排隊論起源于 1909 年丹麥電話工程師 A. K．愛爾朗的工作，他對電話通話擁擠問 題進行了研究。1917 年，愛爾朗發表了他的著名的文章—“自動電話交換中的概率理 論的幾個問題的解決”。排隊論已廣泛應用于解決軍事、運輸、維修、生產、服務、庫 存、醫療衛生、教育、水利灌溉之類的排隊系統的問題，顯示了強大的生命力。

排隊是在日常生活中經常遇到的現象，如顧客到商店購買物品、病人到醫院看病常 常要排隊。此時要求服務的數量超過服務機構（服務臺、服務員等）的容量。也就是說， 到達的顧客不能立即得到服務，因而出現了排隊現象。這種現象不僅在個人日常生活中 出現，電話局的占線問題，車站、碼頭等交通樞紐的車船堵塞和疏導，故障機器的停機 待修，水庫的存貯調節等都是有形或無形的排隊現象。由于顧客到達和服務時間的隨機 性。可以說排隊現象幾乎是不可避免的。

排隊論是研究排隊系統（又稱隨機服務系統）的數學理論與方法。 它的研究目的是要回答如何改進服務機構或組織被服務的對象，使得某種指標達到最優的問題。比如一個港口應該有多少個碼頭，一個工廠應該有多少維修人員等。

01 排隊論背景與發展介紹

排隊論最早起源于對電話通訊排隊接線的研究，早在1909年，丹麥數學家A. K. Erlang 發表了The Theory of Probabilities and Telephone Conversations 初步產開了對由于隨機需求的出現而產生非穩態隊列的現象的研究。

在他后期的工作中，他發現了幾個重要結論: 自動電話通訊系統可以以兩種基本概率模型模擬:

泊松輸入，指數分布服務時間，多服務流

泊松輸入, 穩定常態服務時間，單服務流。

Erlang亦提出隊列穩態平衡的概念與排隊系統的初步優化辦法。Erlang 之后，多名學者將其工作做進一步的衍生拓展：Thornton Fry: Probabilities and Its Engineering Uses, Felix Pollaczek 進一步整理了泊松輸入，廣義輸出的單/多服務流模型，同時俄羅斯數學家Kolmogorov, Khintchine也涉足該領域。

排隊論本源自對實際現象的研究，而后接近半個世紀，排隊論主要為理論模型發展，(生滅理論，嵌入馬爾可夫模型) 。直到二戰以后，學者開始為該理論賦予應用價值，大量研究開始導向如何精確求解先前學者留下的復雜數學模型，并直接應用于現實的管理決策中。主要如復雜排隊模型，排隊網絡的近似解與數值模擬辦法等。近現代排隊論主要為管理決策軟件的開發提供理論與模擬支持。

排隊論（Queuing Theory）也稱隨機服務系統理論，就是為解決上述問題而發展 的一門學科。它研究的內容有下列三部分：

（i）性態問題，即研究各種排隊系統的概率規律性，主要是研究隊長分布、等待時間分布和忙期分布等，包括了瞬態和穩態兩種情形。

（ii）最優化問題，又分靜態最優和動態最優，前者指最優設計。后者指現有排隊系統的最優運營。

（iii）排隊系統的統計推斷，即判斷一個給定的排隊系統符合于哪種模型，以便根據排隊理論進行分析研究。

這里將介紹排隊論的一些基本知識，分析幾個常見的排隊模型。

02 排隊機制與基本模型辦法

2.0 排隊模型

2.0.1 過程的一般表示

下圖是排隊論的一般模型。

圖中虛線所包含的部分為排隊系統。各個顧客從顧客源出發，隨機地來到服務機構，按 一定的排隊規則等待服務，直到按一定的服務規則接受完服務后離開排隊系統。

凡要求服務的對象統稱為顧客，為顧客服務的人或物稱為服務員，由顧客和服務員組成服務系統。對于一個服務系統來說，如果服務機構過小，以致不能滿足要求服務的 眾多顧客的需要，那么就會產生擁擠現象而使服務質量降低。 因此，顧客總希望服務 機構越大越好，但是，如果服務機構過大，人力和物力方面的開支也就相應增加，從而 會造成浪費，因此研究排隊模型的目的就是要在顧客需要和服務機構的規模之間進行權衡決策，使其達到合理的平衡。

