排隊論基礎(chǔ)

參考《運籌學(xué)教程》-胡運權(quán)

排隊論是對排隊問題的研究，表示為隨機聚散服務(wù)系統(tǒng)。聚即為到達，散即為離去，隨機指的是顧客的到達情況與每個顧客接受服務(wù)的時間是隨機的。

一般來說，顧客的相繼到達時間與服務(wù)時間這兩個量至少有一個量是未知的。因此，排隊論一般被稱為隨機服務(wù)系統(tǒng)理論。

以下僅介紹基本概念

輸入過程

說明顧客如何到達系統(tǒng)：

總數(shù)：有限/無限

到達方式：單個/成批

相繼到達時間的分布：設(shè)Tn為第n個顧客的到達時間，先假設(shè)n個顧客相繼到達，即T_1<T_2<...<T_n，設(shè)X_n=T_n-T_{n-1}，則假定Xn是獨立同分布的。

分布有：

• D，定長分布
• M，泊松分布
• Er，愛爾朗分布（介于泊松分布與正態(tài)分布之間）
• G，任意分布

排隊可以分為兩種：

• 有限排隊：排隊系統(tǒng)中顧客數(shù)有限
• 無限排隊：排隊系統(tǒng)中顧客數(shù)可以是無限的，到達系統(tǒng)后均可接受服務(wù)

有限排隊系統(tǒng)有可以分為：

• 損失制排隊系統(tǒng)，排隊空間為零，不能處理則立刻損失
• 混合制排隊系統(tǒng)，允許排隊，但不允許無限延長

混合制排隊系統(tǒng)一般具有以下特點：

隊長有限

等待時間有限

逗留時間（等待時間+服務(wù)時間）有限

排隊規(guī)則

• FCFS 先來先服務(wù)
• LCFS 后來先服務(wù)
• PS，具有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)

服務(wù)機制

已經(jīng)知道服務(wù)太的服務(wù)時間V，對應(yīng)的分布函數(shù)B(t)，密度函數(shù)b(t)

負指數(shù)分布：t>0時有$b(t)=\mu e^{?\mu t}$

…

記號系統(tǒng)

Kendall記號系統(tǒng)：X/Y/Z/A/B/C

• X表示顧客相繼到達時間間隔的分布
• Y表示服務(wù)時間的分布
• Z表示并聯(lián)服務(wù)臺的個數(shù)
• A表示系統(tǒng)容量，即總共能容納的顧客的個數(shù)
• B表示顧客源的數(shù)目
• C表示服務(wù)規(guī)則

描述指標(biāo)

一些描述排隊系統(tǒng)的指標(biāo)

• 隊長：系統(tǒng)中的顧客數(shù)$N(t)$
• 排隊長：系統(tǒng)中正在排隊的顧客數(shù)$N_q(t)$
• 等待時間：用戶到達到接受服務(wù)的時間，$T_q(t)$
• 逗留時間：用戶到達到服務(wù)完畢的時間$T(t)$

即如果涉及到隊列則加上q

一般來說，難以估算這些量的瞬時分布，所以排隊論中會選擇系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時進行分析。此時，隊長的分布，等待時間的分布，忙期的分布與系統(tǒng)所處的時刻無關(guān)。

• 隊長$N$的均值為$L$
• 排隊長$N_q$的均值為$L_q$
• 逗留時間$T$的均值為$W$
• 等待時間$T_q$的均值為$W_q$
• ${\lambda }_n$，表示狀態(tài)n下新客戶的平均到達率
• ${\mu }_n$，表示狀態(tài)n寫新客戶的平均服務(wù)率，即單位時間可以服務(wù)完的客戶數(shù)

此時，顧客相繼到達的平均時間間隔為$1/\lambda$，平均服務(wù)時間為$1/\mu$

服務(wù)臺的數(shù)量為s個，系統(tǒng)的容量（允許處理的所有顧客數(shù)）為K個

$\rho =\frac{\lambda }{s\mu }$，表示服務(wù)強度

一些公式

• Erlang等待公式：表示顧客到達系統(tǒng)需要等待的概率
• Little’s law，$W=L/\lambda$，即逗留時間會等于隊列長度除以平均到達率。
• Pollaczek-Khintchine(P-K公式)，M/G/1下的公式描述，表示等待隊列的長度與服務(wù)時間的分布無關(guān)。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的排队论基础的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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