排队论
排隊(duì)論（Queuing Theory）也稱(chēng) 隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，就是為解決上述問(wèn)題而發(fā)展的一門(mén)學(xué)科。
它研究的內(nèi)容有下列三部分：
（i）性態(tài)問(wèn)題，即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要是研究隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等，包括了瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩種情形。
（ii）最優(yōu)化問(wèn)題，又分靜態(tài)最優(yōu)和動(dòng)態(tài)最優(yōu)，前者指最優(yōu)設(shè)計(jì)。后者指現(xiàn)有排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營(yíng)。
（iii）排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合于哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行分析研究。
一、基本概念
1。排隊(duì)論的一般模型
圖中虛線(xiàn)所包含的部分為排隊(duì)系統(tǒng)。各個(gè)顧客從顧客源出發(fā)，隨機(jī)地來(lái)到服務(wù)機(jī)構(gòu)，按一定的排隊(duì)規(guī)則等待服務(wù)，直到按一定的服務(wù)規(guī)則接受完服務(wù)后離開(kāi)排隊(duì)系統(tǒng)。
凡要求服務(wù)的對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為 顧客，為顧客服務(wù)的人或物稱(chēng)為 服務(wù)員，由顧客和服務(wù)員組成服務(wù)系統(tǒng)。對(duì)于一個(gè)服務(wù)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，如果服務(wù)機(jī)構(gòu)過(guò)小，以致不能滿(mǎn)足要求服務(wù)的眾多顧客的需要，那么就會(huì)產(chǎn)生擁擠現(xiàn)象而使服務(wù)質(zhì)量降低。 因此，顧客總希望服務(wù)
機(jī)構(gòu)越大越好，但是，如果服務(wù)機(jī)構(gòu)過(guò)大，人力和物力方面的開(kāi)支也就相應(yīng)增加，從而會(huì)造成浪費(fèi)，因此研究排隊(duì)模型的目的就是要在顧客需要和服務(wù)機(jī)構(gòu)的規(guī)模之間進(jìn)行權(quán)衡決策，使其達(dá)到合理的平衡。
2.排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征：輸入過(guò)程、排隊(duì)規(guī)則、服務(wù)過(guò)程三部分
1）輸入過(guò)程
（i）顧客的組成可能是有限的，也可能是無(wú)限的。
（ii）顧客到達(dá)的方式可能是一個(gè)—個(gè)的，也可能是成批的。
（iii）顧客到達(dá)可以是相互獨(dú)立的，即以前的到達(dá)情況對(duì)以后的到達(dá)沒(méi)有影響；否則是相關(guān)的。
（iv）輸入過(guò)程可以是平穩(wěn)的，即相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布及其數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征都與時(shí)間無(wú)關(guān)，否則是非平穩(wěn)的。
2）排隊(duì)規(guī)則：損失制，等待制和混合制三種。
排隊(duì)方式還分為單列、多列和循環(huán)隊(duì)列。
（i）損失制（消失制）。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有的服務(wù)臺(tái)均被占用，顧客隨即離去。
（ii）等待制。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)，所有的服務(wù)臺(tái)均被占用，顧客就排隊(duì)等待，直到接受完服務(wù)才離去。例如出故障的機(jī)器排隊(duì)等待維修就是這種情況。
（iii）混合制。介于損失制和等待制之間的是混合制，即既有等待又有損失。有隊(duì)列長(zhǎng)度有限和排隊(duì)等待時(shí)間有限兩種情況，在限度以?xún)?nèi)就排隊(duì)等待，超過(guò)一定限度就離去。
3）服務(wù)過(guò)程
（i）服務(wù)機(jī)構(gòu)。主要有以下幾種類(lèi)型：單服務(wù)臺(tái)；多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)（每個(gè)服務(wù)臺(tái)同時(shí)為不同顧客服務(wù)）；多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)（多服務(wù)臺(tái)依次為同一顧客服務(wù)）；混合型。
（ii）服務(wù)規(guī)則。按為顧客服務(wù)的次序采用以下幾種規(guī)則：