2.0.2 排隊系統的組成和特征

一般的排隊過程都由輸入過程、排隊規則、服務過程三部分組成，現分述如下：

2.0.2.1 輸入過程

輸入過程是指顧客到來時間的規律性，可能有下列不同情況：

（i）顧客的組成可能是有限的，也可能是無限的。

（ii）顧客到達的方式可能是一個—個的，也可能是成批的。

（iii）顧客到達可以是相互獨立的，即以前的到達情況對以后的到達沒有影響； 否則是相關的。

（iv）輸入過程可以是平穩的，即相繼到達的間隔時間分布及其數學期望、方差等數字特征都與時間無關，否則是非平穩的。

2.0.2.2 排隊規則

排隊規則指到達排隊系統的顧客按怎樣的規則排隊等待，可分為損失制，等待制和混合制三種。

（i）損失制（消失制）。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客隨即離去。

（ii）等待制。當顧客到達時，所有的服務臺均被占用，顧客就排隊等待，直到接 受完服務才離去。

例如出故障的機器排隊等待維修就是這種情況。

（iii）混合制。介于損失制和等待制之間的是混合制，即既有等待又有損失。有隊列長度有限和排隊等待時間有限兩種情況，在限度以內就排隊等待，超過一定限度就 離去。

排隊方式還分為單列、多列和循環隊列。

2.0.2.2.3 服務過程

（i）服務機構。
主要有以下幾種類型：單服務臺；多服務臺并聯（每個服務臺同 時為不同顧客服務）；多服務臺串聯（多服務臺依次為同一顧客服務）；混合型。

（ii）服務規則。
按為顧客服務的次序采用以下幾種規則：

①先到先服務，這是通常的情形。

②后到先服務，如情報系統中，最后到的情報信息往往最有價值，因而常被優先處 理。

③隨機服務，服務臺從等待的顧客中隨機地取其一進行服務，而不管到達的先后。

④優先服務，如醫療系統對病情嚴重的病人給予優先治療。

2.1 基本排隊機制

在絕大多數情況下，以下6個基礎屬性可以較完善地描述一個排隊等待現象。
(1)顧客的抵達分布情況

顧客可以指實體的顧客，如銀行排隊等待的客人，亦可代指等待安排維修的機器;
抵達分布情況是指如何用概率模型模擬相鄰顧客抵達服務臺的時間間隔

(2) 服務臺的服務情況

銀行窗口服務不同業務的時間分布，生產線中每道工序所用時間的時間分布等。

(3) 排隊原則
(4) 系統容納量
(5) 服務臺數量
(6) 服務流程數量

2.1.1 顧客的抵達分布情況

在大部分隊列中，顧客的抵達都是隨機現象(非隨機現象如完美平衡的生產流水線)。因此需要用一個概率模型模擬各個相鄰顧客的抵達時間間隔。常見模型如指數分布。

關于為何指數分布與泊松過程能較好地模擬隨機現象，參見本節2.3。

同時一些特殊的客戶表現亦需要參考，比如:如果一個客戶遇到較長隊列，他可能會拒絕加入(balked)；現有隊列的客戶由于排隊時間過長而離開(impatience, reneged). 當出現多條服務流時，顧客會在不同隊列之間流動，導致從理論上講的絕對完美等長多服務流(jockey)。
最后，如果顧客抵達時間的概率分布不隨時間而變化，稱之為穩態抵達分布(stationary), 反之非穩態(non-stationary)。

