（包括排隊等待的時間和接受服務的時間）的數學期望，記作

（iv） 平均等待時間：指一個顧客在排隊系統中排隊等待時間的數學期望，記作

（v） 平均忙期：指服務機構連續繁忙時間（顧客到達空閑服務機構起，到服務機構再次空閑止的時間）長度的數學期望，記為

還有由于顧客被拒絕而使企業受到損失的 損失率以及以后經常遇到的服務強度等，這些都是很重要的指標。

計算這些指標的基礎是表達系統狀態的概率。所謂 系統的狀態即指系統中顧客數，
如果系統中有 n 個顧客就說系統的狀態是 n ，它的可能值是
（i）隊長沒有限制時，n= 0，1，2。。
（ii）隊長有限制，最大數為 N 時，n=0，1，2，。。。N?
（iii）損失制，服務臺個數是 c 時，n=0，1，。。。。c?

這些狀態的概率一般是隨時刻 t 而變化，所以在時刻 t 、系統狀態為 n 的概率用表示。穩態時系統狀態為 n 的概率用表示。

二、輸入過程與服務時間的分布

排隊系統中的事件流包括顧客到達流和服務時間流。由于顧客到達的間隔時間和服務時間不可能是負值，因此，它的分布是非負隨機變量的分布。最常用的分布有泊松分布、確定型分布，指數分布和愛爾朗分布。

1）泊松流與指數分布

輸入過程：

當輸入過程是泊松流時，那么顧客相繼到達的時間間隔 T 必服從指數分布。

對于泊松流, λ 表示單位時間平均到達的顧客數
1/ λ 表示相繼顧客到達平均間隔時間

服務過程：

對一顧客的服務時間也就是在忙期相繼離開系統的兩顧客的間隔時間，有時也服從指數分布。

這時設它的分布函數和密度函數分別是

?μ 表示單位時間能被服務完成的顧客數，稱為平均服務率
1/μ表示一個顧客的平均服務時間

2）常用的連續型概率分布

（i）均勻分布

（ii）正態分布

（iii）指數分布：指數分布是唯一具有無記憶性的連續型隨機變量

（iv）Gamma 分布：又稱愛爾朗分布。Gamma 分布可用于服務時間，零件壽命等。

（v）Weibull 分布：作為設備、零件的壽命分布在可靠性分析中有著非常廣泛的應用。

（vi）Beta 分布

3）常用的離散型概率分布

（i）離散均勻分布

（ii）Bernoulli 分布（兩點分布），用于基本的離散模型

（iii）泊松（Poisson）分布：泊松分布與指數分布有密切的關系。當顧客平均到達率為常數 λ 的到達間隔服從指數分布時，單位時間內到達的顧客數 K 服從泊松分布，即單位時間內到達 k 位顧客的概率為

記作 ( Poisson λ ）。泊松分布在排隊服務、產品檢驗、生物與醫學統計、天文、物理等領域都有廣泛應用。

（iv）二項分布

三、生滅過程

在排隊論中，如果N (t)表示時刻 t 系統中的顧客數，則 {N(t),t>=0} 就構成了一個隨機過程，就是一類特殊的隨機過程－生滅過程（生”表示顧客的到達，“滅”表示顧客的離去）。

為求平穩分布，考慮系統可能處的任一狀態 n 。假設記錄了一段時間內系統進入狀態 n 和離開狀態 n 的次數，則因為“進入”和“離開”是交替發生的，所以這兩個數要么相等，要么相差為 1。但就這兩種事件的平均發生率來說，可以認為是相等的。即當系統運行相當時間而到達平衡狀態后，對任一狀態 n 來說，單位時間內進入該狀態的平均次數和單位時間內離開該狀態的平均次數應該相等，這就是系統在統計平衡下的“流入＝流出”原理。

如何求平穩分布？

假設已經得到了平穩狀態分布，如下所示

更重要的是：

才能由上述公式得到平穩狀態的概率分布
?

四、M/M/s等待制排隊模型

1）單服務臺模型M /M/1/∞ （因為服務臺只有一個，要立馬進行排隊，注意求和的上下標）

單服務臺等待制模型 M /M/1/∞ 是指：顧客的相繼到達時間服從參數為 λ 的負指數分布，服務臺個數為 1，服務時間 V 服從參數為 μ 的負指數分布，系統空間無限，允許無限排隊，這是一類最簡單的排隊系統。

?

需要掌握的有：隊長的分布，平均隊長、平均排隊長以及平均隊長與平均逗留時間的關系，平均排隊長與平均等待時間的關系（Little公式）

要知道：顧客在系統中的逗留時間為等待時間 和接受服務時間V 之和，具體的推倒過程，我直接放圖了

具體的一個eg:

?

2)多服務臺模型M/M/S/∞（因為服務臺有s個，所以當n>=s個的時候，才需要排隊，注意求和的上下標）

設顧客單個到達，相繼到達時間間隔服從參數為λ 的負指數分布，系統中共有 s 個服務臺，每個服務臺的服務時間相互獨立，且服從參數為 μ 的負指數分布。當顧客到達時， 若有空閑的服務臺則馬上接受服務， 否則便排成一個隊列等待， 等待時間為無限。

?

3)M / M / s / s 損失制排隊模型

當 s 個服務臺被占用后，顧客自動離去。

4)M / M / s 混合制排隊模型

i)單服務臺混合制模型
單服務臺混合制模型 M / M /1/ K 是指：顧客的相繼到達時間服從參數為λ 的負指數分布，服務臺個數為1，服務時間V 服從參數為 μ 的負指數分布，系統的空間為 K ，當 K個位置已被顧客占用時，新到的顧客自動離去，當系統中有空位置時，新到的顧客進入系統排隊等待

eg：一看就懂的例子

多服務臺混合制模型（重點關注一下）
多服務臺混合制模型 M / M / s / K 是指顧客的相繼到達時間服從參數為 λ 的負指數分布，服務臺個數為 s ，每個服務臺服務時間相互獨立，且服從參數為 μ 的負指數分布，系統的空間為 K 。
?

其它排隊模型

1）有限源排隊模型

2）服務率或到達率依賴狀態的排隊模型

在前面的各類排隊模型的分析中，均假設顧客的到達率為常數 λ ，服務臺的服務率也為常數 μ 。而在實際的排隊問題中，到達率或服務率可能是隨系統的狀態而變化的。例如，當系統中顧客數已經比較多時，后來的顧客可能不愿意再進入系統；服務員
的服務率當顧客較多時也可能會提高。
?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的排队论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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