①先到先服務(wù)，這是通常的情形。
②后到先服務(wù)，如情報(bào)系統(tǒng)中，最后到的情報(bào)信息往往最有價(jià)值，因而常被優(yōu)先處理。
③隨機(jī)服務(wù)，服務(wù)臺(tái)從等待的顧客中隨機(jī)地取其一進(jìn)行服務(wù)，而不管到達(dá)的先后。
④優(yōu)先服務(wù)，如醫(yī)療系統(tǒng)對(duì)病情嚴(yán)重的病人給予優(yōu)先治療。
4.排隊(duì)模型的符號(hào)表示
排隊(duì)模型用六個(gè)符號(hào)表示，在符號(hào)之間用斜線(xiàn)隔開(kāi)，即 X/Y/Z/A/B/C。
X：表示顧客到達(dá)流或顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布
Y：表示服務(wù)時(shí)間的分布
Z：服務(wù)臺(tái)數(shù)目
?A 是系統(tǒng)容量限制
?B 是顧客源數(shù)目
?C 是服務(wù)規(guī)則，eg：先到先服務(wù) FCFS，后到先服務(wù) LCFS 等
注意：并約定，如略去后三項(xiàng)，即指 X/ Y/Z/ ∞/∞ /?FCFS 的情形。我們只討論先到先服務(wù) FCFS的情形，所以略去第六項(xiàng)。
表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的分布的約定符號(hào)為：
M —指數(shù)分布（ M 是 Markov 的字頭，因?yàn)?strong>指數(shù)分布具有無(wú)記憶性，即 Markov性）；
D —確定型（Deterministic）；
— k 階愛(ài)爾朗(Erlang)分布；
G —一般（general）服務(wù)時(shí)間的分布；
GI —一般相互獨(dú)立（General Independent）的時(shí)間間隔的分布。
具體例子：
M/M/1 表示顧客相繼到達(dá)間隔時(shí)間為指數(shù)分布、服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布、單服臺(tái)、等待制系統(tǒng)。
?D/M/C表示確定的到達(dá)時(shí)間、服務(wù)時(shí)間為指數(shù)分布、 c 個(gè)平行服務(wù)臺(tái)（但顧客是一隊(duì)）的模型。
5.排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)
為了研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)其服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)，評(píng)價(jià)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理并研究其改進(jìn)的措施，必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是：
(i) 平均隊(duì)長(zhǎng)：指系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)（包括正被服務(wù)的顧客與排隊(duì)等待服務(wù)的顧客）的數(shù)學(xué)期望，記作
(ii) 平均排隊(duì)長(zhǎng):指系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望，記作
(iii) 平均逗留時(shí)間：顧客在系統(tǒng)內(nèi)逗留時(shí)間（包括排隊(duì)等待的時(shí)間和接受服務(wù)的時(shí)間）的數(shù)學(xué)期望，記作
（iv） 平均等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間的數(shù)學(xué)期望，記作
（v） 平均忙期：指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙時(shí)間（顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑止的時(shí)間）長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)期望，記為
還有由于顧客被拒絕而使企業(yè)受到損失的 損失率以及以后經(jīng)常遇到的服務(wù)強(qiáng)度等，這些都是很重要的指標(biāo)。
計(jì)算這些指標(biāo)的基礎(chǔ)是表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)的概率。所謂 系統(tǒng)的狀態(tài)即指系統(tǒng)中顧客數(shù)，
如果系統(tǒng)中有 n 個(gè)顧客就說(shuō)系統(tǒng)的狀態(tài)是 n ，它的可能值是
（i）隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制時(shí)，n= 0，1，2。。
（ii）隊(duì)長(zhǎng)有限制，最大數(shù)為 N 時(shí)，n=0，1，2，。。。N?
（iii）損失制，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)是 c 時(shí)，n=0，1，。。。。c?