2.1.2 服務臺的服務情況

亦稱之為服務機構。不同服務臺的服務時間亦需要用一個概率模型來表示。比如醫院急診室每個醫生診療時間的時間分布，維修車間對每臺等待維修的機器的處理時間分布等。
以下幾個特殊現象亦需特殊考慮: 服務時間的長短與隊列的長短有關，這個很好理解，當一個柜員看到顧客較多時，自然會加快業務處理速度 (state-dependent). 同樣，服務時間亦可隨時間變化而變化(維修工逐漸積累經驗),出現stationary 和 non-stationary。

2.1.3 排隊原則

先到先服務, first come first service ( FCFS).
后到先服務原則(LCFS). 比如從倉庫里取貨，后到的貨物由于堆在最外圍，往往先被取走。
隨機服務原則，比如車牌號搖號，不隨從任何先來后到的原則……
優先排隊原則: 如果軍人抵達的話，可以直接排到隊列首位(priority discipline)。

2.1.4 系統容納量，服務臺數量，服務流程數量

這三兄弟相對好理解, 系統容納量: 火車站排隊大廳最多容納一千人隊列，服務臺數量: 某銀行總行有12個窗口，而郊區支行只有4個，服務流程數(會形成復雜排隊網絡): 體檢項目順序依次一個有10項，某產線共有24道工序，為消除排隊需要平衡產線。

圖1. 某多服務臺，多服務流程隊列網絡

2.2 常見術語與Notation

排隊模型用六個符號表示，在符號之間用斜線隔開，即 X /Y / Z / A/ B /C 。

第一 個符號 X 表示顧客到達流或顧客到達間隔時間的分布；
第二個符號Y 表示服務時間的分布；
第三個符號 Z 表示服務臺數目；
第四個符號 A 是系統容量限制；
第五個符號 B 是 顧客源數目；
第六個符號C 是服務規則，

如先到先服務 FCFS，后到先服務 LCFS 等。并約定，如略去后三項，即指 X /Y / Z / ∞ / ∞ / FCFS的情形。

我們只討論先到先服務 FCFS 的情形，所以略去第六項。

對于常見的大部分模型，我們均假設顧客抵達時間的分布，服務臺服務時間的分布為獨立同分布(independent and identically distributed), 通用隊列模型表達式如下:

表示顧客到達間隔時間和服務時間的分布的約定符號為：

M — 指數分布（ M 是 Markov 的字頭，因為指數分布具有無記憶性，即 Markov 性）；

D — 確定型（Deterministic）；

$E_k$ — k 階愛爾朗(Erlang)分布；

G — 一般（general）服務時間的分布；

GI — 一般相互獨立（General Independent）的時間間隔的分布。

例如， M / M /1表示相繼到達間隔時間為指數分布、服務時間為指數分布、單服 務臺、等待制系統。

D / M / c 表示確定的到達時間、服務時間為指數分布、 c 個平行 服務臺（但顧客是一隊）的模型。

表1：通用隊列模型表達式符號匯總

值得注意的是，我們會常常省去后兩個位置，默認為系統無容納上限，先到先服務原則。如非常經典又基礎的 M/M/1 及 M/M/S 模型 (顧客抵達與服務時間均為指數分布，一個或多個服務臺).


Utilization Factor(暫譯為占用率)，是一個排隊系統顧客抵達速率與總共多個平行服務速率的比值。很好理解，這個值如果大于1的話，隊列會無限變長，而這個值小于1的話，隊列系統會從一開始的過渡狀態 (transient condition) 逐漸趨于穩態 (steady-state condition) 關于這個狀態的過渡與轉換的討論，不在本文章討論之中，筆者在此呈現的各種有趣結論，均以穩態隊列為對象:

2.3 排隊系統的運行指標

為了研究排隊系統運行的效率，估計其服務質量，確定系統的最優參數，評價系統 的結構是否合理并研究其改進的措施，必須確定用以判斷系統運行優劣的基本數量指標，這些數量指標通常是：

