文章目錄

• 泊松流
• 系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)
• 單服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)
• 多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)

排隊(duì)論（Queuing Theory）也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論。
本文主要討論先到先服務(wù) FCFS的情形，顧客流設(shè)定為泊松流（一種非負(fù)隨機(jī)變量的分布）

泊松流

在不相互重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，到達(dá)顧客數(shù)相互獨(dú)立(無后效性)。

對(duì)于充分小的時(shí)間間隔內(nèi)，到達(dá)1個(gè)顧客的概率與t無關(guān)，僅與時(shí)間間隔成正比(平穩(wěn)性)。

對(duì)于充分小的時(shí)間間隔，2個(gè)及以上顧客到達(dá)的概率可忽略不計(jì)(普通性)。

泊松流到達(dá)間隔服從負(fù)指數(shù)分布。

系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)

為了研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)其服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)的優(yōu)參數(shù)，評(píng)價(jià)系統(tǒng) 的結(jié)構(gòu)是否合理并研究其改進(jìn)的措施，必須確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是：

平均隊(duì)長：指系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)（包括正被服務(wù)的顧客與排隊(duì)等待服務(wù)的顧客）的數(shù)學(xué)期望，記作$L_s$ 。

平均排隊(duì)長:指系統(tǒng)內(nèi)等待服務(wù)的顧客數(shù)的數(shù)學(xué)期望，記作 $L_q$ 。

平均逗留時(shí)間：顧客在系統(tǒng)內(nèi)逗留時(shí)間（包括排隊(duì)等待的時(shí)間和接受服務(wù)的時(shí)間）的數(shù)學(xué)期望，記作$W_s$ 。

平均等待時(shí)間：指一個(gè)顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中排隊(duì)等待時(shí)間的數(shù)學(xué)期望，記作$W_q$ 。

平均忙期：指服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)繁忙時(shí)間（顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次空閑止的時(shí)間）長度的數(shù)學(xué)期望，記為 $T_b$。

單服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)