這些狀態(tài)的概率一般是隨時(shí)刻 t 而變化，所以在時(shí)刻 t 、系統(tǒng)狀態(tài)為 n 的概率用表示。穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)為 n 的概率用表示。
二、輸入過(guò)程與服務(wù)時(shí)間的分布
排隊(duì)系統(tǒng)中的事件流包括顧客到達(dá)流和服務(wù)時(shí)間流。由于顧客到達(dá)的間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間不可能是負(fù)值，因此，它的分布是非負(fù)隨機(jī)變量的分布。最常用的分布有泊松分布、確定型分布，指數(shù)分布和愛(ài)爾朗分布。
1）泊松流與指數(shù)分布
輸入過(guò)程：
當(dāng)輸入過(guò)程是泊松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的時(shí)間間隔 T 必服從指數(shù)分布。
對(duì)于泊松流, λ 表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)
1/ λ 表示相繼顧客到達(dá)平均間隔時(shí)間
服務(wù)過(guò)程：
對(duì)一顧客的服務(wù)時(shí)間也就是在忙期相繼離開(kāi)系統(tǒng)的兩顧客的間隔時(shí)間，有時(shí)也服從指數(shù)分布。
這時(shí)設(shè)它的分布函數(shù)和密度函數(shù)分別是
?μ 表示單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，稱(chēng)為平均服務(wù)率
1/μ表示一個(gè)顧客的平均服務(wù)時(shí)間
2）常用的連續(xù)型概率分布
（i）均勻分布
（ii）正態(tài)分布
（iii）指數(shù)分布：指數(shù)分布是唯一具有無(wú)記憶性的連續(xù)型隨機(jī)變量
（iv）Gamma 分布：又稱(chēng)愛(ài)爾朗分布。Gamma 分布可用于服務(wù)時(shí)間，零件壽命等。
（v）Weibull 分布：作為設(shè)備、零件的壽命分布在可靠性分析中有著非常廣泛的應(yīng)用。
（vi）Beta 分布
3）常用的離散型概率分布
（i）離散均勻分布
（ii）Bernoulli 分布（兩點(diǎn)分布），用于基本的離散模型
（iii）泊松（Poisson）分布：泊松分布與指數(shù)分布有密切的關(guān)系。當(dāng)顧客平均到達(dá)率為常數(shù) λ 的到達(dá)間隔服從指數(shù)分布時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù) K 服從泊松分布，即單位時(shí)間內(nèi)到達(dá) k 位顧客的概率為
記作 ( Poisson λ ）。泊松分布在排隊(duì)服務(wù)、產(chǎn)品檢驗(yàn)、生物與醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)、天文、物理等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。
（iv）二項(xiàng)分布
三、生滅過(guò)程
在排隊(duì)論中，如果N (t)表示時(shí)刻 t 系統(tǒng)中的顧客數(shù)，則 {N(t),t>=0} 就構(gòu)成了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，就是一類(lèi)特殊的隨機(jī)過(guò)程－生滅過(guò)程（生”表示顧客的到達(dá)，“滅”表示顧客的離去）。
為求平穩(wěn)分布，考慮系統(tǒng)可能處的任一狀態(tài) n 。假設(shè)記錄了一段時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)進(jìn)入狀態(tài) n 和離開(kāi)狀態(tài) n 的次數(shù)，則因?yàn)椤斑M(jìn)入”和“離開(kāi)”是交替發(fā)生的，所以這兩個(gè)數(shù)要么相等，要么相差為 1。但就這兩種事件的平均發(fā)生率來(lái)說(shuō)，可以認(rèn)為是相等的。即當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行相當(dāng)時(shí)間而到達(dá)平衡狀態(tài)后，對(duì)任一狀態(tài) n 來(lái)說(shuō)，單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入該狀態(tài)的平均次數(shù)和單位時(shí)間內(nèi)離開(kāi)該狀態(tài)的平均次數(shù)應(yīng)該相等，這就是系統(tǒng)在統(tǒng)計(jì)平衡下的“流入＝流出”原理。
如何求平穩(wěn)分布？
假設(shè)已經(jīng)得到了平穩(wěn)狀態(tài)分布，如下所示
更重要的是：
才能由上述公式得到平穩(wěn)狀態(tài)的概率分布
?