(i) 平均隊長：指系統內顧客數（包括正被服務的顧客與排隊等待服務的顧客）的數學期望，記作 Ls 。

(ii) 平均排隊長:指系統內等待服務的顧客數的數學期望，記作 Lq 。

(iii) 平均逗留時間：顧客在系統內逗留時間（包括排隊等待的時間和接受服務的 時間）的數學期望，記作Ws 。

(iv) 平均等待時間：指一個顧客在排隊系統中排隊等待時間的數學期望，記作 Wq 。

(v) 平均忙期：指服務機構連續繁忙時間（顧客到達空閑服務機構起，到服務機構再次空閑止的時間）長度的數學期望，記為Tb 。

還有由于顧客被拒絕而使企業受到損失的損失率以及以后經常遇到的服務強度等， 這些都是很重要的指標。

計算這些指標的基礎是表達系統狀態的概率。所謂系統的狀態即指系統中顧客數， 如果系統中有n 個顧客就說系統的狀態是n ，它的可能值是

2.4 輸入過程與服務時間的分布

排隊系統中的事件流包括顧客到達流和服務時間流。由于顧客到達的間隔時間和服 務時間不可能是負值，因此，它的分布是非負隨機變量的分布。最常用的分布有泊松分布、確定型分布，指數分布和愛爾朗分布。

2.4.1 泊松流與指數分布

在上述條件下，我們研究顧客到達數n 的概率分布。

對于泊松流, $\lambda$ 表示單位時間平均到達的顧客數,所以 $\frac{1}{\lambda }$ 就表示相繼顧客到達平均 間隔時間，而這正和 ET 的意義相符。 對一顧客的服務時間也就是在忙期相繼離開系統的兩顧客的間隔時間，有時也服從 指數分布。這時設它的分布函數和密度函數分別是

2.4.2 常用的幾種概率分布及其產生

2.4.2.1 常用的連續型概率分布

我們只給出這些分布的參數、記號和通常的應用范圍，更詳細的內容參看專門的概 率論書籍。

（i）均勻分布

區間 (a,b) 內的均勻分布記作U(a,b) 。服從U(0,1) 分布的隨機變量又稱為隨機 數，它是產生其它隨機變量的基礎。如若 X 為U(0,1) 分布，則Y = a + (b ? a)X 服從 U(a,b) 。

（ii）正態分布

正態分布還可以作為二項分布一定條件下的近似。

（iii）指數分布

（iv）Gamma 分布、愛爾朗分布

Gamma 分布又稱愛爾朗分布。

Gamma 分布是雙參數α,β 的非對稱分布，記作G(α,β ) ，期望是αβ 。α = 1時蛻 化為指數分布。 n 個相互獨立、同分布（參數 λ ）的指數分布之和是 Gamma 分布 （α = n, β = λ) 。Gamma 分布可用于服務時間，零件壽命等。

（v）Weibull 分布

Weibull 分布是雙參數α,β 的非對稱分布，記作W(α, β ) 。α = 1時蛻化為指數分 布。作為設備、零件的壽命分布在可靠性分析中有著非常廣泛的應用。

（vi）Beta 分布

Beta 分布是區間(0,1) 內的雙參數、非均勻分布，記作 B(α, β ) 。

2.4.2.2 常用的離散型概率分布

（i）離散均勻分布

（ii）Bernoulli 分布（兩點分布）

Bernoulli 分布是 x = 1,0 處取值的概率分別是 p 和1? p 的兩點分布，記作 Bern( p) 。用于基本的離散模型。

（iii）泊松（Poisson）分布

泊松分布與指數分布有密切的關系。當顧客平均到達率為常數 λ 的到達間隔服從 指數分布時，單位時間內到達的顧客數 K 服從泊松分布，即單位時間內到達 k 位顧客 的概率為

