轉(zhuǎn)自3道題徹底搞定：套路解決遞歸問題

前言

相信不少同學(xué)和我一樣，在剛學(xué)完數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)后開始刷算法題時(shí)，遇到遞歸的問題總是很頭疼，而一看解答，卻發(fā)現(xiàn)大佬們幾行遞歸代碼就優(yōu)雅的解決了問題。從我自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷來看，剛開始理解遞歸思路都很困難，更別說自己寫了。

我一直覺得刷算法題和應(yīng)試一樣，既然是應(yīng)試就一定有套路存在。在刷題中，我總結(jié)出了一套解決遞歸問題的模版思路與解法，用這個(gè)思路可以秒解很多遞歸問題。

遞歸解題三部曲

何為遞歸？程序反復(fù)調(diào)用自身即是遞歸。

我自己在剛開始解決遞歸問題的時(shí)候，總是會(huì)去糾結(jié)這一層函數(shù)做了什么，它調(diào)用自身后的下一層函數(shù)又做了什么…然后就會(huì)覺得實(shí)現(xiàn)一個(gè)遞歸解法十分復(fù)雜，根本就無從下手。

相信很多初學(xué)者和我一樣，這是一個(gè)思維誤區(qū)，一定要走出來。既然遞歸是一個(gè)反復(fù)調(diào)用自身的過程，這就說明它每一級(jí)的功能都是一樣的，因此我們只需要關(guān)注一級(jí)遞歸的解決過程即可。

實(shí)在沒學(xué)過啥繪圖的軟件，就靈魂手繪了一波，哈哈哈勿噴。

如上圖所示，我們需要關(guān)心的主要是以下三點(diǎn)

整個(gè)遞歸的終止條件。

一級(jí)遞歸需要做什么？

應(yīng)該返回給上一級(jí)的返回值是什么？

因此，也就有了我們解遞歸題的三部曲：

1. 找整個(gè)遞歸的終止條件：遞歸應(yīng)該在什么時(shí)候結(jié)束？

2. 找返回值：應(yīng)該給上一級(jí)返回什么信息？

3. 本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么：在這一級(jí)遞歸中，應(yīng)該完成什么任務(wù)？

一定要理解這3步，這就是以后遞歸秒殺算法題的依據(jù)和思路。

但這么說好像很空，我們來以題目作為例子，看看怎么套這個(gè)模版，相信3道題下來，你就能慢慢理解這個(gè)模版。之后再解這種套路遞歸題都能直接秒了。

例1：求二叉樹的最大深度

先看一道簡單的Leetcode題目： Leetcode 104. 二叉樹的最大深度

題目很簡單，求二叉樹的最大深度，那么直接套遞歸解題三部曲模版：

找終止條件。 什么情況下遞歸結(jié)束？當(dāng)然是樹為空的時(shí)候，此時(shí)樹的深度為0，遞歸就結(jié)束了。

找返回值。 應(yīng)該返回什么？題目求的是樹的最大深度，我們需要從每一級(jí)得到的信息自然是當(dāng)前這一級(jí)對(duì)應(yīng)的樹的最大深度，因此我們的返回值應(yīng)該是當(dāng)前樹的最大深度，這一步可以結(jié)合第三步來看。

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么。 首先，還是強(qiáng)調(diào)要走出之前的思維誤區(qū)，遞歸后我們眼里的樹一定是這個(gè)樣子的，看下圖。此時(shí)就三個(gè)節(jié)點(diǎn)：root、root.left、root.right，其中根據(jù)第二步，root.left和root.right分別記錄的是root的左右子樹的最大深度。那么本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么就很明確了，自然就是在root的左右子樹中選擇較大的一個(gè)，再加上1就是以root為根的子樹的最大深度了，然后再返回這個(gè)深度即可。

具體Java代碼如下：

class Solution {public int maxDepth(TreeNode root) {//終止條件：當(dāng)樹為空時(shí)結(jié)束遞歸，并返回當(dāng)前深度0if(root == null){return 0;}//root的左、右子樹的最大深度int leftDepth = maxDepth(root.left);int rightDepth = maxDepth(root.right);//返回的是左右子樹的最大深度+1return Math.max(leftDepth, rightDepth) + 1;} } 當(dāng)足夠熟練后，也可以和Leetcode評(píng)論區(qū)一樣，很騷的幾行代碼搞定問題，讓之后的新手看的一臉懵逼(這道題也是我第一次一行代碼搞定一道Leetcode題)： ```java class Solution {public int maxDepth(TreeNode root) {return root == null ? 0 : Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1;} }