模型的條件是：

輸入過程――顧客源是無限的，顧客到達(dá)完全是隨機(jī)的，單個(gè)到來，到達(dá)過程服從泊松分布，且是平穩(wěn)的。

排隊(duì)規(guī)則――單隊(duì)，且隊(duì)長沒有限制，先到先服務(wù)；

服務(wù)機(jī)構(gòu)――單服務(wù)臺(tái)，服務(wù)時(shí)間的長短是隨機(jī)的，服從相同的指數(shù)分布。

clear clc %***************************************** %初始化顧客源 %***************************************** %總仿真時(shí)間 Total_time = 10; %隊(duì)列最大長度 N = 10000000000; %到達(dá)率與服務(wù)率 lambda = 10; mu = 6; %平均到達(dá)時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間 arr_mean = 1/lambda; ser_mean = 1/mu; arr_num = round(Total_time*lambda*2); events = []; %按負(fù)指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客達(dá)到時(shí)間間隔 events(1,:) = exprnd(arr_mean,1,arr_num); %各顧客的到達(dá)時(shí)刻等于時(shí)間間隔的累積和 events(1,:) = cumsum(events(1,:)); %按負(fù)指數(shù)分布產(chǎn)生各顧客服務(wù)時(shí)間 events(2,:) = exprnd(ser_mean,1,arr_num); %計(jì)算仿真顧客個(gè)數(shù)，即到達(dá)時(shí)刻在仿真時(shí)間內(nèi)的顧客數(shù) len_sim = sum(events(1,:)<= Total_time); %***************************************** %計(jì)算第 1個(gè)顧客的信息 %***************************************** %第 1個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng)后直接接受服務(wù)，無需等待 events(3,1) = 0; %其離開時(shí)刻等于其到達(dá)時(shí)刻與服務(wù)時(shí)間之和 events(4,1) = events(1,1)+events(2,1); %其肯定被系統(tǒng)接納，此時(shí)系統(tǒng)內(nèi)共有 %1個(gè)顧客，故標(biāo)志位置1 events(5,1) = 1; %其進(jìn)入系統(tǒng)后，系統(tǒng)內(nèi)已有成員序號(hào)為 1 member = [1]; for i = 2:arr_num %如果第 i個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間超過了仿真時(shí)間，則跳出循環(huán) if events(1,i)>Total_time break; else number = sum(events(4,member) > events(1,i)); %如果系統(tǒng)已滿，則系統(tǒng)拒絕第 i個(gè)顧客，其標(biāo)志位置 0 if number >= N+1 events(5,i) = 0; %如果系統(tǒng)為空，則第 i個(gè)顧客直接接受服務(wù) else if number == 0 %其等待時(shí)間為 0events(3,i) = 0; %其離開時(shí)刻等于到達(dá)時(shí)刻與服務(wù)時(shí)間之和 events(4,i) = events(1,i)+events(2,i); %其標(biāo)志位置 1 events(5,i) = 1; member = [member,i]; %如果系統(tǒng)有顧客正在接受服務(wù)，且系統(tǒng)等待隊(duì)列未滿，則 第 i個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng) else len_mem = length(member); %其等待時(shí)間等于隊(duì)列中前一個(gè)顧客的離開時(shí)刻減去其到 達(dá)時(shí)刻 events(3,i)=events(4,member(len_mem))-events(1,i); %其離開時(shí)刻等于隊(duì)列中前一個(gè)顧客的離開時(shí)刻加上其服 %務(wù)時(shí)間 events(4,i)=events(4,member(len_mem))+events(2,i); %標(biāo)識(shí)位表示其進(jìn)入系統(tǒng)后，系統(tǒng)內(nèi)共有的顧客數(shù) events(5,i) = number+1; member = [member,i]; end end end end %仿真結(jié)束時(shí)，進(jìn)入系統(tǒng)的總顧客數(shù) len_mem = length(member); %***************************************** %輸出結(jié)果 %***************************************** %繪制在仿真時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入系統(tǒng)的所有顧客的到達(dá)時(shí)刻和離開時(shí)刻曲線圖（stairs：繪制二維階梯圖） stairs([0 events(1,member)],0:len_mem); hold on; stairs([0 events(4,member)],0:len_mem,'.-r'); legend('到達(dá)時(shí)間 ','離開時(shí)間 '); hold off; grid on; %繪制在仿真時(shí)間內(nèi)，進(jìn)入系統(tǒng)的所有顧客的停留時(shí)間和等 %待時(shí)間曲線圖（plot：繪制二維線性圖） figure; plot(1:len_mem,events(3,member),'r-*',1: len_mem,events(2,member)+events(3,member),'k-'); legend('等待時(shí)間 ','停留時(shí)間 '); grid on;

多服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)

此模型與M/M/1模型不同之處在于有S個(gè)服務(wù)臺(tái)，各服務(wù)臺(tái)的工作相互獨(dú)立，服務(wù)率相等，如果顧客到達(dá)時(shí)，S個(gè)服務(wù)臺(tái)都忙著，則排成一隊(duì)等待，先到先服務(wù)的單隊(duì)模型。

% 多服務(wù)臺(tái)模型 % 設(shè)顧客單個(gè)到達(dá)，相繼到達(dá)時(shí)間間隔服從參數(shù)為λ 的負(fù)指數(shù)分布 % 每個(gè)服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，且服從參數(shù)為 μ 的負(fù)指數(shù)分布s=2; % 服務(wù)臺(tái)數(shù)目 mu=4; lambda=3; ro=lambda/mu; ros=ro/s; sum1=0;for i=0:(s-1)sum1=sum1+ro.^i/factorial(i); endsum2=ro.^s/factorial(s)/(1-ros);p0=1/(sum1+sum2); p=ro.^s.*p0/factorial(s)/(1-ros); Lq=p.*ros/(1-ros); L=Lq+ro; W=L/lambda; Wq=Lq/lambda;fprintf('排隊(duì)等待的平均人數(shù)為%5.2f人\n',Lq) fprintf('系統(tǒng)內(nèi)的平均人數(shù)為%5.2f人\n',L) fprintf('平均逗留時(shí)間為%5.2f分鐘\n',W*60) fprintf('平均等待時(shí)間為%5.2f分種\n',Wq*60)

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的排队论及其代码的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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