記作 Poisson(λ) 。泊松分布在排隊服務、產品檢驗、生物與醫學統計、天文、物理等 領域都有廣泛應用。

（iv）二項分布

在獨立進行的每次試驗中，某事件發生的概率為 p ，則 n 次試驗中該事件發生的 次數 K 服從二項分布，即發生k 次的概率為

記作 B(n, p) 。二項分布是n 個獨立的 Bernoulli 分布之和。它在產品檢驗、保險、生 物和醫學統計等領域有著廣泛的應用。

當n,k 很大時， B(n, p) 近似于正態分布 N(np,np(1? p)) ；

當n 很大、 p 很小， 且np 約為常數λ 時， B(n, p) 近似于 Poisson(λ)。

2.4 關于泊松輸入源的一些討論

本節我們討論一個問題: 為什么泊松過程/指數分布能成為基礎的模擬顧客的隨機到達與服務的完成時間分布？

2.4.0 補充知識

a. 常見離散概率分布

• 二項分布 X～B(n,p)
  

• 泊松分布 X～Poisson(λ)
  λ表示單位時間（面積或體積等）該事件平均發生次數（到達率），則p(x=k)表示單位時間（面積或體積等）該事件發生k次的概率
  
  

• 負二項分布 X～NB(r,p)
  

• 幾何分布 X～Ge§
  

• 超幾何分布 X～HyG(N,M,n)
  

b. 常見連續概率分布

• 均勻分布 X～U(a,b)
  

• 指數分布 X～Exp(λ)
  

• Erlang分布
  

愛爾郎分布與指數分布一樣多用來表示獨立隨機事件發生的時間間隔。相比于指數分布，愛爾郎分布更適用于多個串行過程，或無記憶性假設不顯著的情況下。除非退化為指數分布，愛爾郎分布不具有無記憶性，一次對其分析相對困難。一般通過將愛爾郎過程分解為多個指數過程的技巧來對愛爾郎分布進行分析。

• 一維正態分布 X～N(μ,σ2)
  

• 多維正態分布 X～N(μ,Σ)
  

c. 概率論常用分布期望與方差總結

d. 泊松分布、二項分布、愛爾朗分布的推導與關系

①二項分布：

重復n次伯努利實驗，且每次實驗只有兩種相互對立結果，每次實驗相互獨立，這樣的實驗叫做n重伯努利實驗，得到事件發生的次數的分布叫二項分布。
概率分布：
數字特征：將n重伯努利實驗分解為n個二項分布易得，期望為np，方差為np(1-p)。

伯努利試驗（Bernoulli experiment）是在同樣的條件下重復地、相互獨立地進行的一種隨機試驗，其特點是該隨機試驗只有兩種可能結果：發生或者不發生。我們假設該項試驗獨立重復地進行了n次，那么就稱這一系列重復獨立的隨機試驗為n重伯努利試驗，或稱為伯努利概型。單個伯努利試驗是沒有多大意義的，然而，當我們反復進行伯努利試驗，去觀察這些試驗有多少是成功的，多少是失敗的，事情就變得有意義了，這些累計記錄包含了很多潛在的非常有用的信息。

②二項分布到泊松分布

考慮對于一段時間（或面積、體積），即單位時間，將其分為n段（n->∞），因為每段對應時間級短，那么p也應該接近0,。那么此時事件發生的次數就服從泊松分布，而原二項分布的期望，即np, 就是事件的平均發生次數，即λ=np。