例2：兩兩交換鏈表中的節(jié)點(diǎn)

看了一道遞歸套路解決二叉樹的問題后，有點(diǎn)套路搞定遞歸的感覺了嗎？我們?cè)賮砜匆坏繪eetcode中等難度的鏈表的問題，掌握套路后這種中等難度的問題真的就是秒：Leetcode 24. 兩兩交換鏈表中的節(jié)點(diǎn)

直接上三部曲模版：

找終止條件。 什么情況下遞歸終止？沒得交換的時(shí)候，遞歸就終止了唄。因此當(dāng)鏈表只剩一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者沒有節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，自然遞歸就終止了。

找返回值。 我們希望向上一級(jí)遞歸返回什么信息？由于我們的目的是兩兩交換鏈表中相鄰的節(jié)點(diǎn)，因此自然希望交換給上一級(jí)遞歸的是已經(jīng)完成交換處理，即已經(jīng)處理好的鏈表。

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么。 結(jié)合第二步，看下圖！由于只考慮本級(jí)遞歸，所以這個(gè)鏈表在我們眼里其實(shí)也就三個(gè)節(jié)點(diǎn)：head、head.next、已處理完的鏈表部分。而本級(jí)遞歸的任務(wù)也就是交換這3個(gè)節(jié)點(diǎn)中的前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，就很easy了。

附上Java代碼：

class Solution {public ListNode swapPairs(ListNode head) {//終止條件：鏈表只剩一個(gè)節(jié)點(diǎn)或者沒節(jié)點(diǎn)了，沒得交換了。返回的是已經(jīng)處理好的鏈表if(head == null || head.next == null){return head;}//一共三個(gè)節(jié)點(diǎn):head, next, swapPairs(next.next)//下面的任務(wù)便是交換這3個(gè)節(jié)點(diǎn)中的前兩個(gè)節(jié)點(diǎn)ListNode next = head.next;head.next = swapPairs(next.next);next.next = head;//根據(jù)第二步：返回給上一級(jí)的是當(dāng)前已經(jīng)完成交換后，即處理好了的鏈表部分return next;} }

例3：平衡二叉樹

相信經(jīng)過以上2道題，你已經(jīng)大概理解了這個(gè)模版的解題流程了。

那么請(qǐng)你先不看以下部分，嘗試解決一下這道easy難度的Leetcode題（個(gè)人覺得此題比上面的medium難度要難）：Leetcode 110. 平衡二叉樹

我覺得這個(gè)題真的是集合了模版的精髓所在，下面套三部曲模版：

找終止條件。 什么情況下遞歸應(yīng)該終止？自然是子樹為空的時(shí)候，空樹自然是平衡二叉樹了。

應(yīng)該返回什么信息：

為什么我說這個(gè)題是集合了模版精髓？正是因?yàn)榇祟}的返回值。要知道我們搞這么多花里胡哨的，都是為了能寫出正確的遞歸函數(shù)，因此在解這個(gè)題的時(shí)候，我們就需要思考，我們到底希望返回什么值？

何為平衡二叉樹？平衡二叉樹即左右兩棵子樹高度差不大于1的二叉樹。而對(duì)于一顆樹，它是一個(gè)平衡二叉樹需要滿足三個(gè)條件：它的左子樹是平衡二叉樹，它的右子樹是平衡二叉樹，它的左右子樹的高度差不大于1。換句話說：如果它的左子樹或右子樹不是平衡二叉樹，或者它的左右子樹高度差大于1，那么它就不是平衡二叉樹。

而在我們眼里，這顆二叉樹就3個(gè)節(jié)點(diǎn)：root、left、right。那么我們應(yīng)該返回什么呢？如果返回一個(gè)當(dāng)前樹是否是平衡二叉樹的boolean類型的值，那么我只知道left和right這兩棵樹是否是平衡二叉樹，無法得出left和right的高度差是否不大于1，自然也就無法得出root這棵樹是否是平衡二叉樹了。而如果我返回的是一個(gè)平衡二叉樹的高度的int類型的值，那么我就只知道兩棵樹的高度，但無法知道這兩棵樹是不是平衡二叉樹，自然也就沒法判斷root這棵樹是不是平衡二叉樹了。