四、M/M/s等待制排隊(duì)模型
1）單服務(wù)臺(tái)模型M /M/1/∞ （因?yàn)榉?wù)臺(tái)只有一個(gè)，要立馬進(jìn)行排隊(duì)，注意求和的上下標(biāo)）
單服務(wù)臺(tái)等待制模型 M /M/1/∞ 是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為 λ 的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為 1，服務(wù)時(shí)間 V 服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)空間無(wú)限，允許無(wú)限排隊(duì)，這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單的排隊(duì)系統(tǒng)。
?
需要掌握的有：隊(duì)長(zhǎng)的分布，平均隊(duì)長(zhǎng)、平均排隊(duì)長(zhǎng)以及平均隊(duì)長(zhǎng)與平均逗留時(shí)間的關(guān)系，平均排隊(duì)長(zhǎng)與平均等待時(shí)間的關(guān)系（Little公式）
要知道：顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間為等待時(shí)間 和接受服務(wù)時(shí)間V 之和，具體的推倒過(guò)程，我直接放圖了
具體的一個(gè)eg:
?
2)多服務(wù)臺(tái)模型M/M/S/∞（因?yàn)榉?wù)臺(tái)有s個(gè)，所以當(dāng)n>=s個(gè)的時(shí)候，才需要排隊(duì)，注意求和的上下標(biāo)）
設(shè)顧客單個(gè)到達(dá)，相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ 的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)中共有 s 個(gè)服務(wù)臺(tái)，每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布。當(dāng)顧客到達(dá)時(shí)， 若有空閑的服務(wù)臺(tái)則馬上接受服務(wù)， 否則便排成一個(gè)隊(duì)列等待， 等待時(shí)間為無(wú)限。
?
3)M / M / s / s 損失制排隊(duì)模型
當(dāng) s 個(gè)服務(wù)臺(tái)被占用后，顧客自動(dòng)離去。
4)M / M / s 混合制排隊(duì)模型
i)單服務(wù)臺(tái)混合制模型
單服務(wù)臺(tái)混合制模型 M / M /1/ K 是指：顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為λ 的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為1，服務(wù)時(shí)間V 服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為 K ，當(dāng) K個(gè)位置已被顧客占用時(shí)，新到的顧客自動(dòng)離去，當(dāng)系統(tǒng)中有空位置時(shí)，新到的顧客進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)等待
eg：一看就懂的例子
多服務(wù)臺(tái)混合制模型（重點(diǎn)關(guān)注一下）
多服務(wù)臺(tái)混合制模型 M / M / s / K 是指顧客的相繼到達(dá)時(shí)間服從參數(shù)為 λ 的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為 s ，每個(gè)服務(wù)臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布，系統(tǒng)的空間為 K 。
?
其它排隊(duì)模型
1）有限源排隊(duì)模型
2）服務(wù)率或到達(dá)率依賴(lài)狀態(tài)的排隊(duì)模型
在前面的各類(lèi)排隊(duì)模型的分析中，均假設(shè)顧客的到達(dá)率為常數(shù) λ ，服務(wù)臺(tái)的服務(wù)率也為常數(shù) μ 。而在實(shí)際的排隊(duì)問(wèn)題中，到達(dá)率或服務(wù)率可能是隨系統(tǒng)的狀態(tài)而變化的。例如，當(dāng)系統(tǒng)中顧客數(shù)已經(jīng)比較多時(shí)，后來(lái)的顧客可能不愿意再進(jìn)入系統(tǒng)；服務(wù)員
的服務(wù)率當(dāng)顧客較多時(shí)也可能會(huì)提高。
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總結(jié)
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