注：第二行到第三行，因為n趨于無窮大，那么n(n-1)…(n-k+1)=n^k

③泊松分布到指數分布：

如果下次事件發生間隔為t，那么等同于t時間內事件發生次數為0，即從泊松分布推導到指數分布：

④指數分布與愛爾郎分布：


⑤指數分布無后效性的推導：

無后效性（馬爾科夫性）：

當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件概率分布僅依賴于當前狀態，即在現在狀態時，他與過去狀態是條件獨立的，即該過程是馬爾科夫過程，即具有馬爾科夫性質。

e. 應用與舉例

①泊松分布

在實際事例中，當一個事件以固定的平均速率出現時隨機且獨立地出現時，那么這個時間在單位時間（面積或體積等）內出現的次數或個數近似服從泊松分布。

如：

某醫院平均每小時出生3個嬰兒；（單位時間）

某公司平均每小時接到3.5個電話；（單位時間）

采用0.05J/m2紫外線照射大腸桿菌時，每個基因組平均產生3個嘧啶二體。（單位基因組）

②指數分布

指數分布表示兩次事件（服從泊松分布）發生間隔為t的概率。

可用來表示：

嬰兒出生的時間間隔；

服從泊松分布的服務的時間間隔；

③指數分布的無記憶性：

如果一個隨機變量服從指數分布，那么對于s,t>0，有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。

例如：若果某原件壽命為T，已知使用了t小時，那么它總共使用了s+t小時和其從開始起來使用s小時概率相同。

2.4.1 指數分布

下面我們討論指數分布的性質與其在基礎排隊模型中的作用。

a. 單調性

b. 無記憶性

c. 幾個獨立的指數分布變量的最小者亦為指數分布

d. 泊松過程與指數分布

e. 不受聚合/離散的影響

03 常見模型 M/M/1 及 M/M/S

M/M/1 模型簡單介紹

• 到達時間是泊松過程（Poisson process）；
• 服務時間是指數分布（exponentially distributed）；
• 只有一部服務器（server）
• 隊列長度無限制
• 可加入隊列的人數為無限

這種模型是一種出生-死亡過程，此隨機過程中的每一個狀態代表模型中人數的數目。因為模型的隊列長度無限且參與人數亦無限，故此狀態數目亦為無限。例如狀態0表示模型閑置、狀態1表示模型有一人在接受服務、狀態2表示模型有二人（一人正接受服務、一人在等候），如此類推。 此模型中，出生率（即加入隊列的速率）λ在各狀態中均相同，死亡率（即完成服務離開隊列的速率）μ亦在各狀態中相同（除了狀態0，因其不可能有人離開隊列）。故此，在任何狀態下，只有兩種事情可能發生：
有人加入隊列。如果模型在狀態k，它會以速率λ進入狀態k + 1
有人離開隊列。如果模型在狀態k（k不等于0），它會以速率μ進入狀態k ? 1
由此可見，模型的隱定條件為λ < μ。如果死亡率小于出生率，則隊列中的平均人數為無限大，故此這種系統沒有平衡點。

對于M ／M ／1 模型有如下公式

μ: 單位時間服務的顧客數，平均( 期望) 服務率；
λ: 單位時間前來的顧客數。
Ls ：隊長 ，系統中的顧客數（n）期望值
Lq：排隊長 ，系統中排隊等待服務的顧客數; 期望值記為Lq
Ws：逗留時間:—— 指一個顧客在系統中的全部停留時間 為 期望值，記為 Ws
Wq: 等待時間: —— 指一個顧客在系統中的排隊等待時間為 期望值，記為 Wq

Ws=Wq + E[ 服務時間]
s : 服務臺數目
服務強度：ρ = λ/sμ

M/M/1 模型例子
某醫院急診室同時只能診治一個病人，診治時間服從指數分布，每個病人平均需要 15 分鐘。病人按泊松分布到達，平均每小時到達3 3 人。試對此排隊隊系統進行分析。
解： 對此排隊隊系統分析如下：