因此，這里我們返回的信息應(yīng)該是既包含子樹的深度的int類型的值，又包含子樹是否是平衡二叉樹的boolean類型的值。可以單獨(dú)定義一個(gè)ReturnNode類，如下：

class ReturnNode{boolean isB;int depth;//構(gòu)造方法public ReturnNode(boolean isB, int depth){this.isB = isB;this.depth = depth;} }

本級(jí)遞歸應(yīng)該做什么。 知道了第二步的返回值后，這一步就很簡單了。目前樹有三個(gè)節(jié)點(diǎn)：root，left，right。我們首先判斷l(xiāng)eft子樹和right子樹是否是平衡二叉樹，如果不是則直接返回false。再判斷兩樹高度差是否不大于1，如果大于1也直接返回false。否則說明以root為節(jié)點(diǎn)的子樹是平衡二叉樹，那么就返回true和它的高度。

具體的Java代碼如下：

class Solution {//這個(gè)ReturnNode是參考我描述的遞歸套路的第二步：思考返回值是什么//一棵樹是BST等價(jià)于它的左、右倆子樹都是BST且倆子樹高度差不超過1//因此我認(rèn)為返回值應(yīng)該包含當(dāng)前樹是否是BST和當(dāng)前樹的高度這兩個(gè)信息private class ReturnNode{boolean isB;int depth;public ReturnNode(int depth, boolean isB){this.isB = isB;this.depth = depth;}}//主函數(shù)public boolean isBalanced(TreeNode root) {return isBST(root).isB;}//參考遞歸套路的第三部：描述單次執(zhí)行過程是什么樣的//這里的單次執(zhí)行過程具體如下：//是否終止?->沒終止的話，判斷是否滿足不平衡的三個(gè)條件->返回值public ReturnNode isBST(TreeNode root){if(root == null){return new ReturnNode(0, true);}//不平衡的情況有3種：左樹不平衡、右樹不平衡、左樹和右樹差的絕對(duì)值大于1ReturnNode left = isBST(root.left);ReturnNode right = isBST(root.right);if(left.isB == false || right.isB == false){return new ReturnNode(0, false); }if(Math.abs(left.depth - right.depth) > 1){return new ReturnNode(0, false);}//不滿足上面3種情況，說明平衡了，樹的深度為左右倆子樹最大深度+1return new ReturnNode(Math.max(left.depth, right.depth) + 1, true);} }

一些可以用這個(gè)套路解決的題

暫時(shí)就寫這么多啦，作為一個(gè)高考語文及格分，大學(xué)又學(xué)了工科的人，表述能力實(shí)在差因此啰啰嗦嗦寫了一大堆，希望大家能理解這個(gè)很好用的套路。

下面我再列舉幾道我在刷題過程中遇到的也是用這個(gè)套路秒的題，真的太多了，大部分鏈表和樹的遞歸題都能這么秒，因?yàn)闃浜玩湵硖焐褪沁m合遞歸的結(jié)構(gòu)。

我會(huì)隨時(shí)補(bǔ)充，正好大家可以看了上面三個(gè)題后可以拿這些題來練練手，看看自己是否能獨(dú)立快速準(zhǔn)確的寫出遞歸解法了。

Leetcode 101. 對(duì)稱二叉樹

Leetcode 111. 二叉樹的最小深度

Leetcode 226. 翻轉(zhuǎn)二叉樹：這個(gè)題的備注是最騷的。Mac OS下載神器homebrew的大佬作者去面試谷歌，沒做出來這道算法題，然后被谷歌面試官懟了：”我們90％的工程師使用您編寫的軟件(Homebrew)，但是您卻無法在面試時(shí)在白板上寫出翻轉(zhuǎn)二叉樹這道題，這太糟糕了。”

Leetcode 617. 合并二叉樹

Leetcode 654. 最大二叉樹

Leetcode 83. 刪除排序鏈表中的重復(fù)元素

Leetcode 206. 翻轉(zhuǎn)鏈表

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的3道题彻底搞定：套路解决递归问题的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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