代碼：

% =================================================================需要改的地方 s=1; %服務臺個數 mu=4; %單個服務臺單個時間內能服務的個數 lambda=3; %單位時間到達的顧客數 % =================================================================需要改的地方ro=lambda/mu; ros=ro/s; sum1=0;for i=0:(s-1)sum1=sum1+ro.^i/factorial(i); endsum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);p0=1/(sum1+sum2); p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros); Lq=p.*ros/(1-ros); L=Lq+ro; W=L/lambda; Wq=Lq/lambda; fprintf('排隊等待的平均人數為%5.2f人\n',Lq) fprintf('系統內的平均人數為%5.2f人\n',L) fprintf('平均逗留時間為%5.2f分鐘\n',W*60) fprintf('平均等待時間為%5.2f分種\n',Wq*60)

結果

排隊等待的平均人數為 2.25人 系統內的平均人數為 3.00人 平均逗留時間為60.00分鐘 平均等待時間為45.00分種

3.1 為什么選擇這兩個模型

很簡單，這兩個模型假設顧客抵達與服務時間為指數分布，時間流程為泊松過程，任何復雜隊列模型都是由他們衍生出來的…….由于篇幅受限，本文往后都會集中在這兩個基礎模型上。關于更多衍生參考模型，請參閱文末reference list.

3.2 生滅過程

The Birth-and-Death Process. 為了得出M/M/1 及 M/M/S的一般公式，筆者認為有必要簡單推導下…… 該模型為連續時間馬爾可夫過程(continuous time Markov chain)，要介紹全很困難，這里就給一個簡易推導。

取決于兩個時間的長短。

另，上述過程可有下圖來表示.

在穩態隊列的情況下: 任何系統狀態的進出速率應該相當。舉一個例子，系統在狀態0的情況下: 從狀態0轉移到狀態1(沒有顧客到一個顧客)時，離開與進入相等:

通過迭代法計算(步驟省去，直接給結論):



以上為生滅原理下隊列模型的通用結論。

3.3 M/M/1 模型與 M/M/S 模型

3.3.1 M/M/1 模型

3.3.1.1 M/M/1/k 模型

3.3.2 M/M/S 模型

04 案例分析

這里我們給出一個小case study:

已知某生產線在執行某項特殊高危高精度工藝時，有10臺機器共同運作。由于人員配置緊張，該產線只安排的8名工人同時操作8臺機器，另外兩臺設備隨時standby為替補更改工裝/加工設備，工廠這樣安排的目的是為了保持滿負荷運作。目前該工廠只安排了1名工人更改工裝與加工設備。

已知該工藝流設備平均每20天需要下線更改工裝，而更改工裝工人平均需2天的時間完成設備的重新設置。由于隊列等待現象，產線經常出現不滿8臺生產的情況。目前管理層正在考率是否要再雇傭一名工人執行機器下線操作。已知每個線下工人公司給的酬薪大約是每天280RMB，而每天由于產線未滿負荷運作而產生的利潤損失為每臺額外下線機器400RMB。你作為工業工程師被指派study這個問題，請問你會對管理層作出怎樣的決策推薦以求公司利潤最大化？

首先我們用數學語言翻譯下上述條件:




所以我們可以計算出下表：


所以，通過排隊論模型分析，盡管公司添加工人的話產線能夠保持最大化利用，但是此時的運營成本大于只雇傭一名工人的情況，我們向管理層推薦的決策為不要雇傭第二個工人。

05 插一句話

5.1 文章總結

本文初步介紹了排隊論的理論發展歷史背景。并簡單回顧了泊松過程與指數分布在廣義一般化排隊模型中的應用必要性。又詳細地基于連續時間狀態馬爾可夫過程歸納出了M/M/1與M/M/S模型幾個基本結論并配以一個工業界地實際應用案例分析。讀者應該可以大致初步掌握排隊論的應用范圍與方法。其他衍生模型，如非指數分布，混線，排隊網絡，隊列數量限制等，篇幅受限，不再贅述，感興趣地讀者可以翻閱文末的參考資料。

參考文獻

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https://blog.csdn.net/qq_29831163/article/details/89735320

總結

以上是生活随笔為你收集整理的浅谈排队论的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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